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最新人教版高中数学选修2-3《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课堂导学3


课堂导学 三点剖析 一、分步乘法计数原理的简单应用 【例 1】 一种号码锁有 4 个拨号盘,每个拨号盘上有从 0 到 9 这 10 个数字,4 个拨号盘各 取 1 个数字可以组成多少个不同的四位数字号码? 解析:要组成一个四位数字号码可分为 4 步,每个拨号盘上的数字都有从 0 到 9 十种取法, 由分步乘法计数原理,4 个拨号盘上各取 1 个数字组成的四位数字号码的个数是 N=10× 10× 10× 10=10 000 即可以组成 10 000 个四位数字号码. 温馨提示 应用分步原理的要点是, 将完成一件事的过程分解为若干个步骤, 而每个步骤的方法数 应易于计算. 二、根据问题特点,合理地确定分步的标准是用好分步计数原理的关键 【例 2】 (1)5 名学生争夺 3 项比赛冠军,获得冠军的 可能情况种数共有多少? (2)数、理、化三科教师都布置了作业,求在同一时刻 5 名学生都做作业的所有可能情况的 种数? 解析:(1)完成这件事情(决定三个冠军),需要分三步,每一项冠军都可以由 5 个人中的一人 得到,故共有 5× 5× 5=125(种). (2)完成这件事情(5 名学生同时做作业),需要分步,即每个学生做作业均有 3 种情况,所以 5 名学生同时做作业的情况共有 3× 3× 3× 3× 3=243(种). 温馨提示 在分步时,必须有明确的标准,这样才可做到使结果不重、不漏.如(1)题以三项冠军为 标准从而分 3 步, 如果以人为标准分 5 步, 每步有 3 种情况(显然不对)漏掉不得冠军的情况, 并且重复现象也明显.(2)题以学生为标准,分 5 步,同样可知得 53 也不对. 三、弄清问题的实质和背景,把问题转化为能运用分步计数原理解决的问题 【例 3】 2 160 的所有正因数的和是多少? 解析:首先要搞清正因数的概念与正因数的形成过程. 因为 2 160=24× 33× 5, 所以 2 160 的正因数为 P=2a× 3b× 5c , 其中 a∈{0,1,2,3,4} , b∈{0,1,2,3},c∈{0,1}. 确定了一组 a,b,c 的值就确定了惟一的一个正因数,a,b,c 中至少有一个不同则对应不同的 正 因 数 . 如 果 将 它 们 分 别 计 算 然 后 相 加 比 较 繁 琐 , 事 实 上 (20+21+22+23+24)× (30+31+32+33)× (50+51) 展开式的项也就是 2 160 的所有正因数, 所以 2 160 的所有正因数的和为 (20+21+22+23+24)× (30+31+32+33)× (50+51)=7 440. 温馨提示 只要我们把问题的实质、背景、形成条件弄清楚了,就能准确、恰当的找到解决问题的 办法.本题先分解质因数,由质因数的种类,可知构成一个因数可分三个步骤,由每种质因 数可取的个数得到每个步骤的办法数. 各个击破 【类题演练 1】某学生填报高考志愿,有 m 个不同的学校可供选择,若只能填 3 个志愿,且 按第一、二、三志愿依次填写,求该生填写志愿的方式的种数. 解析:可分三步完成填写志愿的任务:第一步从 m 个学校中选 1 个填写在第一志愿中;第 二步从剩下的 m-1 个学校中选 1 个填在第二志愿中;第三步从剩下的 m-2 个学校中选 1 个 填写在第三志愿中.由分步计数原理共有 N=m(m-1)(m-2)种填写志愿的种数. 【变式提升 1】三种作物种植在如图所示的五块实验田里,每块实验田种植一种作物且相邻 的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种? 解析

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