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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.8


数学

北(文)

§2.8 函数与方程
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数的零点 (1)函数零点的定义 函数 y=f(x)的图像与横轴的交点的 横坐标 称为这个函数的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图像与 x轴 有交点?函数 y=f(x)有 零点 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端 点的函数值符号相反即 f(a)· f(b)<0,则在区间 (a,b) 内,函数 y =f(x)至少有一个零点,即相应方程 f(x)=0 在区间(a,b)内至少 有一个实数解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

知识回顾 理清教材

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 二次函数 y= ax2 + bx + c(a>0) 的 图像 与 x 轴的交点 零点个数 Δ= 0 Δ<0

(x1,0),(x2,0) 2

(x1,0) 1

无交点

0

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
3.用二分法求方程实数解的过程
知识回顾 理清教材

其中:“初始区间”是一个两端函数值 反号 的区间;“M”的 含义:取新区间,一个端点是原区间的 中点 ,另一端是原区间 两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号;“N”的含义: 方程解满足 要求的精度 ;“P”的含义:选取区间内的 任意

一个数 作为方程的近似解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) × (2) × (3) √ (4) × (5) √ (6) ×

解析

B A
C

3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数零点的判断和求解
(1)函数 f(x)=e +2x-3 )
x

思维启迪

解析

答案

思维升华

的零点所在的一个区间是( ? 1 ? ? 1? A.?-2,0? B.?0,2? ? ? ? ? ?1 ? ? 3? C.?2,1? D.?1,2? ? ? ? ? 在区间[0,4]上的零点个数为 ( A.4 C.6
基础知识

(2)(2012· 湖北 )函数 f(x)= xcos x2 )

B. 5 D.7
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数零点的判断和求解
(1)函数 f(x)=e +2x-3 )
(1)利用零点存在性定理判断;
(2)函数零点的确定问题.
x

思维启迪

解析

答案

思维升华

的零点所在的一个区间是( ? 1 ? ? 1? A.?-2,0? B.?0,2? ? ? ? ? ?1 ? ? 3? C.?2,1? D.?1,2? ? ? ? ? 在区间[0,4]上的零点个数为 ( A.4 C.6
基础知识

(2)(2012· 湖北 )函数 f(x)= xcos x2 )

B. 5 D.7
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数零点的判断和求解
(1)函数 f(x)=e +2x-3 )
x

思维启迪

解析

答案

思维升华

的零点所在的一个区间是( ? 1 ? ? 1? A.?-2,0? B.?0,2? ? ? ? ? ?1 ? ? 3? C.?2,1? D.?1,2? ? ? ? ? 在区间[0,4]上的零点个数为 ( A.4 C.6
基础知识

(1)由于函数 f(x)的图像在 R 1 ? 1? ? 上是连续的,且 f?-2?= e 2 ? ? 1 ? 1 +2×(- )-3= e 2 -4<0, 2

(2)(2012· 湖北 )函数 f(x)= xcos x2 )



? 1? f?-2?<0; ? ?

f(0)=e0+2×0-3=-2<0,
1 ?1? f?2?=e 2 ? ?

B. 5 D.7
题型分类

1 +2×2-3=e 2 -2

1

= e-2<0,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数零点的判断和求解
(1)函数 f(x)=e +2x-3 )
x

思维启迪

解析

答案

思维升华

的零点所在的一个区间是( ? 1 ? ? 1? A.?-2,0? B.?0,2? ? ? ? ? ?1 ? ? 3? C.?2,1? D.?1,2? ? ? ? ? 在区间[0,4]上的零点个数为 ( A.4 C.6
基础知识

(2)(2012· 湖北 )函数 f(x)= xcos x2 )

f(1)=e1+2×1-3=e-1>0, ?1? ∴f?2?· f(1)<0, ? ? 故函数 f(x)=ex+2x-3 的一 ?1 ? 个零点所在的区间是?2,1?. ? ? (2)当 x=0 时,f(x)=0.
又因为 x∈[0,4] ,
所以 0≤x2≤16. 11π 因为 5π<16< , 2
思想方法 练出高分

B. 5 D.7
题型分类

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数零点的判断和求解
(1)函数 f(x)=e +2x-3 )
x

思维启迪

解析

答案
2

思维升华
2

的零点所在的一个区间是( ? 1 ? ? 1? A.?-2,0? B.?0,2? ? ? ? ? ?1 ? ? 3? C.?2,1? D.?1,2? ? ? ? ? 在区间[0,4]上的零点个数为 ( A.4 C.6
基础知识

π 所以函数 y=cos x 在 x 取 , 2 3π 5π 7π 9π , , , 时为 0, 2 2 2 2
此 时 f(x) = 0 ,

(2)(2012· 湖北 )函数 f(x)= xcos x2 )

所以 f(x)=xcos x2 在区间[0,4] 上的零点个数为 6.

B. 5 D.7
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数零点的判断和求解
(1)函数 f(x)=e +2x-3
x

思维启迪

解析

答案
2

思维升华
2

的零点所在的一个区间是( C ) ? 1 ? ? 1? A.?-2,0? B.?0,2? ? ? ? ? ?1 ? ? 3? C.?2,1? D.?1,2? ? ? ? ? (2)(2012· 湖北 )函数 f(x)= xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 ( C ) A.4 C.6
基础知识

π 所以函数 y=cos x 在 x 取 , 2 3π 5π 7π 9π , , , 时为 0, 2 2 2 2
此 时 f(x) = 0 ,

所以 f(x)=xcos x2 在区间[0,4] 上的零点个数为 6.

B. 5 D.7
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

函数零点的判断和求解
(1)函数 f(x)=e +2x-3
x

思维启迪

解析

答案

思维升华

的零点所在的一个区间是( C ) ? 1 ? ? 1? A.?-2,0? B.?0,2? ? ? ? ? ?1 ? ? 3? C.?2,1? D.?1,2? ? ? ? ? (2)(2012· 湖北 )函数 f(x)= xcos x 在区间[0,4]上的零点个数为 ( C ) A.4 C.6
基础知识
2

函数零点的确定问题,常见的 有 ① 函数零点值大致存在区 间的确定, ② 零点个数的确 定,③两函数图像交点的横坐 标或有几个交点的确定.解决 这类问题的常用方法有解方 程法、利用零点存在的判断或 数形结合法.
思想方法 练出高分

B. 5 D.7
题型分类

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 C.(0,1) (1)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 ( B ) B.(-1,0) D.(1,2)

A.(-2,-1)

解析 ∵f′(x)=2xln 2+3>0,
∴f(x)=2x+3x 在 R 上是增函数.
而 f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,
f(0)=20=1>0,f(1)=2+3=5>0,f(2)=22+6=10>0, ∴f(-1)· f(0)<0.

故函数 f(x)在区间(-1,0)上有零点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 A.多于 4 个 C.3 个 (2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且当 ( B ) B. 4 个 D.2 个 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的零点个数是

解析 由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数.
在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图像,如下:

观察图像可以发现它们有 4 个交点,
即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 是否存在这样的实数 a, 使函数 f(x) = x2 + (3a - 2)x + a -1 在区间[-1,3]上恒有一个零 点,且只有一个零点?若存在, 求出 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 是否存在这样的实数 a, 使函数 f(x) = x2 + (3a - 2)x + a -1 在区间[-1,3]上恒有一个零 点,且只有一个零点?若存在, 求出 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.

可将问题转化为 f(x) = 0 在 [ - 1,3] 上有且只有一个实数 根,结合二次函数的图像特 征转化题中条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 是否存在这样的实数 a, 解 令 f(x)=0, 使函数 f(x) = x + (3a - 2)x + a -1 在区间[-1,3]上恒有一个零
2

则 Δ=(3a-2)2-4(a-1) 8 8 =9a2-16a+8=9(a- )2+ >0, 9 9 即 f(x)=0 有两个不相等的实数根,
则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)·

点,且只有一个零点?若存在, ∴若实数 a 满足条件, 求出 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.

(9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0,
1 ∴a≤-5或 a≥1.
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 思维升华
检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1, 所以 f(x)=x2+x.

【例 2】 是否存在这样的实数 a, 使函数 f(x) = x + (3a - 2)x + a -1 在区间[-1,3]上恒有一个零 点,且只有一个零点?若存在, 求出 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.
2

令 f(x)=0,即 x2+x=0, 得 x=0 或 x=-1.
方程在[ -1,3] 上有两个实数根, 不合题意,故 a≠1.
1 (2)当 f(3)=0 时,a=-5, 13 6 2 此时 f(x)=x - 5 x-5.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 是否存在这样的实数 a,

13 6 令 f(x)=0,即 x2- x- =0, 5 5 使函数 f(x) = x2 + (3a - 2)x + a 2 解得 x=- 或 x=3. 5 -1 在区间[-1,3]上恒有一个零 方程在[ -1,3] 上有两个实数根, 1 点,且只有一个零点?若存在, 不合题意,故 a≠- . 5 求出 a 的取值范围;若不存在, 综上所述,a<-1或 a>1. 5
说明理由.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 是否存在这样的实数 a, 使函数 f(x) = x + (3a - 2)x + a -1 在区间[-1,3]上恒有一个零
2

解决二次函数的零点问题: (1) 可利用一元二次方程的求根 公式;

点,且只有一个零点?若存在, (2)可用一元二次方程的判别式及 求出 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.
根与系数之间的关系;
(3) 利用二次函数的图像列不等式 组.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知 f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比 1 大, 一个零点比 1 小,求实数 a 的取值范围.



方法一

设方程 x2+(a2-1)x+(a-2)=0 的两根分别为 x1,

x2(x1<x2),则(x1-1)(x2-1)<0,

∴x1x2-(x1+x2)+1<0,
由根与系数的关系,得(a-2)+(a2-1)+1<0,

即 a2+a-2<0,∴-2<a<1.

方法二 函数图像大致如图,则有 f(1)<0,

即 1+(a2-1)+a-2<0,∴-2<a<1.
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数零点的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 若关于 x 的方程 22x+ 2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数零点的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 若关于 x 的方程 22x+ 2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

方程的根也就是与方程对应的 函数零点,判断方程的根是否 存在,可以通过构造相应的函 数,将其转化为函数零点的存 在性问题求解,也可直接通过 分离参数,转化为函数的值域 问题求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数零点的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 若关于 x 的方程 22x+ 2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

解 方法一 (换元法) 设 t=2x (t>0),则原方程可变为
t2+at+a+1=0, (*)
原方程有实根, 即方程(*)有正根.

令 f(t)=t2+at+a+1.

①若方程(*)有两个正实根 t1,t2, ?Δ=a2-4?a+1?≥0, ? 则?t1+t2=-a>0, ?t · ? 1 t2=a+1>0,
解得-1<a≤2-2 2;
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题型分类·深度剖析
题型三 函数零点的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 若关于 x 的方程 22x+ 2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

②若方程(*)有一个正实根和一个 负实根(负实根, 不合题意, 舍去), 则 f(0)=a+1<0,解得 a<-1;

③当 a=-1 时,t=1,x=0 符合 题意.

综上,a 的取值范围是 (-∞,2-2 2].

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数零点的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 若关于 x 的方程 22x+ 2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

(分离变量法) 22x+1 由方程,解得 a=- x , 2 +1

方法二

设 t=2x (t>0), ? ? 2 t2+1 ? 则 a=- =-?t+t+1-1? ? t+1 ? ? ? 2 ? ? =2-??t+1?+t+1? 其中 t+1>1, ?, ? ? 2 由 基 本 不 等 式 , 得 (t + 1) + t +1

≥2 2,当且仅当 t= 2-1 时取 等号,故 a≤2-2 2.
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题型分类·深度剖析
题型三 函数零点的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 若关于 x 的方程 22x+ 2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

对于“a=f(x)有解”型问题,可 以通过求函数 y = f(x) 的值域来 解决.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x), ( B ) 1 B.(0, )∪[5,+∞) 5 1 D.[ ,1]∪(1,5] 5 当-1<x≤1 时,f(x)=x3,若函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 5 个零点, 则 a 的取值范围是 A.(1,5) 1 C.(0, ]∪[5,+∞) 5

解析

依题意知函数 f(x)的周期为 2,

在坐标平面内画出函数 y=f(x)与函数 y =loga|x|的图像,如图所示,
结合图像,可知要使函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 5 个零点, 1 1 则有 0<a<5或 a≥5,即实数 a 的取值范围是(0,5)∪[5,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列4 函数与方程思想的应用
2 e 典例: (12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1, g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列4 函数与方程思想的应用
2 e 典例: (12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1, g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)y=g(x)-m 有零点即 y=g(x)与 y=m 的图像有交点,所以可 以结合图像求解; (2)g(x)-f(x)=0 有两个相异实根?y=f(x)与 y=g(x)的图像有两 个不同交点,所以可利用它们的图像求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列4 函数与方程思想的应用
2 e 典例: (12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1, g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

e2 解 (1)方法一 ∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e, 等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e, +∞),
6分 因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点. e2 方法二 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图像如图. 3分 x 6分 可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e.

3分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列4 函数与方程思想的应用
2 e 典例: (12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1, g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根, 即 g(x)与 f(x)的图像有两个 不同的交点, 2 e 作出 g(x)=x+ x (x>0)的大致图像如图.
∴其图像的对称轴为 x=e,开口向下, 最大值为 m-1+e2.
基础知识 题型分类
10分
8分

∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列4 函数与方程思想的应用
2 e 典例: (12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1, g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

故当 m-1+e2>2e,
即 m>-e2+2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,

即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法
12分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列4 函数与方程思想的应用
2 e 典例: (12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1, g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)求函数零点的值,判断函数零点的范围及零点的个数以及已 知函数零点求参数范围等问题,都可利用方程来求解,但当方 程不易甚至不可能解出时,可构造两个函数,利用数形结合的 方法进行求解.
(2)本题的易错点是确定 g(x)的最小值和 f(x)的最大值时易错.要 注意函数最值的求法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.函数零点的判定常用的方法有

方 法 与 技 巧

(1)零点存在性定理; (2)数形结合; (3)解方程 f(x) =0.
2.研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)= f(x)-g(x)的零点.

3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函 数图像交点的个数问题;已知方程有解求参数 范围问题可转化为函数值域问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1. 函数 f(x)的零点是一个实数, 是方程 f(x)=0 的根, 也是函数 y=f(x)的图像与 x 轴交点的横坐标.

2 .函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条 件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函 数的单调性、对称性或结合函数图像.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.方程 log3x+x-3=0 的解所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

( C )

解析 设 f(x)=log3x+x-3,则 f(2)=log32-1<0,

f(3)=log33+3-3=1>0, ∴f(x)=0 在(2,3)有零点, 又 f(x)为增函数,∴f(x)=0 的零点在(2,3)内.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2. 方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 A.1
解析

( B )

B. 2
(数形结合法)

C.3

D.4

∵a>0,∴a2+1>1.
而 y=|x2-2x|的图像如图,
∴y=|x2-2x|的图像与 y=a2+1 的图像总有两个交点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ( C )

解析 ∵方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,
∴Δ=m2-4>0,∴m>2 或 m<-2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

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4.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零 点依次为 a,b,c,则 A.a<b<c C.b<a<c B.a<c<b D.c<a<b ( )

1 1 解析 由于 f(-1)=2-1=-2<0,f(0)=1>0,
且 f(x)为单调递增函数.

故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0).
∵g(2)=0,∴g(x)的零点 b=2;
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4.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零 点依次为 a,b,c,则 A.a<b<c C.b<a<c B.a<c<b D.c<a<b ( B )

?1? 1 1 ? ? ∵h 2 =-1+ =- <0,h(1)=1>0, 2 2 ? ?

且 h(x)为单调递增函数,

∴h(x)的零点
基础知识

?1 ? c∈?2,1?,因此 ? ?

a<c<b.
思想方法 练出高分

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1 5.已知 x0 是函数 f(x)= +ln x 的一个零点,若 x1∈(1,x0), 1- x x2∈(x0,+∞),则 A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 D.f(x1)<0,f(x2)>0 ( )

1 解析 令 f(x) = +ln x=0. 从而有 1-x 1 ln x= ,此方程的解即为函数 f(x) x-1 的零点.在同一坐标系中作出函数 y 1 =ln x 与 y= 的图像如图所示. x-1
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1 5.已知 x0 是函数 f(x)= +ln x 的一个零点,若 x1∈(1,x0), 1- x x2∈(x0,+∞),则 A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 D.f(x1)<0,f(x2)>0 ( D )

1 1 由图像易知, >ln x1,从而 ln x1- <0, x1-1 x1-1

1 故 ln x1+ <0,即 f(x1)<0. 1-x1 同理 f(x2)>0.
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6. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足: 当 x>0 时, f(x)=2 015x+log2 015x,

3 则在 R 上,函数 f(x)零点的个数为________ .
解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数,因此 f(0)=0, 1 当 x>0 时,f(x)=2 015x+log2 015x 在区间(0,2 015)内存在一个
零点,又 f(x)为增函数,

因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.
根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数 f(x)在 R 上的零点的个数为 3.
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7.已知函数

x ? ?2 -1,x>0, f(x)=? 2 ? - x -2x,x≤0, ?

若函数 g(x)=f(x)-m

(0,1) . 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是________
x ? ?2 -1,x>0 f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0

解析 画出

的图像, 如图.

由于函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零 点,结合图像得:0<m<1, 即 m∈(0,1).
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8.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 3 {x|-2<x<1} . af(-2x)>0 的解集是_____________

解析 ∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3.
∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根,
? ?-2+3=-a 由根与系数的关系知? ? ?-2×3=b ? ?a=-1 ,∴? ? ?b=-6



∴f(x)=x2-x-6.
∵不等式 af(-2x)>0,
3 即-(4x +2x-6)>0?2x +x-3<0,解集为{x|-2<x<1}.
2 2

基础知识

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x 1 9.已知函数 f(x)=x -x + + . 2 4 1 证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2
证明 令 g(x)=f(x)-x.
1 1 1 1 1 ∵g(0)=4,g(2)=f(2)-2=-8, 1 ∴g(0)· g(2)<0. 1 又函数 g(x)在[0,2]上连续, 1 ∴存在 x0∈(0,2),使 g(x0)=0.即 f(x0)=x0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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10.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点.

解 ∵f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m· 2x+1=0 仅有一个实根.

设 2x=t (t>0),则 t2+mt+1=0.
当 Δ=0,即 m2-4=0,
∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去),
∴2x=1,x=0 符合题意.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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10.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点.
当 Δ>0,即 m>2 或 m<-2 时,
t2+mt+1=0 有两正根或两负根,

即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意.
综上可知,m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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3 4 5

基础知识

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专项能力提升
3


4

5

1.已知 x1,x2 是函数 f(x)=e x-|ln x|的两个零点,则 1 A. <x1x2<1 B.1<x1x2<e e C.1<x1x2<10 D.e<x1x2<10


(

)

解析

在同一坐标系中画出函数 y=e x 与 y=|ln x|的图像,结

合图像不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标 属于区间(0,1),

另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在 x1,x2 中,其中 一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).

基础知识

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1.已知 x1,x2 是函数 f(x)=e x-|ln x|的两个零点,则 1 A. <x1x2<1 B.1<x1x2<e e C.1<x1x2<10 D.e<x1x2<10

( A )

不妨设 x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),

则有 e ? x1=|ln x1|=-ln x1∈(e-1,1), e 1 即e<x1x2<1.

? x2

=|ln x2 |=ln x2∈(0,e-1),

e

? x2- ? x= 1 ln x

e

-1 0 + ln x = ln x x ∈ ( - 1,0) ,于是有 e < x x <e , 2 1 1 2 1 2

基础知识

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3 4 5

2. 若直角坐标平面内的两点 P, Q 满足条件: ①P, Q 都在函数 y=f(x) 的图像上;②P,Q 关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x) 的一对“友好点对”( 点对 [P , Q] 与 [Q , P] 看作同一对“友好点 ? ?log2x,x>0, 对”). 已知函数 f(x)=? 则此函数的“友好点对 2 ? ?-x -4x,x≤0, 有 A.0 对 ( B. 1 对 C.2 对 D.3 对
? ?log2x,x>0, f(x)=? 2 ? ?-x -4x,x≤0

)

解析 函数

的图像及函数 f(x)=-x2-4x(x≤0)的图像关于原点
对称的图像如图所示,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2. 若直角坐标平面内的两点 P, Q 满足条件: ①P, Q 都在函数 y=f(x) 的图像上;②P,Q 关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x) 的一对“友好点对”( 点对 [P , Q] 与 [Q , P] 看作同一对“友好点 ? ?log2x,x>0, 对”). 已知函数 f(x)=? 则此函数的“友好点对 2 ? ?-x -4x,x≤0, 有 A.0 对 ( C ) B. 1 对 C.2 对 D.3 对

则 A,B 两点关于原点的对称点一定在函数 f(x)=-x2-4x(x≤0)的图像上,
故函数 f(x)的“友好点对”有 2 对,选 C.

基础知识

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3 4 5

3.若方程 4-x2=k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取 值范围是________.
解析 作出函数 y1= 4-x2和 y2=k(x-2)+3 的图像如图所示,
函数 y1 的图像是圆心在原点, 半径为 2 的圆 在 x 轴上方的半圆(包括端点),函数 y2 的图 像是过定点 P(2,3)的直线,点 A(-2,0),kPA 3-0 3 = = .直线 PB 是圆的切线,由圆心 2-?-2? 4 |3-2kPB| =2, 2 到直线的距离等于半径得, kPB +1
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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2

专项能力提升
3 4 5

3.若方程 4-x2=k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取
5 3 (12,4] 值范围是________ .

5 得 kPB= .由图可知当 kPB<k≤kPA 时, 12
两函数图像有两个交点,即原方程有两个不等实根.

5 3 所以12<k≤4.

基础知识

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专项能力提升
5

3 1 4 2 4.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根, 其中一根在区间(-1,0)内, 另一根在区间(1,2) 内,求 m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围.

解 (1)由条件, 抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别
在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示, 1 ? ?m<-2, ? ? ?f?0?=2m+1<0 ?m∈R, ?f?-1?=2>0 1 得? ?? f ? 1 ? = 4 m + 2<0 ? ?m<-2, ? ? ?f?2?=6m+5>0 ?m>-5. 6 ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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专项能力提升
5

3 1 4 2 4.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根, 其中一根在区间(-1,0)内, 另一根在区间(1,2) 内,求 m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围.
5 1 即- <m<- , 6 2
5 1 故 m 的取值范围是(- ,- ). 6 2

(2) 抛物线与 x 轴交点的横坐标均在区间 (0,1) 内,如右图所示,

基础知识

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专项能力提升
5

3 1 4 2 4.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根, 其中一根在区间(-1,0)内, 另一根在区间(1,2) 内,求 m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围.
? ?f?0?>0 ?f?1?>0 列不等式组? ?Δ≥0 ? ?0<-m<1 1 ? ?m>- , 2 ? ? 1 m > - , ?? 2 ? ?m≥1+ 2或m≤1- 2, ? ?-1<m<0.

1 1 即-2<m≤1- 2.故 m 的取值范围是(-2,1- 2].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

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5.已知 a 是正实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区 间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围.

1 解 f(x)=2ax +2x-3-a 的对称轴为 x=-2a.
2

1 1 ①当- ≤-1,即 0≤a≤ 时, 2a 2
? ?f?-1?≤0, 须使? ? ?f?1?≥0, ? ?a≤5, 即? ? ?a≥1,

∴a 的解集为?.

基础知识

题型分类

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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.已知 a 是正实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区 间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围.
1 1 ②当-1<- <0,即 a> 时, 2a 2
1 1 ? ? ?f?- ?≤0, ?- -3-a≤0, 2a 须使? 即? 2a ? ? ?f?1?≥0, ?a≥1,
解得 a≥1,∴a 的取值范围是[1,+∞).

基础知识

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