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高三数学二轮复习教学案一体化:函数的性质及应用(1)

专题 1 函数的性质及应用(1) 高考趋势 函数问题一直是高考中的重头戏,函数性质中的定义域、值域、奇偶性、单调性是常考的知识 点,而其中函数的值域(包含最值与范围问题)与单调性的考查则是重点内容,而且还是高考 中的难点。 考点展示 1. 函数 f ( x) ? x ? 2ax (a 为常数)的单调减区间是 2 3 2 (??,?a] 0 变式:函数 f ( x) ? x ? x, x ? R ,当 0 ? ? ? 3 ? 2 时, f (m sin? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,求实数 2. 若 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a,b,c,d 为常数)为奇函数,则 ab+cd= m 的取值范围(m<1) ? 2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 3. 设 f ( x ) ? ? 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ? 4. 函数 f ( x) ? x ? ln x 的增区间为 2 (1,??) 5. 若一次函数 f (x) 满足 f ( f ( x)) ? 4 x ? 3 ,则 f (x) = 2x+1 或-2x-3 1 1 6.若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ ,3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? 的值域是 f ( x) 2 样题剖析 例1. 已 知 函 数 f ( x) ? a ? ma (a ? 0, a ? 1) 是 x ?x [2, 10 ] 3 R 上 的 奇 函 数 , 求 函 数 例2. 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ,a 为常数。 g ( x) ? mx 2 ? ax ? ma 的零点。 解:m=-1 , g ( x) ? ? x ? ax ? a , g ( x) ? 0 即 x ? ax ? a ? 0 2 (1) 若对一切 x ? R ,总有 f ( x) ? f ( x0 ) ,求实数 x0 的值( x0 ? a ) 2 (2) 若对于任意 x1 , x2 ? (b, c) (b,c 为常数) x1 ? x2 ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,判断实数 a, , b,c 的大小关系; b ? c ? a (3) 若 f ( x ? m) 为偶函数,求实数 m 的值 m=a (4) 若当 x1 ? x2 ? x3 时,有 f ( x1 ) ? f ( x3 ) ? f ( x2 ) ,求证: x1 ? x3 ? 2a ( x1 ? a , x3 ? a , f ( x1 ) ? f ( x2 ) 得 a ? x1 ? x3 ? a ) 1. 当 0 ? a ? 1或1 ? a ? 4 即 ? ? 0 , g (x) 无零点 2. 当 a ? 4 时 g (x) 只有一个零点 2 a ? a 2 ? 4a 3. 当 a ? 4 即 ? ? 0 时 g (x) 有两个零点 2 1 3. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a , f (bx) ? 9 x 2 ? 6 x ? 2 ,其中 x ? R , a, b 为常数,则方程 f (ax ? b) ? 0 的解集为 ? 4. 设 a ? 1 ,若对于任意的 x ?[a, 2a] ,都有 y ?[a, a 2 ] 满足方程 log a x ? log a y ? 3 , 这时 a 的取值集合为 [2,??) 变式: 江西已知函数 f ( x) ? 2 x ? (4 ? m) x ? 4 ? m ,g ( x) ? mx , 09 若对于任一实数 x , f ( x) 2 5. ? x?3? 设 f ( x) 是连续的偶函数,且当 x>0 时 f ( x) 是单调函数,则满足 f ( x) ? f ? ? ? x?4? 与 g ( x) 的值至少有一个为正数,求实数 m 的取值范围 m<4 的所有 x 之和为 6. -8 已知函数 f ( x) ? log a (3 ? ax) 3 2 (1) 当 x ? [0,2] 时,函数 f (x) 恒有意义,实数 a 的取值范围. (0,1) ? (1, ) (2) 是否存在这样的实数 a,使得函数 f (x) 在区间 [1,2] 上为减函数,且最大值为 1?如果存 在,试求出 a 的值;如果不存在,说明理由。 (不存在) 总结提炼 对于基本函数(一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图像和性 质应熟练 解决函数综合问题要注意:通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、 解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中,知道信息越多,则 解决问题越容易。 自我测试. 1. 定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? f (7) ? 2. 2 2 7. 已知函数 f ( x) ? 2 ? x 1 . 2|x| (1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [1 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围. , t 0 解: (1) 当x ? 0时,f ? x ? ? 0;当x ? 0时, f ? x ? ? 2 x ? 由条件可知, 2 x ? 1 . 2x 若函数 f ( x) ? ax ? (4 ? k ) x ? 2k (其中 a 和 k 都是常数)是 R 上的递减函数,则 k 的取 值范围是 1 ? 2, 即 22 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0, 解得 2 x ? 1 ? 2. 2x (??,?4) ∵ 2 x ? 0, ? x ? log 2 1 ? 2 ? ? 2