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人教版-高中数学选修4-5


绝对值不等式的解法

教学目的:
1.会用代数法和几何解法解绝对值不等式.

2.会从绝对值的几何意义的背景出发理解绝对 值不等式

x

一、复习引入

1.正数的绝对值是 ;负数的绝对值是 0的绝对值是 ;
2.



二、重难点讲解
② ① -m -n 0 n m 题型3: 形如n<| ax + b | <m (m>n>0)不等式

等价于不等式组


? n ? ax ? b ? m, 或 ? m ? ax ? b ? ?n
题型4: 含有多个绝对值的不等式的解法 ---零点分段法

?| ax ? b |? n ? ?| ax ? b |? m


三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法1: ?| 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ?| 2 x ? 3 |? 5 3

?| 2 x ? 3 |? 3 或 ?2 x ? 3 ? 3, 2 x ? 3 ? ?3 ?? ?? ?| 2 x ? 3 |? 5 ?? 5 ? 2 x ? 3 ? 5
或 ? x ? 3, x ? 0 即? ?? 1 ? x ? 4
-1 0

3

4

?原不等式的解集是 x | ?1 ? x ? 0, 3 ? x ? 4}. { 或

三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法2:3 ?| 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ?| 2 x ? 3 |? 5 ?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 ?? , ? 或 ?3 ? 2 x ? 3 ? 5 ?3 ? ?(2 x ? 3) ? 5 3 3 ? ? ?x ? ?x ? , 2 ?? 2 , 或? ?? 1 ? x ? 0 ?3 ? x ? 4 ? ?

? 3 ? x ? 4, ?1 ? x ? 0 . 或
?原不等式的解集是 x | ?1 ? x ? 0, 3 ? x ? 4}. { 或

三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法3:3 ?| 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ?| 2 x ? 3 |? 5

? 3 ? 2 x ? 3 ? 5, ? 5 ? 2 x ? 3 ? ?3 或

? 3 ? x ? 4, ?1 ? x ? 0 . 或
?原不等式的解集是 x | ?1 ? x ? 0, 3 ? x ? 4}. { 或
0 4

-1

3

-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:原不等式变形为| X +1| + |X -3| > 2 + X. 若| X +1| = 0,X =-1;若| X -3| = 0,X=3.
零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.
(1)当x ? ?1时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

?原不等式变形为? ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 0.

此时, 得{x | x ? ?1} ?{x | x ? 0} ? {x | x ? ?1}.

-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:(1)当x ? ?1时, 原不等式的解为{x|x ? ?1};
(2)当 ?1 ? x ? 3时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

?原不等式变形为( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 2.
此时, 得{x | ?1 ? x ? 3} ?{x | x ? 2} ? {x | ?1 ? x ? 2};

(3)当x ? 3时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0, ?原不等式变形为( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 4.
此时, 得{x | x ? 3} ?{x | x ? 4} ? {x | x ? 4}; 2 4 将(1)、 2)、 3)的结果取并集 ( ( ,

则原不等式的解集为 x | x ? 2, 或x ? 4}. {

三、例题讲解 例3 解不等式| x -1 | + | 2x-4 |>3 + x 解:(1)当x≤1时原不等式化为: 1-x + 4 -2x >3 + x 1 1 ② 2 ① ③ ?x? 2 (2)当1<x ≤2时,原不等式化为:

x ?1 ? 4 ? 2x ? 3 ? x ? x ? 0

又∵ 1<x ≤2,∴此时原不等式的解集为φ (3)当x>2时,原不等式化为 综上所述,原不等式的解集为 ?
① 1 ② 2 ③

x ?1 ? 2x ? 4 ? 3 ? x ? x ? 4

1 ? ? x | x ? 或x ? 4?. 2 ? ?

1/2

4

四、练习 1. 解不等式2<|2x-5|≤7. 解:原不等式等价于
2<2x-5≤7,或- 7≤ 2x-5<-2 7 ? ? x ? 6, 或 ?1 ? x ? 3 2 2

原不等式的解集为: 3 7 或 ?x?6 {x|-1≤x< } 2 2

-1

3 2

7 2

6

x

四、练习
2.解不等式 x ? 9 ? x ? 1 解:

x ? 9 ? x ?1

? ?x ? 9? ? ?x ? 1? ?x?5
2
1 5 9

2

四、练习
3. 解不等式|x-3|-|x+1|<1 解:使两个绝对值分别为零的x的值依次为 x=3、x=-1, 将其在数轴上标出,将实数分为三个区间.依次考虑,原不 等式可以转化为下列不等式组.
?x≤-1 ?-1<x≤3 ?x>3 ? ? ? Ⅰ) ? Ⅱ) ? Ⅲ) ? ? ? ? ?-(x-3)+(x+1)<1 ?-(x-3)-(x+1)<1 ?(x-3)-(x+1)<1
I) 1 的解集为空集;Ⅱ)的解为 <x≤3;Ⅲ)的解为 x>3 2

1 综上所述,原不等式的解集为{x | x> }. 2
① -1 ② 3 ③

五、小结 (1)解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对 值的符号,其基本思想是把含绝对值的不等式转 为不含绝对值的不等式。 (2)零点分段法解含有多个绝对值的不等式。 ①
x1


x2




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