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最新人教版高中数学选修2-3《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课堂导学3

课堂导学 三点剖析 一、分步乘法计数原理的简单应用 【例 1】 一种号码锁有 4 个拨号盘,每个拨号盘上有从 0 到 9 这 10 个数字,4 个拨号盘各 取 1 个数字可以组成多少个不同的四位数字号码? 解析:要组成一个四位数字号码可分为 4 步,每个拨号盘上的数字都有从 0 到 9 十种取法, 由分步乘法计数原理,4 个拨号盘上各取 1 个数字组成的四位数字号码的个数是 N=10× 10× 10× 10=10 000 即可以组成 10 000 个四位数字号码. 温馨提示 应用分步原理的要点是, 将完成一件事的过程分解为若干个步骤, 而每个步骤的方法数 应易于计算. 二、根据问题特点,合理地确定分步的标准是用好分步计数原理的关键 【例 2】 (1)5 名学生争夺 3 项比赛冠军,获得冠军的 可能情况种数共有多少? (2)数、理、化三科教师都布置了作业,求在同一时刻 5 名学生都做作业的所有可能情况的 种数? 解析:(1)完成这件事情(决定三个冠军),需要分三步,每一项冠军都可以由 5 个人中的一人 得到,故共有 5× 5× 5=125(种). (2)完成这件事情(5 名学生同时做作业),需要分步,即每个学生做作业均有 3 种情况,所以 5 名学生同时做作业的情况共有 3× 3× 3× 3× 3=243(种). 温馨提示 在分步时,必须有明确的标准,这样才可做到使结果不重、不漏.如(1)题以三项冠军为 标准从而分 3 步, 如果以人为标准分 5 步, 每步有 3 种情况(显然不对)漏掉不得冠军的情况, 并且重复现象也明显.(2)题以学生为标准,分 5 步,同样可知得 53 也不对. 三、弄清问题的实质和背景,把问题转化为能运用分步计数原理解决的问题 【例 3】 2 160 的所有正因数的和是多少? 解析:首先要搞清正因数的概念与正因数的形成过程. 因为 2 160=24× 33× 5, 所以 2 160 的正因数为 P=2a× 3b× 5c , 其中 a∈{0,1,2,3,4} , b∈{0,1,2,3},c∈{0,1}. 确定了一组 a,b,c 的值就确定了惟一的一个正因数,a,b,c 中至少有一个不同则对应不同的 正 因 数 . 如 果 将 它 们 分 别 计 算 然 后 相 加 比 较 繁 琐 , 事 实 上 (20+21+22+23+24)× (30+31+32+33)× (50+51) 展开式的项也就是 2 160 的所有正因数, 所以 2 160 的所有正因数的和为 (20+21+22+23+24)× (30+31+32+33)× (50+51)=7 440. 温馨提示 只要我们把问题的实质、背景、形成条件弄清楚了,就能准确、恰当的找到解决问题的 办法.本题先分解质因数,由质因数的种类,可知构成一个因数可分三个步骤,由每种质因 数可取的个数得到每个步骤的办法数. 各个击破 【类题演练 1】某学生填报高考志愿,有 m 个不同的学校可供选择,若只能填 3 个志愿,且 按第一、二、三志愿依次填写,求该生填写志愿的方式的种数. 解析:可分三步完成填写志愿的任务:第一步从 m 个学校中选 1 个填写在第一志愿中;第 二步从剩下的 m-1 个学校中选 1 个填在第二志愿中;第三步从剩下的 m-2 个学校中选 1 个 填写在第三志愿中.由分步计数原理共有 N=m(m-1)(m-2)种填写志愿的种数. 【变式提升 1】三种作物种植在如图所示的五块实验田里,每块实验田种植一种作物且相邻 的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种? 解析:问题的实质是三种作物不能有剩余且相邻的实验田不能种植同一种作物,只考虑“相 邻的实验田不能种植同一作物”,有 3× 2× 2× 2× 2=48(种),再考虑“满足相邻的实验田不能种 植同一作物最少要几种作物”.仅用 2 种作物种植时有 6 种方式, 所以共有 48-6=42(种)种植方 式. 【类题演练 2】从 {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 中任取 3 个不同的数作为抛物线方程 y=ax2+bx+c(a≠0) 的系数,如果抛物线过原点且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条? ? ?0 ? a ? 0 2 ? b ? 0 ? c, ? ? b 2 ? 0, 解析: 抛物线 y=ax +bx+c 过原点, 且顶点在第一象限, a、 b、 c 应满足 ?? 2 a ? ? 4ac ? b 2 ? 0, ? ? 4a ? c ? 0, ? 即 ? a ? 0, ?b ? 0, ? ∴分三步,a=-3,-2,-1;b=1,2,3,c=0,所以抛物线 的条数 N=3× 3× 1=9. 【变式提升 2】直线 l 上有 7 个点,直线 m 上有 8 个点,若这些点都不重合,则通过这些点 中的两点最多有______________条直线,若 m 与 l 上有两点重合,最少有______________ 条直线. 解析:如图(1),l 上的点与 m 上的点互不重合,经过这些点的直线包含:(ⅰ)经过 l 上一点 与 m 上一点的直线,共 7× 8=56 条;(ⅱ)l 与 m,共 2 条,因此最多共有 58 条直线.如图(2), 不妨 设 A1、B1 重合(∵l 与 m 不重合,∴l 与 m 上的点至多有一对点重合),这时,经过这些点的 直线共有 6× 7+2=44 条,这是最少的情形. (1) (2) 答案:58,44 【类题演练 3】已知集合 A={a,b,c,d},B={e,f,g} ,那么从 A 到 B 的映射共有多少个? 解析:首先应将“映射”的概念弄清,映射是指集合 A 中的任一个元素在集合 B 中有惟一的 元素与它相对应.从映射的概念中我们可以看到它的两个特征: (1)集合 A 中的元素不能剩余,集合 B 中的元素可以剩余; (2)从集合 A 到集合 B 元素可以多对一,不能一对多. 所以 要“完成一个映射”可以分步完成: 第一步 a 的象有

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