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高一数学必修2经典习题与答案


数学 2(必修)第一章:空间几何体[基础训练 A 组] 数学 2(必修)第一章:空间几何体[综合训练 B 组] 数学 2(必修)第一章:空间几何体[提高训练 C 组] 数学 2(必修)第二章:点直线平面[基础训练 A 组] 数学 2(必修)第二章:点直线平面[综合训练 B 组] 数学 2(必修)第二章:点直线平面[提高训练 C 组] 数学 2(必修)第三章:直线和方程[基础训练 A 组] 数学 2(必修)第三章:直线和方程[综合训练 B 组] 数学 2(必修)第三章:直线和方程[提高训练 C 组] 数学 2(必修)第四章:圆和方程 [基础训练 A 组] 数学 2(必修)第四章:圆和方程 [综合训练 B 组] 数学 2(必修)第四章:圆和方程 [提高训练 C 组] (数学 2 必修)第一章 空间几何体 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 )

2.棱长都是1 的三棱锥的表面积为( A.
3

) D. 4 3
1

B. 2 3

C. 3 3

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在 同一球面上,则这个球的表面积是( A. 25? B. 50? C. 125? ) D.都不对 )

4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( A. 3 :1 B. 3 : 2 C. 2 : 3 D. 3 : 3

5.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周, 则所形成的几何体的体积是( A.
9 ? 2

) C.
5 ? 2

B.

7 ? 2

D.

3 ? 2

6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5 ,它的对角线的长 分别是 9 和 15 ,则这个棱柱的侧面积是( A. 130 二、填空题 1.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 ________个顶点, B. 140 C.150 D.160 )

2.若三个球的表面积之比是 1 : 2 : 3,则它们的体积之比是 _____________。 3.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是上底面 ABCD 中心,若正方 体的棱长为 a , 则三棱锥 O ? AB1D1 的体积为_____________。 4.如图, E , F 分别为正方体的面 ADD1 A1 、面 BCC 1B1 的中心,则四边形 在该正方体的面上的射影可能是____________。 5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个 长方体的对
2

BFD1 E

角线长是___________;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15 ,则它的体积 为___________. 三、解答题 1.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的仓 库的底面直径为 12M ,高 4M ,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐, 现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4M (高不变) ;二是高度增加 4M (底面直径不变)。 (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些?

2.将圆心角为 1200 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积

(数学 2 必修)第一章 空间几何体 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 450 , 腰和上底均为1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A. 2 ? 2 C.
2? 2 2



B.

1? 2 2

D. 1? 2 )

2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A.
3 ? R3 24

B.

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24
3

D.

5 ? R3 8

3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm , 则球的表面积是( A. 8? cm2 C. 16? cm2 ) B. 12? cm2 D. 20? cm2 )

4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 , 圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底面的半径为( A. 7 B. 6 C. 5 ) C. 7 :19 D. 5 :16
3 2

D. 3

5.棱台上、下底面面积之比为 1 : 9 ,则棱台的中截面分棱台成 两部分的体积之比是( A.1 : 7 B. 2 : 7

6.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形, EF // AB , EF ? , 且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2 , 则该多面体的体 为(
9 A. 2

E D

F C B



) B. 5 D.
15 2

A

C. 6 二、填空题

1.圆台的较小底面半径为 1 ,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 600 , 则圆台的侧面积为____________。 2. Rt ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成 的几何体的体积为____________。 3.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 ___ S正方体 4.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3, 4, 5 ,从长方体的一条对角线的一个 端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。 5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆 成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________。
4

图(1)

图(2)

6.若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的 直径为_______________。 三、解答题 1.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190L ,假如它的两底面边长分别等于 60cm 和
40cm ,求它的深度为多少 cm ?

2.已知圆台的上下底面半径分别是 2, 5 ,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长.

5

(数学 2 必修)第一章 空间几何体 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

A 的面积之比为( A. 1: 2 : 3 C. 1: 2 : 4 ) B. 1: 3 : 5 D. 1: 3 : 9

B

C

D

2.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分

3.在棱长为1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形, 则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是(
2 3 4 C. 5



A.

B.

7 6 5 D. 6

4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积 分别为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 ? ( A. 1 : 3 C. 2 :1 A. 8 : 27 C. 4 : 9 B. 1:1 D. 3 :1 ) B. 2 : 3 D. 2 : 9 )

5.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为(

6.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及体积为:
6

5

6

A. 24? cm2 , 12? cm2 C. 24? cm2 , 36? cm2 二、填空题

B. 15? cm2 , 12? cm2 D. 以上都不正确

1. 若圆锥的表面积是 15? ,侧面展开图的圆心角是 600 ,则圆锥的体积是_______。 2.一个半球的全面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 . 3.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 4. 一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球, 球全部没入水中后, 水面升高 9 厘 米则此球的半径为_________厘米. 5.已知棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为___________。 三、解答题 1. (如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱, 求圆柱的表面积

2.如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 900 , ?ADC ? 1350 , AB ? 5 , CD ? 2 2 , AD ? 2 , 求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.
7

(数学 2 必修)第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.下列四个结论: ⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点, 则这条直线和 个平面平行。 其中正确的个数为( A. 0 B.1 ) C. 2 D. 3 ) B.有两个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四边形 ) D.以上都有可能 C.异面
A P B E F C D V



2.下面列举的图形一定是平面图形的是( A.有一个角是直角的四边形 C.有三个角是直角的四边形 A.平行 B.相交

3.垂直于同一条直线的两条直线一定(

4. 如右图所示, 正三棱锥 V ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心) D, E, F 中,
8

分别是 VC,VA, AC 的中点, P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是 ( A. 300 ) B. 900 C. 600 D.随 P 点的变化而变化。 )个部分

5.互不重合的三个平面最多可以把空间分成( A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

6.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C, D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直 线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A. 90 二、填空题 1. 2. 已知 a , b 是两条异面直线, c // a ,那么 c 与 b 的位置关系____________________。 直线 l 与平面 ? 所成角为 300 , l ? ? ? A, m ? ? , A ? m ,则 m 与 l 所成角的取值范围是 B. 60 C. 45 D. 30 )

_________ 3. 棱长为 1 的正四面体内有一点 P , 由点 P 向各面引垂线, 垂线段长度分别为 d1, d2 , d3 , d4 , 则 d1 ? d2 ? d3 ? d4 的值为 。 。 4.直二面角 ? - l - ? 的棱 l 上有一点 A ,在平面 ? , ? 内各有一条射线 AB ,
AC 与 l 成 450 , AB ? ? , AC ? ? ,则 ?BAC ?

5.下列命题中: (1) 、平行于同一直线的两个平面平行; (2) 、平行于同一平面的两个平面平行; (3) 、垂直于同一直线的两直线平行; (4) 、垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有_____________。 三、解答题 1.已知 E, F , G, H 为空间四边形 ABCD 的边 AB, BC, CD, DA 上的点,且 EH // FG .求
E
9

A H D F G C

B

证: EH // BD .

2.自二面角内一点分别向两个半平面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的平面角 互补。

(数学 2 必修)第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高 为 4 ,体积为 16 ,则这个球的表面积是( A.16? C. 24? B. 20? D. 32? ) )

2.已知在四面体 ABCD 中, E , F 分别是 AC, BD 的中点,若 AB ? 2, CD ? 4, EF ? AB , 则 EF 与 CD 所成的角的度数为( A. 90 C. 60 B. 45 D. 30 )

3.三个平面把空间分成 7 部分时,它们的交线有(
10

A.1 条 C. 3 条

B. 2 条 D.1 条或 2 条 )

4.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,底面是边长为 2 的正方形,高为 4 , 则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为( A. C.
4 3 8 3

B.

3 8 3 D. 4

5.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各侧棱和底面的边长均为 a ,点 D 是 CC1 上任意一点, 连接 A1B, BD, A1D, AD ,则三棱锥 A ? A1BD 的体积为( A. a 3 C.
3 3 a 6
1 6



B.

3 3 a 12 1 D. a 3 12

6.下列说法不正确的是( ....



A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 二、填空题 1.正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。 2.空间四边形 ABCD 中, E, F , G, H 分别是 AB, BC, CD, DA 的中点,则 BC 与 AD 的 位置关系是_____________;四边形 EFGH 是__________形;当___________时,四边 形 EFGH 是菱形;当___________时,四边形 EFGH 是矩形;当___________时,四边 形 EFGH 是正方形 3. 四棱锥 V ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形,则二面角 V ? AB ? C 的平面角为_____________。 4.三棱锥 P ? ABC, PA ? PB ? PC ? 73, AB ? 10, BC ? 8, CA ? 6, 则二面角
11

P ? AC ? B 的大小为____

5. P 为边长为 a 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA ? PB ? PC ? a ,则 P 到
AB 的距离为______。

三、解答题 1.已知直线 b // c ,且直线 a 与 b, c 都相交,求证:直线 a, b, c 共面。

2.求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直;

3. 如图: S 是平行四边形 ABCD 平面 是 SA, BD 上 的 点 , 且
SBC

外一点, M , N 分别 求 证 : MN // 平 面

AM BN = , SM ND

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(数学 2 必修)第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ?, n/ /?,则 m ? n ? ③若 m//?, n/ /?,则 m n // 其中正确命题的序号是 ( A.①和② B.②和③ B. ) C.③和④ D.①和④ ) ②若 ? / /? , ? / /? , m ?,则 m?? ? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

2.若长方体的三个面的对角线长分别是 a, b, c ,则长方体体对角线长为( A. a2 ? b2 ? c2 C.
2 a 2 ? b2 ? c 2 2
1 2 a ? b2 ? c2 2 3 2 D. a ? b2 ? c 2 2

3.在三棱锥 A ? BCD 中, AC ? 底面 BCD, BD ? DC, BD ? DC, AC ? a, ?ABC ? 300 , 则点 C 到平面 ABD 的距离是( A.
5 a 5

) C.
3 a 5

B.

15 a 5

D.

15 a 3

4.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,若 E 是 AC1 的中点,则直线 CE 垂直于( 1 A. AC A.内心 B. BD B.外心 C. A1D C.垂心 )
3 3

) )

D. A1D1 D.重心

5.三棱锥 P ? ABC 的高为 PH ,若三个侧面两两垂直,则 H 为△ ABC 的( 6.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 2 ,其余各棱长都为1 ,则二面角
A ? CD ? B 的余弦值为(

A.

1 2

B.

1 3

C.

D.

2 3

7.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的中点, 则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( A. 900 二、填空题 1.点 A, B 到平面 ? 的距离分别为 4cm 和 6cm ,则线段 AB 的中点 M 到 ? 平面的
13

) D. 300

B. 600

C. 450

距离为_________________. 2.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为 _______。 3.一条直线和一个平面所成的角为 600 ,则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所 成的角中最大的角是____________. 4.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12 ,底面对角线的长 为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于_____。 5.在正三棱锥 P ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中, AB ? 4, PA ? 8 , 过 A 作与 PB, PC 分别交于 D 和 E 的截面,则截面 ? ADE 的周长的最小值是________ 三、解答题 1.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 是 AA1 的中点.求证:平面 MBD ? 平面 BDC .

2.求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

3.在三棱锥 S ? ABC 中,△ ABC 是边长为 4 的 面 SAC ? 平面 ABC, SA? SC? 2 3 , M 、 N 分 的中点。 (Ⅰ)证明: AC ⊥ SB ; (Ⅱ)求二面角 N - CM - B 的大小;
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正三角形, 平
, 别 为 A B S B

(Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离。 (数学 2 必修)第三章 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 , 则 a , b 满足( A. a ? b ? 1 C. a ? b ? 0 A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 则 m 的值为( A. 0 B. ? 8 ) B. a ? b ? 1 D. a ? b ? 0 ) B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0 ) C. 2 D.10 ) B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 ) 直线与方程

2.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为(

3.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,

4.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 A. 450 ,1 C. 900 ,不存在 A. m ? 0 C. m ? 1 B. m ? ?
3 2 3 2

5.直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( B.1350 , ?1

D. 1800 ,不存在 )

6.若方程 (2m2 ? m ? 3) x ? (m2 ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足(

D. m ? 1 , m ? ? , m ? 0

二、填空题
15

1.点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________. 2.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称,则 l 2 的方程为__________; 若 l 3 与 l1 关于 x 轴对称,则 l 3 的方程为_________; 若 l 4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l 4 的方程为___________; 3. 若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为____________________。 4.点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x 2 ? y 2 的最小值是________________. 5.直线 l 过原点且平分 ? ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为
B(1, 4), D(5,0) ,则直线 l 的方程为________________。

三、解答题 1.已知直线 A B C0 x y ? ??, (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴; (5)设 Px,?为直线 A B C0 x y ? ??上一点, ?0 y 0 证明:这条直线的方程可以写成 A x B y 0 x0 ? 0 . ??? ? ? ? y ?

2.求经过直线 l1 : 2x ? 3 y ? 5 ? 0, l2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程。

3.经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 请求出这些直线的方程。

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4.过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 .

(数学 2 必修)第三章 [综合训练 B 组] 一、选择题

直线与方程

1.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5
1 2



2.若 A(?2,3), B(3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为( A.
1 2



B. ?

1 2

C. ?2

D. 2 )

3.直线

x y ? 2 ? 1在 y 轴上的截距是( 2 a b

A. b B. ?b 2 A. (0, 0) C. (3,1) A.平行 C.斜交 A. 4 B.

C. b 2 D. ?b ) B. (0,1) D. (2,1) ) B.垂直 D.与 a, b,? 的值有关 )
2 13 13

4.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点(

5.直线 x cos? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos? ? b ? 0 的位置关系是(

6.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为( C.
5 13 26

D.

7 10 20

7.已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的 斜率 k 的取值范围是( A. k ?
3 4

) C. k ? 2或k ?
3 4

B. ? k ? 2

3 4

D. k ? 2

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二、填空题 1.方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________。 2.与直线 7 x ? 24y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是____________。 3.已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 4.将一张坐标纸折叠一次,使点 (0, 2) 与点 (4, 0) 重合,且点 (7, 3) 与点 (m, n) 重合,则 m? n 的值是___________________。 5.设 a ? b ? k (k ? 0, k为常数) ,则直线 ax ? by ? 1 恒过定点 三、解答题 1.求经过点 A(?2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1 的直线方程。 .

2.一直线被两直线 l1 : 4x ? y ? 6 ? 0, l2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P 点,当 P 点分别 为 (0, 0) , (0,1) 时,求此直线方程。

2.
a c b ? ?,

把函数 y?f?x 在 x a x?b之间的一段图象近似地看作直线,设 ?及 ? 证明: f ?c? 的近似值是: f?? a ?
ca ? fb fa ? ?????. ? ba ?

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4.直线 y ? ?

3 x ? 1 和 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,在线段 AB 为边在第一象限内作等边△ 3 1 ABC ,如果在第一象限内有一点 P (m, ) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等,求 m 的值。 2

(数学 2 必修)第三章 [提高训练 C 组] 一、选择题

直线与方程

1.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位再沿 y 轴正方向平移1 个单位后,又回到原来的 位置,那么直线 l 的斜率是( A. ?
1 3


1 3

B. ?3

C.

D. 3 )
a?c 1? m
2

ab cd 、 都在直线 y? x? 上,则 PQ 用 a、 、 表示为( 2.若 P ? Q ? c m m k ?, ?,

A. ? ? ? 1 m B. ma?c C. a c ? 2 ? ?

2 D. a?c 1?m

3.直线 l 与两直线 y ? 1 和 x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点为 M (1, ?1) ,则 直线 l 的斜率为( A.
3 2

) B.
2 3

C. ?

3 2

D. ?

2 3

4.△ ABC 中,点 A(4, ?1) , AB 的中点为 M (3, 2) ,重心为 P(4, 2) ,则边 BC 的长为( A. 5 B. 4 C. 10 ( ) D. 8 5.下列说法的正确的是



A.经过定点 Px,?的直线都可以用方程 yy k ?? ? ?xx表示 ? 0 ? 0 0 0 y 0 B.经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 y?k ? 表示 x b C.不经过原点的直线都可以用方程 ?
x a y ? 1 表示 b

D.经过任意两个不同的点 P1 ?x1,y1 ?、P2 ?x2,y2 ? 的直线都可以用方程
y? xx? y ? x ?12 ? y ? y ?? x ? ? ? ? 1 ? 表示 12 1

6.若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为( A. 3x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 3 y ? 2 ? 0
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C. x ? 3 y ? 2 ? 0 二、填空题

D. 3x ? y ? 2 ? 0

1.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, l 2 与 l1 关于直线 y ? ? x 对称,直线 l3 ⊥ l 2 ,则 l3 的斜率是______. 2.直线 x ? y ? 1 ? 0 上一点 P 的横坐标是 3 ,若该直线绕点 P 逆时针旋转 900 得直线 l , 则直线 l 的方程是 . . 象限. 3. 一直线过点 M (?3, 4) , 并且在两坐标轴上截距之和为12 , 这条直线方程是__________. 4.若方程 x 2 ? my2 ? 2x ? 2 y ? 0 表示两条直线,则 m 的取值是 5.当 0 ? k ? 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 、 ky ? x ? 2k 的交点在 三、解答题 1.经过点 M (3,5) 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么?
1 2

2.求经过点 P(1, 2) 的直线,且使 A(2,3) , B(0, ?5) 到它的距离相等的直线方程。

3.已知点 A(1,1) ,B(2, 2) ,点 P 在直线 y ? x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标。
2 2

1 2

4.求函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2 ? x2 ? 4 x ? 8 的最小值。 (数学 2 必修)第四章 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 关于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为 ( A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 5
20

圆与方程

)

C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

D. x2 ? ( y ? 2)2 ? 5 )

2.若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(

3.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( A. 2 B.1 ?
2



C.1 ?

2 2

D.1? 2 2

4.将直线 2 x ? y ? ? ? 0 ,沿 x 轴向左平移1 个单位,所得直线与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相切, 则实数 ? 的值为( A. ?3或7 A. 1 条 B. ?2或8 ) C. 0或10 D. 4 条 ) D. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. 1或11 )

5.在坐标平面内,与点 A(1, 2) 距离为 1 ,且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有( B. 2 条 C. 3 条 6.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 二、填空题 B. x ? 3 y ? 4 ? 0

1.若经过点 P(?1, 0) 的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线在 y 轴上的截距是 __________________. 2.由动点 P 向圆 x2 ? y 2 ? 1引两条切线 PA, PB ,切点分别为 A, B, ?APB ? 600 ,则动点 P 的 轨迹方程为 为 ________________。 5.已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA, PB 是圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,A, B 是 切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是________________。 三、解答题 1.点 P ? a, b? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,求 a 2 ? b 2 ? 2a ? 2b ? 2 的最小值。
21


A( 0 ,? 4 )B ( ? , , 则 圆 C , 0 2)

3 . 圆 心 在 直 线 2 x ? y ? 7 ? 0上 的 圆 C 与 y 轴 交 于 两 点 .

的方程

4 . 已 知 圆 ?x ? 3?2 ? y 2 ? 4 和 过 原 点 的 直 线 y ? kx 的 交 点 为

P, Q

则 OP ? OQ 的 值 为

2.求以 A(?1, 2), B(5, ?6) 为直径两端点的圆的方程。

3.求过点 A ?1, 2? 和 B ?1,10? 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的圆的方程。

4.已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 , 求圆 C 的方程。

(数学 2 必修)第四章 [综合训练 B 组] 一、选择题

圆与方程

1.若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为( A. ?1 或 3 为( A.
3 2



B.1 或 3

C. ?2 或 6

D. 0 或 4

2.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 交于 E , F 两点,则 ? EOF ( O 是原点)的面积 ) B.
3 4

C. 2 5

D.

6 5 5

( 0) 3.直线 l 过点 ? 2, , l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x 有两个交点时,斜率 k 的取值范围是(

)

( 2 A. ? 2 2, 2)

( B. ? 2,2)

C. ? (

2 2 , ) 4 4

( D. ? , )

1 1 8 8

4.已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与
22

圆 C 相切,则圆 C 的方程为( A. x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0

) B. x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 ) D. 0 ? k ? 5 )

5.若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 ? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在 第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是( A. 0 ? k ? 5 A. ? 1 二、填空题 1.直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ?15 ? 0 所截得的弦长等于 2.圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的外有一点 P( x0 , y0 ) ,由点 P 向圆引切线的长______ 3. 对于任意实数 k ,直线 (3k ? 2) x ? ky ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的位 . 置关系是_________ 4.动圆 x2 ? y2 ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m2 ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是 三、解答题 1.求过点 A(2, 4) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程。 5. P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为_______. B. ? 5 ? k ? 0 B. ?
1 2

C. 0 ? k ? 13
3 3

6.设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,则 l 的斜率是( C. ? D. ? 3

2.求直线 2 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长。

3.已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,求

y?2 的取值范围。 x ?1
23

4.已知两圆 x 2 ? y 2 ? 10x ? 10y ? 0, x 2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 40 ? 0 , 求(1)它们的公共弦所在直线的方程; (2)公共弦长。

(数学 2 必修)第四章 [提高训练 C 组] 一、选择题

圆与方程

1.圆: x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 和圆: x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 交于 A, B 两点, 则 AB 的垂直平分线的方程是( A. x ? y ? 3 ? 0 C. 3x ? y ? 9 ? 0 A.一个圆 C.两个圆 ) B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 ) B.两个半圆 D.半圆 )

2. 方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ?1) 2 表示的曲线是(

3.已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 , 当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3 时,则 a ? ( A. 2 B. 2 ? 2
3 x 的距离是( 3
24

C. 2 ? 1 D. 2 ? 1 4.圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心到直线 y ? )

A.

1 2

B.

3 2

C. 1 A. 300 C. 600 A.6 C.5 A.相离 C.内切 二、填空题

D. 3 ) B. 450 D. 900 ) B.4 D.1 ) B.相交 D.外切

5.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为(

6.圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最小值是(

7.两圆 x2 ? y 2 ? 9 和 x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 9 ? 0 的位置关系是(

1.若 A(1, ?2,1), B(2, 2, 2), 点 P 在 z 轴上,且 PA ? PB ,则点 P 的坐标为 2.若曲线 y ? 1 ? x 2 与直线 y ? x ? b 始终有交点,则 b 的取值范围是___________; 若有一个交点,则 b 的取值范围是________;若有两个交点,则 b 的取值范围是 _______; 3.把圆的参数方程 ?
? x ? 1 ? 2 cos? 化成普通方程是______________________. ? y ? ?3 ? 2 sin ?

4.已知圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 ,过点 P(?1, 2) 的直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,若使 AB 最小,则直线 l 的方程是________________。 5.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么 的最大值是________。 6.过圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 外一点 A(2, ?2) ,引圆的两条切线,切点为 T1 , T2 , 则直线 T1T2 的方程为________。 三、解答题 1.求由曲线 x2 ? y2 ? x ? y 围成的图形的面积。
y x

25

2.设 x ? y ? 1 ? 0, 求 d ? x 2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 34 ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 30 y ? 229 的最小值。

3.求过点 M (5, 2), N (3, 2) 且圆心在直线 y ? 2 x ? 3 上的圆的方程。

4.平面上有两点 A(?1,0), B(1,0) ,点 P 在圆周 ?x ? 3?2 ? ? y ? 4?2 ? 4 上,求使 AP 2 ? BP 2 取最小 值时点 P 的坐标。 数学 2(必修)第一章 一、选择题 1. A 2.A 3.B 从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断是棱台 因为四个面是全等的正三角形,则 S表面积 ? 4S底面积 ? 4 ? 长方体的对角线是球的直径,
l ? 32 ? 42 ? 52 ? 5 2, 2 R ? 5 2, R ? 5 2 , S ? 4? R 2 ? 50? 2 3 ? 3 4

空间几何体

[基础训练 A 组]

4.D

正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a
a 3a a ? 2r内切球,r内切球 ? , 3a ? 2r外接球,r外接球 ? , r :r ? 1:3 2 2 内切球 外接球 1 3 V ? V大圆锥 ? V小圆锥 ? ? r 2 (1 ? 1.5 ? 1) ? ? 3 2

5.D 6.D

设底面边长是 a ,底面的两条对角线分别为 l1 , l2 ,而 l12 ? 152 ? 52 , l22 ? 92 ? 52 ,
26

而 l12 ? l22 ? 4a2 , 即152 ? 52 ? 92 ? 52 ? 4a2 , a ? 8, S侧面积 ? ch ? 4 ? 8? 5 ? 160 二、填空题 1. 5, 4,3 3.
1 3 a 6

符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台
r1 : r2 : r3 1 : ? 2 :
3

2. 1: 2 2 : 3 3

3 , 3r2: 3r3: r1 ?

3

3 1 : 3( 2 ) ?: ( 3 )

1: 2 2 : 3 3

画出正方体,平面 AB1D1 与对角线 AC 的交点是对角线的三等分点, 1 三棱锥 O ? AB1D1 的高 h ?
OB1D1 为底面。

3 1 1 3 3 1 3 a,V ? Sh ? ? ? 2a 2 ? ? a 3 3 3 4 3 6

或:三棱锥 O ? AB1D1 也可以看成三棱锥 A ? OB1D1 ,显然它的高为 AO ,等腰三角形 4. 平行四边形或线段 设 ab ? 2, bc ? 3, ac ? 6, 则 abc ? 6, c ? 3, a ? 2, c ? 1
l ? 3 ? 2 ?1 ? 6
15

5. 6

设 ab ? 3, bc ? 5, ac ? 15 则 (abc)2 ? 225,V ? abc ? 15 1.解: (1)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16M ,则仓库的体积
1 1 256 ? 16 ? V1 ? Sh ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? (M 3 ) 3 3 3 ?2?
2

三、解答题

如果按方案二,仓库的高变成 8M ,则仓库的体积
1 1 288 ? 12 ? V2 ? Sh ? ? ? ? ? ? ? 8 ? ? (M 3 ) 3 3 3 ?2?
2

(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16M ,半径为 8M . 棱锥的母线长为 l ? 82 ? 42 ? 4 5 则仓库的表面积 S1 ? ? ? 8? 4 5 ? 32 5? (M 2 ) 如果按方案二,仓库的高变成 8M . 棱锥的母线长为 l ? 82 ? 62 ? 10 则仓库的表面积
S2 ? ? ? 6 ?10 ? 60? (M 2 )

(3)?V2 ? V1 , S2 ? S1

?方案二比方案一更加经济

2. 解:设扇形的半径和圆锥的母线都为 l ,圆锥的半径为 r ,则
120 2 2? ? l ? 3? , l ? 3 ; ? 3 ? 2? r , r ? 1 ; 360 3
27

S表面积 ? S侧面 ? S底面 ? ? rl ? ? r 2 ? 4? ,
1 1 2 2 V ? Sh ? ? ? ?12 ? 2 2 ? ? 3 3 3

第一章 空间几何体 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 恢复后的原图形为一直角梯形 S ? (1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 2
1 2 R 3R 1 3 2? r ? ? R, r ? , h ? ,V ? ? r 2 h ? ? R3 2 2 3 24

正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 3 ? 2R ,
R ? 3, S ? 4? R2 ? 12? S侧面积 ? ? (r ? 3r )l ? 84? , r ? 7
V1 1 ? 2 ? 4 7 ? ? V2 4 ? 6 ? 9 19

中截面的面积为 4 个单位,

过点 E , F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,
1 3 1 3 15 V ? 2 ? ? ? 3? 2 ? ? 3? 2 ? ? 3 4 2 2 2

二、填空题 1. 6? 2. 16? 画出圆台,则 r1 ? 1, r2 ? 2, l ? 2, S圆台侧面 ? ? (r1 ? r2 )l ? 6? 旋转一周所成的几何体是以 BC 为半径,以 AB 为高的圆锥,
1 1 V ? ? r 2 h ? ? ? 42 ? 3 ? 16? 3 3 4 3V 设 V ? ? R3 ? a 3 , a ? 3 V , R ? 3 , 3 4?
S正 ? 6a 2 ? 6 3 V 2 ? 3 216V 2 , S球 ? 4? R 2 ? 3 36? V 2 ? 3 216V 2

3. ?

4. 74

从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案
42 ? (3 ? 5) 2 ? 80, 或 52 ? (3 ? 4) 2 ? 74

5.(1) 4 (2)圆锥 6.
2 3? a 3?

设圆锥的底面的半径为 r ,圆锥的母线为 l ,则由 ? l ? 2? r 得 l ? 2r ,
a 3? a 2 3? a ,即直径为 ? 3? 3? 3?

而 S圆锥表 ? ? r 2 ? ? r ? 2r ? a ,即 3? r 2 ? a, r ? 三、解答题

28

1. 解: V ? (S ? SS ' ? S ' )h, h ?
h?

1 3

3V S ? SS ' ? S '

2.

3 ? 190000 ? 75 3600 ? 2400 ? 1600 29 解: ? (2 ? 5)l ? ? (22 ? 52 ), l ? 7

空间几何体 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.A 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 几何体是圆台上加了个圆锥,分别由直角梯形和直角三角形旋转而得 从此圆锥可以看出三个圆锥, r1 : r2 : r3 ? 1: 2 : 3, l1 : l2 : l3 ? 1: 2 : 3,
S1 : S2 : S3 ? 1: 4 : 9, S1 : (S2 ? S1 ) : (S3 ? S2 ) ? 1: 3: 5 1 1 1 1 1 5 V正方体 ? 8V三棱锥 ? 1 ? 8 ? ? ? ? ? ? 3 2 2 2 2 6 1 V1 : V2 ? ( Sh) : ( Sh) ? 3 :1 3 V1 : V2 ? 8: 27, r1 : r2 ? 2 : 3, S1 : S2 ? 4 : 9

此几何体是个圆锥, r ? 3, l ? 5, h ? 4, S表面 ? ? ? 32 ? ? ? 3? 5 ? 24?
1 V ? ? ? 32 ? 4 ? 12? 3

二、填空题 1.
25 3 ? 7
1 3 15 15 S ? ? r 2 ? ? r ? 6r ? 7? r 2 ? 15? ,得 r ? ,圆锥的高 h ? 35 ? 7 7

设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r , 母 线 为 l , 则 2? r ? ? l , 得 l ? 6r ,

2.

10 Q 9

1 1 15 15 25 3 V ? ? r 2 h ? ? ? ? 35 ? ? ? 3 3 7 7 7 Q 2 2 2 S全 ? 2? R ? ? R ?3 ? R ? Q R? , 3? 2 2 2 10 10 V ? ? R3 ? ? R 2 ? h, h ? R, S ? 2? R 2 ? 2? R ? R ? ? R 2 ? Q 3 3 3 3 9

3. 8 4. 12 5. 28

r2 ? 2r1 ,V2 ? 8V1
4 V ? Sh ? ? r 2 h ? ? R 3 , R ? 3 64 ? 27 ? 12 3 1 1 V ? ( S ? SS ' ? S ' )h ? ? (4 ? 4 ?16 ? 16) ? 3 ? 28 3 3

三、解答题
29

1.解:圆锥的高 h ? 42 ? 22 ? 2 3 ,圆柱的底面半径 r ? 1 ,
S表面 ? 2S底面 ? S侧面 ? 2? ? ? ? 3 ? (2 ? 3)?   

2. 解: S表面 ? S圆台底面 ? S圆台侧面 ? S圆锥侧面
? ? ? 52 ? ? ? (2 ? 5) ? 3 2 ? ? ? 2 ? 2 2 ? 25( 2 ? 1)? V ? V圆台 ?V圆锥
1 1 ? ? (r12 ? r1r2 ? r2 2 )h ? ? r 2 h 3 3 148 ? ? 3

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练 A 组] 一、选择题 1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行,这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面 ⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线三种位置关系都有可能 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线也可在这个平面 内 2. D 对于前三个, 可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻 折;对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;在翻折的过程中, 某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形 3.D 4.B 5.D 6.C 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系 连接 VF , BF ,则 AC 垂直于平面 VBF ,即 AC ? PF ,而 DE // AC ,? DE ? PF 八卦图 可以想象为两个平面垂直相交,第三个平面与它们的交线再垂直相交 当三棱锥 D ? ABC 体积最大时,平面 DAC ? ABC ,取 AC 的中点 O , 则△ DBO 是等要直角三角形,即 ?DBO ? 450 二、填空题 1.异面或相交 就是不可能平行 2. ?300 ,900 ? ? ? 直线 l 与平面 ? 所成的 300 的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m 在 ? 内适当旋 转就可以得到 l ? m ,即 m 与 l 所成角的的最大值为 900
30

3.

6 3

作等积变换: ?

1 3

3 1 3 6 ? (d1 ? d2 ? d3 ? d4 ) ? ? ? h, 而 h ? 4 3 4 3

4. 600 或 1200 5. 2 之间;

不妨固定 AB ,则 AC 有两种可能

对于(1) 、平行于同一直线的两个平面平行,反例为:把一支笔放在打开的课本 (2)是对的; (3)是错的; (4)是对的

三、解答题
EH ? BCD ? ? 1.证明: FG ? BCD ? ? EH // BCD, BD ? BCD ? EH // BD EH // FG ? ?

2.略 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.C 正四棱柱的底面积为 4 ,正四棱柱的底面的边长为 2 ,正四棱柱的底面的对角线 为 2 2 ,正四棱柱的对角线为 2 6 ,而球的直径等于正四棱柱的对角线, 即 2R ? 2 6 , R ? 6, S球 ? 4? R2 ? 24? 2.D 取 BC 的中点 G ,则 EG ? 1, FG ? 2, EF ? FG, 则 EF 与 CD 所成的角 ?EFG ? 300 3.C 此时三个平面两两相交,且有三条平行的交线 4.C 利用三棱锥 A1 ? AB1D1 的体积变换: VA ? AB D ? VA? A B D ,则 ? 2 ? 4 ? ? 6 ? h
1 1 1 1 1 1

1 3

1 3

5.B

1 1 a2 3a 3a 2 VA? A1BD ? VD ? A1BA ? Sh ? ? ? ? 3 3 2 2 12

6. D 一组对边平行就决定了共面;同一平面的两条垂线互相平行,因而共面; 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 二、填空题 1. 27 3. 600 4. 600 注意 P 在底面的射影是斜边的中点
31

分上、中、下三个部分,每个部分分空间为 9 个部分,共 27 部分

2.异面直线;平行四边形; BD ? AC ; BD ? AC ; BD ? AC 且 BD ? AC

5.

3a 2

三、解答题 1.证明:? b // c ,?不妨设 b, c 共面于平面 ? ,设 a ? b ? A, a ? c ? B
? A ? a, B ? a, A ?? , B ?? ,即 a ? ? ,所以三线共面

2.提示:反证法 3.略 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练 C 组] 一、选择题 1. A ③若 m//?, n/ /?,则 m n,而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 // ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ,而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 2.C 设同一顶点的三条棱分别为 x, y, z ,则 x2 ? y2 ? a2 , y2 ? z2 ? b2 , x2 ? z2 ? c2 得 x 2 ? y 2 ? z 2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 ) ,则对角线长为 3.B 4.B 5.C 6.C 作等积变换 VA?BCD ? VC ? ABD
BD 垂直于 CE 在平面 ABCD 上的射影

1 2

1 2 2 2 2 2 2 2 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 2

BC ? PA ? BC ? AH

取 AC 的中点 E ,取 CD 的中点 F , EF ? , BE ?
cos ? ? EF 3 ? BF 3
a 2

1 2

2 3 , BF ? 2 2

7.C 取 SB 的中点 G ,则 GE ? GF ? ,在△ SFC 中, EF ? 二、填空题 1. 5cm 或 1cm 2. 48 3. 900 5. 11 分 A, B 在平面的同侧和异侧两种情况 4. 300

2 a , ?EFG ? 450 2

每个表面有 4 个,共 6 ? 4 个;每个对角面有 4 个,共 6 ? 4 个 垂直时最大 底面边长为 2 3 ,高为1 , tan ? ?
1 3

沿着 PA 将正三棱锥 P ? ABC 侧面展开,则 A, D, E, A' 共线,且 AA' // BC 第三章 直线和方程 [基础训练 A 组]
32

三、解答题:略

一、选择题 1.D
tan ? ? ?1, k ? ?1, ? a ? ?1, a ? b, a ? b ? 0 b

2.A 设 2 x ? y ? c ? 0, 又过点 P(?1,3) ,则 ?2 ? 3 ? c ? 0, c ? ?1 ,即 2 x ? y ?1 ? 0 3.B 5.C 6.C
3 2 2
k? 4?m ? ?2, m ? ?8 m?2

4.C

y??

a c a c x ? , k ? ? ? 0, ? 0 b b b b

x ? 1 垂直于 x 轴,倾斜角为 90 0 ,而斜率不存在

2m2 ? m ? 3, m2 ? m 不能同时为 0
1 ? (?1) ? 1 2

二、填空题 1.
d? ? 3 2 2

2. l2 : y ? ?2x ? 3, l3 : y ? ?2x ? 3, l4 : x ? 2 y ? 3, 3. 2 x ? y ? 5 ? 0 4. 8
k' ? ?1 ? 0 1 ? ? , k ? 2 , y ?( ? ) ? 1 2? 0 2 ?( 2 x 2)

x 2 ? y 2 可看成原点到直线上的点的距离的平方,垂直时最短: d ?
2 3

?4 2

?2 2

5. y ? x 三、解答题

平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点 (3, 2)

1. 解: (1)把原点 (0, 0) 代入 A B C0 C ? 0 ; (2)此时斜率存在且不为零 x y ? ??,得 即 A?0且B ?0; (3)此时斜率不存在,且不与 y 轴重合,即 B ? 0 且 C ? 0 ; (4) A ? C ? 0, 且 B ? 0 (5)证明:? P ? x0,y0 ? 在直线 A B C0 x y ? ??上
? Ax0 ? By0 ? C ? 0, C ? ? Ax0 ? By0

? A? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? 0 。
19 ? ? x ? 13 ?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 47 ? 2. 解:由 ? ,得 ? ,再设 2 x ? y ? c ? 0 ,则 c ? ? 13 ?3x ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? 9 ? 13 ? 47 2x ? y ? ? 0 为所求。 13

3. 解:当截距为 0 时,设 y ? kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k ? 2 ,即 y ? 2 x ; 当截距不为 0 时,设 ? ? 1, 或 ?
x a y a x a y ? 1, 过点 A(1, 2) , ?a
33

则得 a ? 3 ,或 a ? ?1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 这样的直线有 3 条: y ? 2 x , x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 。 4. 解:设直线为 y ? 4 ? k ( x ? 5), 交 x 轴于点 ( ? 5, 0) ,交 y 轴于点 (0,5k ? 4) ,
1 4 16 S ? ? ? 5 ? 5k ? 4 ? 5, 40 ? ? 25k ? 10 2 k k
4 k

得 25k 2 ? 30k ? 16 ? 0 ,或 25k 2 ? 50k ? 16 ? 0 解得 k ? , 或 k ?
2 5 8 5

? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ,或 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 为所求。

第三章 直线和方程 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.B 线段 AB 的中点为 (2, ), 垂直平分线的 k ? 2 , y ? ? 2( x ? 2), 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 2.A
k AB ? kBC , ?2 ? 3 m ? 2 1 ? ,m ? 1 3? 2 2 ?3 2
3 2

3 2

3.B 令 x ? 0, 则 y ? ?b2 4.C 由 kx ? y ? 1 ? 3k 得 k ( x ? 3) ? y ?1 对于任何 k ? R 都成立,则 ? 5.B
cos ? ? sin ? ? sin ? ? (? cos ? ) ? 0

?x ? 3 ? 0 ? y ?1 ? 0

6.D 把 3x ? y ? 3 ? 0 变化为 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则 d ? 7.C
k PA ? 2, k PB 3 ? , kl ? k PA ,或kl ? k PB 4

1 ? (?6) 6 ?2
2 2

?

7 10 20

二、填空题 1. 2 方程 x ? y ? 1 所表示的图形是一个正方形,其边长为 2 设直线为 7 x ? 24 y ? c ? 0, d ? 3. 3 4.
44 5

2. 7 x ? 24 y ? 70 ? 0 ,或 7 x ? 24 y ? 80 ? 0
c?5 242 ? 72 ? 3, c ? 70, 或 ? 80
15 5

a 2 ? b 2 的最小值为原点到直线 3x ? 4 y ? 15的距离: d ?

点 (0, 2) 与点 (4, 0) 关于 y ?1 ? 2( x ? 2) 对称,则点 (7, 3) 与点 (m, n)

34

23 m?7 ? ?n ? 3 ?m ? 5 ? 2 ? 1 ? 2( 2 ? 2) ? ? 也关于 y ?1 ? 2( x ? 2) 对称,则 ? ,得 ? ? n?3 ? ? 1 ? n ? 21 ?m ? 7 ? 2 5 ? ? 1 1 5. ( , ) ax ? by ? 1 变化为 ax ? (k ? a) y ? 1, a( x ? y) ? ky ? 1 ? 0, k k ?x ? y ? 0 对于任何 a ? R 都成立,则 ? ?ky ? 1 ? 0

三、解答题 1.解:设直线为 y ? 2 ? k ( x ? 2), 交 x 轴于点 (
?2 ? 2, 0) ,交 y 轴于点 (0, 2k ? 2) , k

1 2 2 S ? ? ? 2 ? 2k ? 2 ? 1, 4 ? ? 2k ? 1 2 k k

得 2k 2 ? 3k ? 2 ? 0 ,或 2k 2 ? 5k ? 2 ? 0 解得 k ? ? , 或 k ? ?2
? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,或 2 x ? y ? 2 ? 0 为所求。
1 2

2.解:由 ?

?4 x ? y ? 6 ? 0 24 18 24 18 得两直线交于 (? , ) ,记为 A(? , ) ,则直线 AP 23 23 23 23 ?3x ? 5 y ? 6 ? 0 4 24 垂直于所求直线 l ,即 kl ? ,或 kl ? 3 5 4 24 ? y ? x ,或 y ? 1 ? x, 3 5

即 4 x ? 3 y ? 0 ,或 24 x ? 5 y ? 5 ? 0 为所求。 3. 证明:? A, B, C 三点共线,?kAC ? kAB
yc ? f (a ) f (b) ? f (a ) ? c?a b?a c?a ? yc ? f (a) ? [ f (b) ? f (a)] b?a c?a [ f (b) ? f (a)] 即 yc ? f (a) ? b?a ca ? ? fb fa ? ? f ? c ? 的近似值是: f a ?? ?? ?? ba ?



?

?

4. 解:由已知可得直线 CP // AB ,设 CP 的方程为 y ? ?

3 x ? c, (c ? 1) 3 1 3 c ?1 3 x ? 3 过 P (m, ) 则 ? AB ? ? 3, c ? 3 , y ? ? 2 3 2 1 1? 3
35

得 ??

1 2

3 5 3 m ? 3, m ? 3 2

第三章 直线和方程 一、选择题 1.A 2.D 3.D
tan ? ? ? 1 3

[提高训练 C 组]

PQ ? (a ? c)2 ? (b ? d )2 ? (a ? c)2 ? m 2 (a ? c)2 ? a ? c 1 ? m 2

A(?2,1), B(4, ?3)

4.A

B(2,5), C(6,2), BC ? 5

5.D 斜率有可能不存在,截距也有可能为 0 6.B 点 F (1,1) 在直线 3x ? y ? 4 ? 0 上,则过点 F (1,1) 且垂直于已知直线的直线为所求 二、填空题 1. ?2
l1 : y ? 2 x ? 3, l2 : ? x ? ?2 y ? 3, y ? 1 3 1 x ? , k2 ? , k3 ? ?2 2 2 2

2. x ? y ? 7 ? 0

P( 3 , 4 )l 的倾斜角为 450 ? 900 ? 1350 , tan1350 ? ?1

3. 4 x ? y ? 16 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 9 ? 0 设 y ? 4 ? k ( x ? 3), y ? 0, x ?
?4 ?4 ? 3; x ? 0, y ? 3k ? 4; ? 3 ? 3k ? 4 ? 12 k k 4 1 3k ? ? 11 ? 0,3k 2 ? 11k ? 4 ? 0, k ? 4, 或k ? ? k 3 k ? x? ?0 ky ? x ? 2k ? ? ? k ?1 ,? 5.二 ? ?kx ? y ? k ? 1 ? y ? 2k ? 1 ? 0 ? k ?1 ?

4. 1

三、解答题 1. 解:过点 M (3,5) 且垂直于 OM 的直线为所求的直线,即
3 3 k ? ? , y ? 5 ? ? ( x ? 3),3x ? 5 y ? 52 ? 0 5 5

2. 解: x ? 1 显然符合条件;当 A(2,3) , B(0, ?5) 在所求直线同侧时, k AB ? 4
? y ? 2 ? 4( x ? 1), 4 x ? y ? 2 ? 0
4 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? 1

3. 解:设 P(2t , t ) , 则 PA ? PB ? (2t ? 1)2 ? (t ? 1)2 ? (2t ? 2)2 ? (t ? 2)2 ? 10t 2 ? 14t ? 10
2 2

当t ?

7 7 7 2 2 时, PA ? PB 取得最小值,即 P ( , ) 10 5 10
36

4. 解: f ( x) ? ( x ? 1)2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 可看作点 ( x, 0) 到点 (1,1) 和点 (2, 2) 的距离之和,作点 (1,1) 关于 x 轴对称的点 (1, ?1)
? f ( x) min ? 12 ? 32 ? 10

第四章 圆和方程 一、选择题 1.A 2.A 3.B

[基础训练 A 组]

( x, y ) 关于原点 P(0, 0) 得 (? x, ? y) ,则得 (? x ? 2)2 ? (? y)2 ? 5

设圆心为 C (1, 0) ,则 AB ? CP, kCP ? ?1, kAB ? 1, y ? 1 ? x ? 2 圆心为 C(1,1), r ? 1, dmax ? 2 ?1
?2 ? ? 5 ? 5, ? ? ?3, 或? ? 7

4.A 直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移1 个单位得 2 x ? y ? ? ? 2 ? 0 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心为 C (?1, 2), r ? 5, d ? 5.B 两圆相交,外公切线有两条
2 6.D (x ? 2)? y2 ? 4 的在点 P(1, 3) 处的切线方程为 (1 ? 2)( x ? 2) ? 3 y ? 4

二、填空题 1. 1 点 P(?1, 0) 在圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 上,即切线为 x ? y ? 1 ? 0
OP ? 2

2. x2 ? y2 ? 4

3. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 4. 5

圆心既在线段 AB 的垂直平分线即 y ? ?3 ,又在
2

2 x ? y ? 7 ? 0 上,即圆心为 (2, ?3) , r ? 5

设切线为 OT ,则 OP ? OQ ? OT ? 5 当 CP 垂直于已知直线时,四边形 PACB 的面积最小

5. 2 2

三、解答题 1.解: (a ? 1)2 ? (b ? 1)2 的最小值为点 (1,1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 而d ?
3 2 3 3 2 , ( a 2 ? b2 ? 2a ? 2b ? 2)min ? 。 ? 2 2 2

2.解: ( x ? 1)( x ? 5) ? ( y ? 2)( y ? 6) ? 0 得 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ?17 ? 0 3.解:圆心显然在线段 AB 的垂直平分线 y ? 6 上,设圆心为 (a, 6) ,半径为 r ,则
( x ? a)2 ? ( y ? 6)2 ? r 2 ,得 (1 ? a)2 ? (10 ? 6)2 ? r 2 ,而 r ?
37

a ? 13 5

(a ? 1)2 ? 16 ?

(a ? 13)2 , a ? 3, r ? 2 5, 5

?( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 20 。

4.解:设圆心为 (3t , t ), 半径为 r ? 3t ,令 d ? 而 ( 7)2 ? r 2 ? d 2 ,9t 2 ? 2t 2 ? 7, t ? ?1

3t ? t 2

?

2t

?( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 ,或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9

圆和方程 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.D
d? a?2 2 ? 2, a ? 2 ? 2, a ? 4, 或a ? 0

2.D 弦长为 4 , S ? ? 4 ? 3.C 4.D
tan ? ? 1 ?

1 2

3 6 5 ? 5 5

2 2 ,相切时的斜率为 ? 4 4 2 2 3a ? 4 ? 2, a ? 2, ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 设圆心为 (a, 0), (a ? 0), 5

5.A 圆与 y 轴的正半轴交于 (0, 5),0 ? k ? 5 6.D 得三角形的三边 2,1, 3 ,得 600 的角 二、填空题 1. 4 5 2.
( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 25 , d ? 5, r ? 5, r 2 ? d 2 ? 2 5
x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F

3.相切或相交

2k (3k ? 2) ? k
2 2

?

2k k

2

? 2;

另法:直线恒过 (1,3) ,而 (1,3) 在圆上 4. x ? 2 y ?1 ? 0,( x ? 1) 5. 1
10 ?1 ? 1 5

圆心为 (2m ?1, m), r ? m ,(m ? 0) , 令 x ? 2m ? 1, y ? m

d ?r ?

三、解答题 1.解:显然 x ? 2 为所求切线之一;另设 y ? 4 ? k ( x ? 2), kx ? y ? 4 ? 2k ? 0
38



4 ? 2k
2

3 ? 2, k ? ,3x ? 4 y ? 10 ? 0 4 k ?1
2 ,半径为 2 5

? x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 为所求。

2.解:圆心为 (0,1) ,则圆心到直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 得弦长的一半为 3.解:令 k ?
30 2 30 ,即弦长为 。 5 5

y ? (?2) , 则 k 可看作圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点到点 (?1, ?2) 的连线的斜率 x ? (?1) 3 y?2 3 ? 。 而相切时的斜率为 ,? 4 x ?1 4

4.解: (1) x2 ? y 2 ?10x ?10 y ? 0, ①; x2 ? y2 ? 6x ? 2 y ? 40 ? 0 ②; ② ? ①得: 2 x ? y ? 5 ? 0 为公共弦所在直线的方程; (2)弦长的一半为 50 ? 20 ? 30 ,公共弦长为 2 30 。 第四章 圆和方程 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.C 由平面几何知识知 AB 的垂直平分线就是连心线 2.B 4.A 6.B 对 x 分类讨论得两种情况
d? 3 1 1 / ?1 ? 3 3 2

3.C

d?

a?2?3 2

? 1, a ? 2 ? 1

5.C 7.B

直线的倾斜角为1200 ,得等边三角形

d ? r ? 5 ?1 ? 4

4?3? 5 ? 4?3

二、填空题 1. (0, 0,3) 设 P(0,0, z), PA ? PB , 则1 ? 4 ? ( z ?1)2 ? 4 ? 4 ? ( z ? 2)2 , z ? 3 曲线 y ? 1 ? x 2 代表半圆 2. [?1, 2] ; ? ?1,1? ? ? 2? ; ?1, 2 ? ? 3. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 4. x ? y ? 3 ? 0 5.
3

当 AB ? CP 时, AB 最小, kCP ? ?1, kl ? 1, y ? 2 ? x ?1

设 ? k , y ? kx, ( x ? 2) 2 ? k 2 x 2 ? 3, (1 ? k 2 ) x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 , 另可考虑斜率的几何意义来做

y x ? ? 16 ? 4(1 ? k 2 ) ? 0, ? 3 ? k ? 3

6. x ? 2 y ? 2 ? 0

设切点为 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ,则 AT1 的方程为 x1x ? ( y1 ? 2)( y ? 2) ? 4
39

AT2 的方程为 x2 x ? ( y2 ? 2)( y ? 2) ? 4 ,则 2x1 ? 4( y1 ? 2) ? 4, 2x2 ? 4( y2 ? 2) ? 4 ? 2 x ? 4( y ? 2) ? 4, x ? 2 y ? 2 ? 0

三、解答题 1. 解:当 x ? 0, y ? 0 时, ( x ? )2 ? ( y ? ) 2 ? ,表示的图形占整个图形的
1 1 1 1 4 2 2 2 1 1 1 而 ( x ? )2 ? ( y ? ) 2 ? ,表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 2 2 2 1 1 1 ? S ? 4( ?1?1 ? ? ? ? ) ? 2 ? ? 2 2 2
? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 15) 2 可看作点 A(?3,5) 和 B(2,15)

2. 解: d ? x 2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 34 ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 30 y ? 229 到直线 x ? y ? 1 ? 0, 上的点的距离之和,作 A(?3,5) 关于直线 x ? y ? 1 ? 0, 对称的点 A' (4, ?2) ,则 d min ? A' B ? 293 3.解:设圆心为 ( x, y ) ,而圆心在线段 MN 的垂直平分线 x ? 4 上, 即?
?x ? 4 , 得圆心为 (4,5) , r ? 1 ? 9 ? 10 ? y ? 2x ? 3
1 2

?( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 10

4.解:在Δ ABP 中有 AP 2 ? BP2 ? (4OP2 ? AB2 ) ,即当 OP 最小时, AP 2 ? BP 2 取最小值,而
3 9 4 12 9 12 OPmin ? 5 ? 2 ? 3 , Px ? 3 ? ? , Py ? 3 ? ? , P( , ) 5 5 5 5 5 5

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