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陕西省咸阳市2015届高三高考模拟试题(一) 数学理

2015 年咸阳市高考模拟考试试题(理科数学一)
考生须知: 1、本试题卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,试卷共 4 页 24 题;满分为 150 分;考试时间 为 120 分钟。 2、第Ⅰ卷,第Ⅱ卷都做在答题卷上,做在试题卷上不得分。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

S ? 4?R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么

V ?

4 3 ?R 3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号 不能答在试题卷上
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1.已知全集为 R,集合 A={ x | ( ) ? 1 },B={ x | x ? 2 },A∩( CR B )=( )
x

1 2

A.[0,2)

B.[0,2] )

C.(1,2)

D.(1,2]

2.若复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2 ? i ,则 z ? i ? ( A.

1 2 B. C.2 D. 2 2 2 3.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是( )

·1·

A

B

(第 3 题图)
2

C

D

4.已知命题 p:x +2x-3>0;命题 q:x>a,且 ?q 的一个充分不必要条件是 ?p ,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.(-∞,-3] C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 5.一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离 均大于 1,称其为“安全飞行” ,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.

1 8

B.

1 16

C.

1 27

D.

3 8

6.已知圆:(x-1)2+(y-1)2=2 经过椭圆 C∶

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右 a 2 b2

焦点 F 和上顶点 B,则椭圆 C 的离心率为( )

A.

1 2

B. 2

C.2

D.

2 2

7. 阅读右面的程序框图,则输出的 S=( A.14 B.30

) C.20 D.55 (第 7 题图)

? a11 a12 ? 8.在数阵 a21 a22 ? ?a ? 31 a32
A.18

a13 ? ? a23 ? 里,每行、每列的数依次均成等差数列,其中 a22 ? 2 ,则所有数的和为( ) a33 ? ?
y B.17 C.19 D.21 A
2
1

9.如右图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0,

?

2 图象, A, B 两点之间的距离为 5 ,且 f(1)=0,则 f ? ?1? ?
A. 3 B. 2 C. 2

? ? ? ? )的部分
( ) O
?2

x

3 D. 2
·2·

B (第 9 题图)

10.函数 f(x)=ln ( x ? ) 的图象是 (

1 x

)

11.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB =1:2,AB⊥平面 ? ,H 为垂足,平面 ? 截球 O 所得截面的 面积为 ? ,则球 O 的表面积为( A. ) C.

5? 3

B.4 ?

9? 2

D.

144? 35

12.弹子跳棋共有 60 颗大小相同的球形弹子,现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆,使剩下的弹子尽可 能的少,那么剩余的弹子共有( A.11 B. 4 )颗. C. 5 D. 0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题 中横线上.) 13. 已知向量 a =(1,3), b =(-3,4),则 a 在 b 方向上的投影为
? ? ? ?

.

14.若实数 x,y 满足条件 ?

? y ? 2 x ?1 ,则 z=x+3y 的最大值为 y ? x ? 1 ?
.

.

15.

? ? (cosx ? 4 x
4 ? 4

?

1

3

? 1)dx =

16.设 f(x)=

x 1 ,x=f(x)有唯一解,f( x 0 )= , f ( xn?1 ) ? xn , n=1, 2, 3, …, 则 x2015 ? a ( x ? 2) 1008

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且△ABC 的面 积为 S =

3 accosB 2
(1)若 c=2a,求角 A,B,C 的大小; (2)若 a=2,且
·3·

?
4

? A?

?
3

,求边 c 的取值范围.

18.(本小题共 12 分) 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE 和 AD 的交点, AC ? BC ,且 AC=BC; (1)求证: AM ? 平面 EBC; (2)求二面角 A-EB-C 的大小.
H E M D

A B

C

20.(本小题满分 12 分) 如图,已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴上,抛物线上的 点 A 到 F 的距离为 2,且 A 的横坐标为 1. 过 A 点作抛物线 C 的两条 动弦 AD、AE,且 AD、AE 的斜率满足 k AD ? k AE ? 2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)直线 DE 是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标;若不过 某定点,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln 1 ? 2x ? mx . (I)若 f ( x) 为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (II)当 m ? 1 ,且 0 ? b ? a ? 1 时,证明:

4 f (a ) ? f (b) ? ? 2. 3 a?b

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲.
·4·

如图,直线 PQ 与⊙O 相切于点 A,AB 是⊙O 的弦, ?PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C,连结 CB,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点, (1)求证: QC ? BC ? QC 2 ? QA2 ; (2)若 AQ=6,AC=5.求弦 AB 的长.

P A O B C

.

Q
(第 22 题图) 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.
2 ? ? x ? 3? 2 t 2 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ? ? y? 5? 2 t

(t 为参数). 在以原点 O 为极点,x 轴

正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标 3, 5 ,圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. 已知 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , g ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ?a(a ? R) . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.

?

?

·5·

2015 年咸阳市高考模拟考试试题(一) 理科数学参考答案
一、选择题( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 B 8 A 9 A 10 B 11 C 12 B

11. 解析:如图, 设球 O 的半径为 R,则 AH=

, OH=

.

又∵π ·EH2=π ,∴EH=1.

∵在 Rt△OEH 中,R2=

,∴R2=

.

∴S 球=4π R2=

.

12 题: A 因为组成的是正四面体,所以每一层都是正三角形, 所以最上面的一层有 1 个 下一层就应该有 3 个(1+2) 依次类推分别有 6 个(3+3) 10(6+4) 15(10+5) 21(15+6) 共 56 个,剩余 4 个.所以答案为 B A1 3 6 10 ... 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 .... an=1+2+...+n=n*(n+1)/2 sn=...... 求和太复杂了,直接列出来吧 1 3 6 10 15 21 28 ---------------56 剩余 60-56=4 个
C 正四面体的特征和题设构造过程,第 k 层为 k 个连续自然数的和,化简通项再裂项用公式求和.依题设第 k 层正四面体为 则前 k 层共有 ·6· , k 最大为 6, 剩

4,选 B.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.

9 . 5

14.11.

15. 2 +

? . 2

16.

1 . 2015

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 解:由三角形面积公式及已知得 S=

1 3 ac sin B ? ac cos B 2 2

化简得 sin B ? 3 cos B 即 tan B ? 3 又 0<B< ? 故 B ?
2 2 2 2

?
3
2

.
2 2

?????????3 分

(1)由余弦定理得, b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? 4a ? 2a ? 3a ∴b= 3 a. ∴a:b:c=1: 3 :2,知 A ? (2)由正弦定理得

?
6

,C ?

?
2

.

???????????????6 分

a c a sin C 2 sin C ? 得c ? ? . sin A sin C sin A sin A

由 C=

2? ? A ,c= 3

2 sin(

2? 2? 2? ? A) 2(sin cos A ? cos sin A) 3 3 3 3 ?1 = ? tan A sin A sin A

又由

?
4

? A?

?
3

知 1 ? tan A ? 3 ,故 c ?

?2,

3 ?1

?

??????????????12 分

18.(本小题共 12 分) 解: (Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A, “从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件

B.由于事件 A、B 相互独立,

? P( A) ? C32 ? 1 ,
C4 2

2

P( B) ?

? 取出的 4 个球均为黑球的概率为

2 C4 2 ? . 2 C6 5

????????????? 3 分

1 2 1 ???????????? 4 分 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? . 2 5 5 (Ⅱ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球” 为事件 C, “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事 1 2 2 1 1 C3 C4 1 C4 4 , 件 D.由于事件 C、D 互斥,且 P(C ) ? C3 ?C2 ? P ( D ) ? ? ? .??????? 7 分 ? 2 2 2 2 C4 C6 5 C4 C6 15

所以取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 4 1 7 P(C ? D) ? P(C ) ? P( D) ? ? ? . 15 5 15 (Ⅲ)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.
·7·

???????????? 8 分

1 由(Ⅰ) 、 (Ⅱ)得 P(? ? 0) ? 1 , P(? ? 1) ? 7 , P(? ? 3) ? C3 ? 1 ? 1 . 2 2 5 15 C4 C6 30 3 所以 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P( ? ? 1) ? P( ? ? 3) ? . 10 ? 的分布列为

?
P
∴ ? 的数学期望

0
1 5

1
7 15

2
3 10

3
1 30

-----------11 分 ???? 12 分

1 7 3 1 7 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? . 5 15 10 30 6

19(本小题满分 12 分) 解法一: ∵四边形 ACDE 是正方形, AM ? EC ; 又∵平面 ACDE ? 平面 ABC, AC ? BC ,
E M H D

BC ? 平面 EAC; ? BC ? 平面 EAC,? BC ? AM ;
又? EC ? BC ? C , AM ? 平面 EBC; (2) 过 A 作 AH ? EB 于 H,连结 HM;

??????3 分
A C B

??????6 分

? AM ? 平面 EBC,? AM ? EB ;?EB ? 平面 AHM;

??AHM 是二面角 A-EB-C 的平面角;

??????8 分

∵平面 ACDE ? 平面 ABC,?EA ? 平面 ABC;?EA ? AB; 在 Rt ?EAB 中,AH ? EB ,有 AE ? AB ? EB ? AH ; 设 EA=AC=BC=2a 可得,

AB ? 2 2a, EB ? 2 3a ,? AH ?
AM 3 ? , AH 2
?

AE ? AB 2 2a ; ? EB 3

? sin ?AHM ?

? ?AHM ? 60? .
????12 分

∴二面角 A_EB_C 等于 60 .

解法二: ∵四边形 ACDE 是正方形 ,? EA ? AC ,
·8·

∵平面 ACDE ? 平面 ABC, EA ? 平面 ABC ;

???2 分

所以, 可以以点 A 为原点, 以过 A 点平行于 BC 的直线为 X 轴, 分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz; 设 EA=AC=BC=2,则 A(0,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2), M 是正方形 ACDE 的对角线的交点,M(0,1,1);
?

?????4 分
?

(1) AM ? (0,1,1) , EC ? (0,2,0) ? (0,0,2) ? (0,2,?2) , CB ? (2,2,0) ? (0,2,0) ? (2,0,0) ,

?

AM ? EC ? 0, AM ? CB ? 0 ,? AM ? EC, AM ? CB ;
又 EC ? BC ? C ,? AM ? 平面 EBC;
?

?

?

?

?

??????6 分
? ? ? ?

(2) 设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AE 且 n ? AB ,

? n? AE ? 0 且 n? AB ? 0 ;

?

?

?

?

?(0, 0, 2) ? ( x, y, z ) ? 0 , ?? ?(2, 2, 0) ? ( x, y, z ) ? 0
?

即?

? z?0 ?x ? y ? 0
??????10 分
?

取 y=-1,则 x=1, 则 n ? (1,?1,0) ; 又∵ AM 为平面 EBC 的一个法向量,且 AM ? (0,1,1) ,
?

? ???? ? ? ???? ? n ? AM 1 ? cos ? n, AM ?? ? ???? ? ?? , 2 n ? AM
设二面角 A-EB-C 的平面角为 ? ,则 cos ? ? cos ? n, AM ? ? ∴ 二面角 A-EB-C 等于 60 .
?

? ???? ?

1 ? ,?? ? 60 ; 2

??????12 分

20.解:(1)设抛物线方程为 C: y ? 2 px( p ? 0) ,
2

由其定义知 AF ? 1 ?

p 2 ,又 AF ? 2 ,所以 p ? 2 , y ? 4 x . 2
---------------5 分

(2)解法一:易知 A(1, 2) ,当 DE ? x 轴时,设 DE 方程为 x ? m ( m ? 0 ) , 由?

? x?m 得 D(m,2 m ), E(m,?2 m ) 2 ? y ? 4x

由 k AD ? k AE ? 2 得 m ? ?1 不符题意。
·9·

当 DE 的斜率存在时,设 DE 方程为 y ? kx ? b ,

? y 2 ? 4x 联立 ? 得 ky 2 ? 4 y ? 4b ? 0 , ? y ? kx ? b
设 D( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 由 k AD ? k AE ? 2 ,得

4 4b , y1 y2 ? ,① ------------8 分 k k

y1 ? 2 y2 ? 2 y ? 2 y2 ? 2 ? ? 2 ? 12 ? 2 ?2 x1 ? 1 x2 ? 1 y2 y1 ?1 ?1 4 4
把②代入①得 b ? k ? 2

? 2( y1 ? y2 )+ y1 y 2 -4=0 ②

? 直线 DE 方程为 y ? k ( x ? 1) ? 2 ,显然过定点 (?1,?2) .-------------12 分

解法二:易知 A(1, 2) ,设 D( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) ,DE 方程为 x ? my ? n ( m ? 0) 把 DE 方程代入 C,并整理得 y ? 4my ? 4n ? 0 ,
2

? ? 16(m2 ? n) ? 0, y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4n
y1 ? 2 y2 ? 2 2 ? 4 x2 得 ? ? 2 及 y12 ? 4 x1 , y2 x1 ? 1 x2 ? 1

---------------8 分

由 k AD ? k AE ?

y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ,所以 n ? 2m ? 1 ,代入 DE 方程得:

x ? my ? 2m ? 1 ,即 ( y ? 2)m ? x ? 1

故直线 DE 过定点 (?1, ?2).

-------------------12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (I) f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx ? ∴ f ' ( x) ?

1 1 ln(1 ? 2 x) ? mx ( x ? ? ) , 2 2

1 ?m 1 ? 2x

??2 分

·10·

1 1 , ? 0 ,故不存在实数 m, 2 1 ? 2x 1 1 使 f ' ( x) ? ---------------------------4 分 ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立, 1 ? 2x 2 1 1 由 f ' ( x) ? ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立得, 1 ? 2x 2 1 1 对 x ? ? 恒成立 m ≥? 1 ? 2x 2 1 而? <0,故 m≥0 1 ? 2x 1 1 经检验,当 m≥0 时, f ' ( x) ? ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立 1 ? 2x 2
对x ?? ∴当 m≥0 时,f(x)为定义域上的单调递增函数. (II)当 m = 1 时,令 g ( x) ? f ( x) ? ---------6分

4 1 1 x ? ln(1 ? 2 x) ? x 3 2 3

g ' ( x) ?

1 1 2(1 ? x) ? ? , 1 ? 2 x 3 3(1 ? 2 x)

在[0,1]上总有 g ' ( x ) ≥0,即 g ( x) 在[0,1]上递增

∴当 0 ? b ? a ? 1 时, g (a) ? g (b) ,

4 4 f (a) ? f (b) 4 a ? f (b) ? b ? ? ① ------------------9 分 3 3 a?b 3 1 令 h( x) ? f ( x) ? 2 x ? ln(1 ? 2 x) ? x , 2 1 ? 2x h ' ( x) ? ?1 ? ? 0 ,知 h(x)在[0,1]上递减,∴ h(a ) ? h(b) 1? 2x 1? 2x f (a) ? f (b) ? 2 ②-----------------------------11 分 即 f (a ) ? 2a ? f (b) ? 2b ? a?b 4 f (a ) ? f (b) ? 2 .---------------12 分 由①②知,当 0 ? b ? a ? 1 时, ? 3 a?b
即 f (a) ? 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 1 证明:(1)∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴ ?PAC ? ?CBA ∵ ?PAC ? ?BAC ∴ ?BAC ? ?CBA

∴AC=BC=5
·11·

由切割线定理得:

QA2 ? QB ? QC ? ?QC ? BC?QC
∴ QC ? BC ? QC 2 ? QA2 (2) 由 AC=BC=5,AQ=6 及(1), 知 由 ?QAB ? ?ACQ ∴ 知 ?QAB ∽ ?QCA ∴ QC=9 ---------------------------5 分

AB QA ? AC QC

AB ?

10 . 3

-----------------------10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
2 ? ? x ? 3? 2 t 2 (1)由 ? ? ? y? 5? 2 t

解:

得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 --------2 分

又由 ? ? 2 5 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 即

x2 ? y ? 5

?

?

2

?5

.
2

---------5 分

(2) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

? 2 ? ? 2 ? t? ?? t? ? 5 ,即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 得 ?3? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
由于 ? ? 3 2 所以 ? 1

2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实数根,

?t ? t2 ? 3 2 ? 又直线 l 过点 P 3, 5 ,A、B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 ? ? t1 ? t2 ? 4

?

?

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 .

------------------10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5: 解:(Ⅰ)不等式 f ( x) ? 5 的解集为[-2,3].

????5 分

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 | x ? 2 | ? | x ? a |? a 恒成 立. 而 | x ? 2 | ? | x ? a | 的最小值为 | 2 ? a |?| a ? 2 | ,∴ | a ? 2 |? a , 解得 a ? 1 ,故 a 的范围(-∞,1].
·12·

??????10 分

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·13·