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2011年新课标版高考题库考点28 基本不等式


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考点 28
一、选择题

基本不等式
3 2

1. (2011·福建卷文科·T10)若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大 值等于( (A)2 (C)6 ) (B)3 (D)9

【思路点拨】先由 f ?(1) ? 0 得到关于 a, b 的关系式,然后再分析求 ab 的最大值. 【精讲精析】选 D.
2 由题意得 f ?( x) ? 12 x ? 2ax ? 2b, ?函数f ( x)在x ? 1处有极值,

? f ?(1) ? 0,?12 ? 2a ? 2b ? 0, 即 a ? b ? 6 .
又? a ? 0, b ? 0, 由均值不等式得: ab ? (

a?b 2 6 ) ? ( ) 2 ? 9, 故 ab 的最大值是 9. 2 2

2.(2011·北京高考文科·T7)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元,若每批生产 x 件,则平均仓储时间为

x 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产准备费用与 8
) (D)120 件

仓储费用之和最小,每批应生产产品( (A)60 件 (B)80 件 (C)100 件

【思路点拨】写出平均每件产品费用的函数,再利用均值不等式求出最值.

【精讲精析】选 B.平均每件产品的费用为 y ?

800 ?

x2 8 ? 800 ? x ? 2 800 ? x ? 20 ,当且仅当 x x 8 x 8

800 x ? ,即 x ? 80 时取等号.所以每批应生产产品 80 件,才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储 x 8
费用之和最小. 3.(2011·陕西高考文科·T3)设 0 ? a ? b ,则下列不等式中正确的是( )

a?b 2 a?b (C) a ? ab ? b ? 2
(A) a ? b ?

ab ?

(B) a ? (D)

a?b ?b 2 a?b ab ? a ? ?b 2 ab ?
-1-

【思路点拨】根据不等式的性质,结合作差法,放缩法,基本不等式或特殊值法等进行比较. 【精讲精析】选 B (方法一)已知 a ? b 和 ab ? 因为 a ? ( ab ) ? a(a ? b) ? 0 , 所以 a ?
2 2

a?b ,比较 a 与 ab , 2

2 2 ab , 同理由 b ? ( ab ) ? b(b ? a) ? 0 得 ab ? b ; 作差法:

a?b b?a a?b a?b 所以 综上可得 a ? ab ? 故选 B. (方法二) 取a ? 2, ? ? 0, ?b, ?b; b ?8, 2 2 2 2 a?b a?b 则 ab ? 4 , ? 5 ,所以 a ? ab ? ?b. 2 2 b?
二、填空题 4.(2011·江苏高考·T8)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________ 【思路点拨】本题考查的是直线的两点间的距离公式和基本不等式的应用,解题的关键是表示出线段的长 度,然后利用基本不等式求得其最小值. 【精讲精析】由题设直线与函数图象的交点为 ( x, ) , (? x, ? ) ,则线段

2 的图象交 x

2 x

2 x

2 2 4 PQ ? ( x ? x) 2 ? ( ? ) 2 ? (2 x) 2 ? ( ) 2 ? 4 ,所以线段 PQ 长的最小值是 4 x x x
【答案】4 5.(2011·湖南高考理科·T10)设 x,y ? R, 且xy ? 0, 则( x ?
2

1 1 )( 2 ? 4 y 2 ) 的最小值为_______ 2 y x

【思路点拨】本题以求二元函数的最值为载体考查柯西不等式的运用. 【精讲精析】 ( x ?
2

1 1 1 1 )( 2 ? 4 y 2 ) ? ( x ? ? ? 2 y ) 2 ? 9 . 2 x y y x

【答案】9 6.(2011.天津高考理科.T13)已知集合

1 ? ? A ? ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9? , B ? ? x ? R | x ? 4t ? ? 6, t ? (0, ??) ? ,则集合 A ? B =________ t ? ?
【思路点拨】分别解出集合 A、B 中的 x 的范围,再求交集. 【精讲精析】对集合 A:当 x ? ?3 时,解得 x ? [-4, - 3] ;当 x ?( ? 34) , 时,恒成立;当 x ? 4 时,x ? [4,5] . 综上可得 x ?[-4,5] . 对 B: x ? 4t ? ? 6 ? 2 4t ? ? 6 ? 4 ? 6 ? ?2 (当且仅当 t ?
-2-

1 t

1 t

1 时等号成立) 2

? A ? B ? ? x ?2 ? x ? 5?
【答案】 x ?2 ? x ? 5

?

?
a b

7.(2011·天津高考文科·T12)已知 log 2 a ? log 2 b ? 1 ,则 3 + 9 的最小值为__________ 【思路点拨】利用对数的性质、平均值不等式求最值..

? log 2 a ? log 2 b ? 1,? a ? 0, b ? 0, ab ? 2, ,又 3 ? 9 ? 2 3 【精讲精析】
a b

a ? 2b

? 2 32

2 ab

? 2 ? 32 ? 18, ,

当且仅当 a=2b 时取得等号. 【答案】18 8.(2011·浙江高考理科·T16)设 x, y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1, 则 2 x ? y 的最大值是
2 2

.

【思路点拨】把求解 2 x ? y 的最大值问题转化为求 xy 的最大值问题,而 xy 取最大值时必为正数,不妨设

x, y 均为正数来研究.
2 【精讲精析】∵ 4 x ? y ? xy ? 1 ,∴ (2 x ? y ) ? 3xy ? 1 ,即 (2 x ? y ) ?
2 2

2

3 ? 2 xy ? 1 ,不妨设 x,y 均 2

为正数, 则 (2 x ? y ) ?
2

2 10 3 2x ? y 2 8 . ( ) ? 1 ,解之得: (2 x ? y ) 2 ? ,即 2 x ? y ? 5 2 2 5

【答案】

2 10 5
2 2

9.(2011·浙江高考文科·T16)若实数 x, y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 ___________________________. 【思路点拨】把求解 x ? y 的最大值问题转化为求 xy 的最大值问题,而 xy 取最大值时必为正数,不妨设

x, y 均为正数来研究.
【精讲精析】∵ x ? y ? xy ? 1 ,
2 2

2 ∴ ( x ? y) ? xy ? 1 ,不妨设 x,y 均为正数,则 ( x ? y ) ? (
2

x? y 2 ) ? 1, 2

∴ ( x ? y) ?
2

2 3 4 ,x? y ? . 3 3

【答案】

2 3 3

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