当前位置:首页 >> 数学 >>

413解三角形知识点汇总和典型例题 2

中小学 1 对 1 课外辅导专家

学科辅导教案讲义
授课对象 授课时间 课 型 俞晓娴 4.13 复习课 授课教师 授课题目 使用教具 解三角形复习总结

教学目标 教学重点和难点 参考教材

熟练掌握三角形六元素之间的关系,会解三角形 灵活解斜三角形 必修 5 第一章
教学流程及授课详案

解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a +b =c 。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=
2 2 2

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。

一、知识点总结 a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . 1.正弦定理: sin A sin B sin C
推论:①定理:若α 、β >0,且α +β < ? ,则α ≤β ? sin ? ? sin ? ,等号当且当α =β 时成 立。

②判断三角解时,可以利用如下原理: sinA > sinB
cos A ? cos B ? A ? B ( y ? cos x 在 (0, ? ) 上单调递减)
3.三角形的面积公式:

? A > B

?

a > b

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2) S ? = absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1) S ? =

教育是一项良心工程

中小学 1 对 1 课外辅导专家

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2.余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 或 ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? . ?cos B ? 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?

3. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5.三角形中的基本关系: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

sin
已知条件 一边和两角 (如 a、B、C)

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2
一般解法 由 A+B+C=180˙,求角 A,由正弦定理求出 b 与 c,在有 解时有一解。

定理应用 正弦定理

两边和夹角 (如 a、b、c) 三边 (如 a、b、c)

余弦定理

由余弦定理求第三边 c,由正弦定理求出小边所对的角, 再由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。

余弦定理

由余弦定理求出角 A、B,再利用 A+B+C=180˙,求出 角 C 在有解时只有一解。

2[课前热身] 1.(教材习题改编)已知△ABC 中,a= 2,b= 3,B=60° ,那么角 A 等于( A.135° B.90° C.45° D.30° 2.在△ABC 中, a ? b ? c ? bc ,则 A 等于(
2 2 2

)

)

A.60° B.45° C.120°

D.30° )

3.在△ABC 中,若 A=120° ,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积是( 3 3 A. 4 15 3 B. 2 15 3 15 3 C. D. 4 8

4.(2010 年高考广东卷)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3, A+C=2B,则 sinA=________. 5.
2

中小学 1 对 1 课外辅导专家

5.在△ABC 中,如果 A=60° ,c= 2,a= 6,则△ABC 的形状是________.

二、典例解析 题型 1:正、余弦定理 例 1、(1)(2010 年高考山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b =2,sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________. (2)满足 A=45° ,a=2,c= 6的△ABC 的个数为________.

余弦定理的应用 π 例 2、在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b 的值; (2)若 sinB=2sinA,求△ABC 的面积.

题型 2:三角形面积 例 2.在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 的面积。 2

解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。

? sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45? ) ? 1 ? cos(A ? 45? ) ? . 2

2 , 2

解法二:由 sin

A ? cos A 计算它的对偶关系式 sin A ? cos A 的值。
3

中小学 1 对 1 课外辅导专家

题型 3:三角形中的三角恒等变换问题 例 3.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,且 a
2 2

-c =ac-bc,求∠A 的大小及

b sin B c

的值。

题型 4:正、余弦定理判断三角形形状 例 4.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 )

例 3、(2010 年高考辽宁卷)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状.

题型 5:三角形中求值问题 例 5. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos

B?C 取得最大值,并 2

4

中小学 1 对 1 课外辅导专家

求出这个最大值。

题型 6:正余弦定理的实际应用 例 6. (2009 辽宁卷文,理)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两 座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为
0

750 , 30 0 ,于水面 C 处测

得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等, 然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,

2

? 1.414,

6

? 2.449)

三、思维总结 1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短边所对的 角,然后利用 A+B+C = π ,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由 正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π ,求角 C。 2.三角学中的射影定理:在△ABC 中, b

? a ? cos C ? c ? cos A ,?

5

中小学 1 对 1 课外辅导专家

3.两内角与其正弦值:在△ABC 中,

A ? B ? sin A ? sin B ,?

4.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及 几何作图来帮助理解” 。 三、课后跟踪训练 1.(2010 上海文数 18.)若△

ABC 的三个内角满足
( )

sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形.

(B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

2. ( 2010 天津理数 7 )在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 a

2

? b2 ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(
(A) 30 0 【答案】A (B) 600

) (C) 1200 (D)1500

3.(2010 湖北理数)3.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B = A -

2 2 3

B

2 2 C - 6 D 3 3

6 3

【答案】D 【解析】根据正弦定理

a b 15 10 3 ? ? 可得 解得 sin B ? ,又因为 b ? a ,则 ? 3 sin A sin B sin 60 sin B
6 ,故 D 正确. 3

2 B ? A ,故 B 为锐角,所以 cos B ? 1 ? sin B ?

4. (2010 广东理数) 11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边, 若 a=1,b= 3 , A+C=2B, 则 sinC= .

5(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A

, AC 的取值

6

中小学 1 对 1 课外辅导专家

范围为

.

6. (2009 全国卷Ⅰ理) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、b 、 , 已知 a 且 sin

c

2

? c 2 ? 2b ,

A cos C ? 3cos A sin C,

求b

7.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan A ? tan C ? 3 tan A tan C 的值。
2 2 2 2

9.(2010 陕西文数 17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得
2 2 2 cos ? AD ? DC ? AC = 100 ? 36 ? 196 ? ? 1 , 2 ?10 ? 6 2 2 AD?DC ? ? ADC=120°, ? ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°,

由正弦定理得

AB AD , ? sin ?ADB sin B
3

∴AB= AD?sin ?ADB 10sin 60? 10 ? 2 ? ? ?5 6
sin B sin 45? 2 2

10.(2010 辽宁文数 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,
7

中小学 1 对 1 课外辅导专家

且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2

即a

2

? b 2 ? c 2 ? bc

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 1 故 cos A ? ? , A ? 120 ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin 又 sin B ? sin C 因为 0? ? 故B ?C
2

A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C.
2

? 1 ,得 sin B ? sin C ? 1

B ? 90?,0? ? C ? 90? ,
所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。

8


相关文章:
413解三角形知识点汇总和典型例题 2.doc
413解三角形知识点汇总和典型例题 2 - 中小学 1 对 1 课外辅导专家 学
解三角形知识点汇总和典型例题 完美.doc
解三角形知识点汇总和典型例题 完美_数学_高中教育_教育专区。解三角形 解三角...c c b 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a...
解三角形知识点汇总和典型例题.doc
解三角形知识点汇总和典型例题_数学_高中教育_教育专区。解三角形讲义授课对象 ...6.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析:分析题意,弄清已知和所求; (2)...
解三角形知识点汇总和典型例题教师版.pdf
解三角形知识点汇总和典型例题教师版_数学_高中教育_教育专区。呈贡进阶教育学科...6.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析:分析题意,弄清已知和所求; (2)...
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的.doc
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的 - 解三角形知识点总结及典型例题 一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C...
解三角形知识点总结及典型例题.doc
解三角形知识点总结及典型例题_高二数学_数学_高中...2 两角和差的余弦公式
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题.doc
高中数学-解三角形知识点汇总典型例题_数学_高中教育_教育专区。解三角形的...(1)三角形内角和:A+B+C=π。(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对...
高三-解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的(1).doc
高三-解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的(1) - 解三角形导学案 一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C (...
解直角三角形知识点及典型例题.doc
解直角三角形知识点典型例题 - 解直角三角形 本章知识结构梳理 锐角三角函数 1 锐角三角函数的定义 ⑴、正弦; ⑵、余弦; ⑶、正切。 2、30°、45°、60°...
必修5解三角形知识点和练习题(含答案).doc
必修5解三角形知识点和练习题(含答案) - 高二数学期末复习专题解三角形 复习要点 1.正弦定理: a sin A ? b c ? ? 2 R 或变形: a : b : c ?...
解三角形知识点汇总和典型例题.doc
解三角形知识点汇总和典型例题_数学_高中教育_教育专区。辅导教案讲义教学目标 ...6.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析:分析题意,弄清已知和所求; (2)...
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的.doc
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的 - 一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径) ()...
高中数学--解三角形知识点归纳和分类习题测试.doc
高中数学--解三角形知识点归纳和分类习题测试 - 必修五:解三角形 知识点一:正弦定理和余弦定理 a b c ? ? ? 2R 1.正弦定理: sin A sin B sin C 或...
解三角形知识点归纳总结.doc
解三角形知识点归纳总结 - 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 a b c ? ? ? 2 ...
解三角形知识点归纳.doc
解三角形知识点归纳 - 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c 3、三角形中的...
最全解三角形知识点总结.doc
最全解三角形知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。最全面的解三角形...解三角形知识点总结 2页 5下载券 解三角形知识点汇总和典... 12页 5下载...
高中数学解三角形知识点与历年各地高考真题汇总.doc
高中数学解三角形知识点与历年各地高考真题汇总 - (复习) 解三角形 无忧数学
三角函数+解三角形知识点总结例题剖析.doc
三角函数+解三角形知识点总结例题剖析_教学案例/设计_教学研究_教育专区。超级好...?? ? 2 ? 无对称轴 余弦定理主要解决的问题: ①已知两边和夹角,求其余的量...
解三角形知识点归纳.doc
解三角形知识点归纳 - 解三角形知识点归纳 一 正弦定理 (一)知识与工具: 正弦定理:在△ABC 中, a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C 在这个...
解三角形知识点归纳(附三角函数公式).doc
解三角形知识点归纳(附三角函数公式) - 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°(A+B); 2、三角形三边...