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2013全国中考数学试题分类汇编----图形的相似1


山学教育教师教案
年 级: 九年级 授课时间: 第 王超雄 授课科目: 次课 数学 授课主题: 学生姓名:

教学内容 2013 相似中考题
(2013?巴中)如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网 4 米的位置上, 则球拍击球的高度 h 为 1.5 米 .

考点: 相似三角形的应用. 分析: 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即 DE∥ BC 可知,△ ADE∽ △ ACB,根据其相似 比即可求解. 解答: 解:∵ DE∥ BC,
245761

∴ △ ADE∽ △ ACB,即 则 = ,

=



∴ h=1.5m. 故答案为:1.5 米.

点评: 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后 根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.

1

(2013,成都)如图,点 B 在线段 AC 上,点 D , E 在 AC 同侧,?A ? ?C ? 90o ,

BD ? BE , AD ? BC . (1)求证: AC ? AD ? CE ;

(2)若 AD ? 3 , CE ? 5 ,点 P 为线段 AB 上的动点,连接 DP ,作 PQ ? DP , 交直线 BE 与点 Q ; i)当点 P 与 A , B 两点不重合时,求
DP 的值; PQ

ii)当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时,求线段 DQ 的中点所经过的路径(线段) 长.(直接写出结果,不必写出解答过程)

(1)证△ABD≌△CEB→AB=CE; (2)如图,过 Q 作 QH⊥BC 于点 H,则△ADP∽△HPQ,△BHQ∽△BCE, ∴

BH QH AD AP ? ? , ; BC EC PH QH BH y ? 3 5

设 AP= x ,QH= y ,则有 ∴BH=

3y 3y ,PH= +5 ? x 5 5



3 3y ?5? x 5

?

x ,即 ( x ? 5)(3 y ? 5x) ? 0 y

又∵P 不与 A、B 重合,∴ x ? 5, 即 x ? 5 ? 0 , ∴ 3 y ? 5x ? 0 即 3 y ? 5x



DP x 3 ? ? PQ y 5

(3)

2 34 3
2

(2013?眉山)如图,△ABC 中,E、F 分别是 AB、AC 上的两点,且 △AEF 的面积为 2,则四边形 EBCF 的面积为_________

AE AF 1 ? ? ,若 EB FC 2

2013?内江)如图,在?ABCD 中,E 为 CD 上一点,连接 AE、BD,且 AE、BD 交于点 F, S△DEF:S△ABF=4:25,则 DE:EC=( )

A.2:5

B.2:3

C.3:5

D.3:2

考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 分析: 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△ DEF∽ △ BAF,再根据 S△DEF: S△ABF=4:10:25 即可得出其相似比,由相似三角形的性质即可求出 DE:EC 的值, 由 AB=CD 即可得出结论. 解答: 解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥ CD, ∴ ∠ EAB=∠ DEF,∠ AFB=∠ DFE, ∴ △ DEF∽ △ BAF, ∵ S△DEF:S△ABF=4:25, ∴ DE:AB=2:5, ∵ AB=CD, ∴ DE:EC=2:3. 故选 B. 点评: 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质, 熟知相似三角形边长的 比等于相似比,面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键. (2013?雅安)如图,在?ABCD 中,E 在 AB 上,CE、BD 交于 F,若 AE:BE=4:3,且 BF=2,则 DF= ..

考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
3

分析: 由四边形 ABCD 是平行四边形,可得 AB∥ CD,AB=CD,继而可判定△ BEF∽ △ DCF, 根据相似三角形的对应边成比例,即可得 BF:DF=BE:CD 问题得解. 解答: 解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥ CD,AB=CD, ∵ AE:BE=4:3, ∴ BE:AB=3:7, ∴ BE:CD=3:7. ∵ AB∥ CD, ∴ △ BEF∽ △ DCF, ∴ BF:DF=BE:CD=3:7, 即 2:DF=3:7, ∴ DF= . .

故答案为:

点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质.此题比较简单,解题的关 键是根据题意判定△ BEF∽ △ DCF,再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解. (2013?自贡)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=9,∠ BAD 的平分线交 BC 于 E, 交 DC 的延长线于 F,BG⊥ AE 于 G,BG= ,则△ EFC 的周长为( )

A.11

B.10

C.9

D.8

考点: 相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质. 分析: 判断出△ ADF 是等腰三角形,△ ABE 是等腰三角形,DF 的长度,继而得到 EC 的长度, 在 Rt△ BGE 中求出 GE,继而得到 AE,求出△ ABE 的周长,根据相似三角形的周长之 比等于相似比,可得出△ EFC 的周长. 解答: 解:∵ 在?ABCD 中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠ BAD 的平分线交 BC 于点 E, ∴ ∠ BAF=∠ DAF, ∵ AB∥ DF,AD∥ BC, ∴ ∠ BAF=∠ F=∠ DAF,∠ BAE=∠ AEB, ∴ AB=BE=6,AD=DF=9, ∴ △ ADF 是等腰三角形,△ ABE 是等腰三角形, ∵ AD∥ BC, ∴ △ EFC 是等腰三角形,且 FC=CE, ∴ EC=FC=9﹣6=3, 在△ ABG 中,BG⊥ AE,AB=6,BG=4 ,
3718684

∴ AG= ∴ AE=2AG=4,

=2,

4

∴ △ ABE 的周长等于 16, 又∵ △ CEF∽ △ BEA,相似比为 1:2, ∴ △ CEF 的周长为 8. 故选 D.

点评: 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质,注意掌握相似三角形的 周长之比等于相似比,此题难度较大. (2013?沈阳) 如图,?ABC 中, AE 交 BC 于点 D,?C ? ?E , AD=4, BC=8, BD:DC=5: 3,则 DE 的长等于( ) A.

20 3

B.

15 4

C.

16 3

D.

17 4

(2013?恩施州)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 为 OD 的 中点,连接 AE 并延长交 DC 于点 F,则 DF:FC=( )

A.1:4

B.1:3

C.2:3

D.1:2

考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 分析: 首先证明△ DFE∽ △ BAE,然后利用对应变成比例,E 为 OD 的中点,求出 DF:AB 的 值,又知 AB=DC,即可得出 DF:FC 的值. 解答: 解:在平行四边形 ABCD 中,AB∥ DC, 则△ DFE∽ △ BAE,
3718684

∴ =



∵ O 为对角线的交点, ∴ DO=BO, 又∵ E 为 OD 的中点, ∴ DE= DB, 则 DE:EB=1:3, ∴ DF:AB=1:3,
5

∵ DC=AB, ∴ DF:DC=1:3, ∴ DF:FC=1:2. 故选 D.

点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,难度适中,解答本题的 关键是根据平行证明△ DFE∽ △ BAE,然后根据对应边成比例求值. (2013?武汉)已知四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 边上的点,DE 与 CF 交于点 G. (1)如图①,若四边形 ABCD 是矩形,且 DE⊥CF,求证

DE AD ; ? CF CD

(2)如图②,若四边形 ABCD 是平行四边形,试探究:当∠B 与∠EGC 满足什么关系时, 使得

DE AD 成立?并证明你的结论; ? CF CD DE 的值. CF
F G B
第24题图②

(3)如图③,若 BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,请直接写出
F G

A

D

A

F G

D

A E

E
E B
第24题图①

D

C

B

C
C

第24题图③

解析: (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=∠ADC=90°, ∵DE⊥CF,∴∠ADE=∠DCF,∴△ADE∽△DCF,∴ (2)当∠B+∠EGC=180°时,

DE AD . ? CF DC

DE AD 成立,证明如下: ? CF DC

在 AD 的延长线上取点 M,使 CM=CF,则∠CMF=∠CFM. ∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM, ∵∠B+∠EGC=180°, F A ∴∠AED=∠FCB,∴∠CMF=∠AED. G ∴△ADE∽△DCM,
[

D

M



DE AD DE AD ,即 . ? ? CF DC CM DC

E

B

第24题图②

C

6

(3)

DE 25 ? . CF 24

(2013?孝感)如图,在△ ABC 中,AB=AC=a,BC=b(a>b) .在△ ABC 内依次作∠ CBD=∠ A, ∠ DCE=∠ CBD,∠ EDF=∠ DCE.则 EF 等于( )

A.

B.

C.

D.

考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质. 分析: 依次判定△ ABC∽ △ BDC∽ △ CDE∽ △ DFE,根据相似三角形的对应边成比例的知识,可得 出 EF 的长度. 解答: 解:∵ AB=AC, ∴ ∠ ABC=∠ ACB, 又∵ ∠ CBD=∠ A, ∴ △ ABC∽ △ BDC, 同理可得:△ ABC∽ △ BDC∽ △ CDE∽ △ DFE, ∴ = , = , = ,

解得:CD=

,DE=

,EF=



故选 C. 点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,本题中相似三角形比较容易找到,难点在于根 据对应边成比例求解线段的长度,注意仔细对应,不要出错. (2013?宜昌)如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1), 以 C,D,E 为顶点的三角形与⊿ABC 相似,则点 E 的坐标不可能 是( ) ... A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2)

7

(2013?莆田)下列四组图形中,一定相似的是( ) A.正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 菱形与菱形 D.正五边形与正五边形 考点: 相似图形. 分析: 根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析,即可得出一定相似的图形. 解答: 解:A、正方形与矩形,对应角相等,对应边不一定成比例,故不符合题意; B、正方形与菱形,对应边成比例,对应角不一定相等,不符合相似的定义,故不符 合题意; C、菱形与菱形,对应边不值相等,但是对应角不一定相等,故不符合题意; D、正五边形与正五边形,对应角相等,对应边一定成比例,符合相似的定义,故符 合题意. 故选:D. 点评: 本题考查了相似形的定义,熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键. (2013?莆田)定义:如图 1,点 C 在线段 AB 上,若满足 AC =BC?AB,则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点. 如图 2,△ ABC 中,AB=AC=1,∠ A=36°,BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D. (1)求证:点 D 是线段 AC 的黄金分割点; (2)求出线段 AD 的长.
2

考点: 黄金分割. 分析: (1)判断△ ABC∽ △ BDC,根据对应边成比例可得出答案. (2)根据黄金比值即可求出 AD 的长度. 解答: 解: (1)∵ ∠ A=36°,AB=AC, ∴ ∠ ABC=∠ ACB=72°, ∵ BD 平分∠ ABC, ∴ ∠ CBD=∠ ABD=36°,∠ BDC=72°,
8

∴ AD=BD,BC=BD, ∴ △ ABC∽ △ BDC, ∴ =
2

,即

=



∴ AD =AC?CD. ∴ 点 D 是线段 AC 的黄金分割点. (2)∵ 点 D 是线段 AC 的黄金分割点, ∴ AD= AC= .

点评: 本题考查了黄金分割的知识,解答本题的关键是仔细审题,理解黄金分割的定义,注 意掌握黄金比值. (2013?厦门)如图 3,在△ABC 中,DE∥BC,AD=1,AB=3, DE=2,则 BC= 6 .
D B A E C 图3



(2013?白银)如图,路灯距离地面 8 米,身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部(点 O)20 米的 A 处,则小明的影子 AM 长为 5 米.

考点: 相似三角形的应用. 分析: 易得:△ ABM∽ △ OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长. 解答: 解:根据题意,易得△ MBA∽ △ MCO, 根据相似三角形的性质可知 = ,即 = ,

解得 AM=5m.则小明的影长为 5 米.

点评: 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中, 利用相似三角形的相似比可得出小明的 影长. . (2013?南通)若△ABC∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为 1∶2,则△ABC 与△DEF 的周 长比为 ▲ .

9

(2013?北京) 如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点 A,在近岸取点 B, C,D,使得 AB⊥BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A,E,D 在同一条直线上。若测得 BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽 度 AB 等于 A. 60m C. 30m 答案:B 解析:由△EAB∽△EDC,得: B. 40m D. 20m

CE CD 10 20 ? ? ,即 ,解得:AB=40 BE AB 20 AB

(2013?天津) 如图, 在边长为 9 的正三角形 ABC 中, BD=3, ∠ ADE=60°, 则 AE 的长为 7 .

考点: 相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 分析: 先根据边长为 9,BD=3,求出 CD 的长度,然后根据∠ ADE=60°和等边三角形的性质, 证明△ ABD∽ △ DCE,进而根据相似三角形的对应边成比例,求得 CE 的长度,即可求 出 AE 的长度. 解答: 解:∵ △ ABC 是等边三角形, ∴ ∠ B=∠ C=60°,AB=BC; ∴ CD=BC﹣BD=9﹣3=6; ∴ ∠ BAD+∠ ADB=120° ∵ ∠ ADE=60°, ∴ ∠ ADB+∠ EDC=120°, ∴ ∠ DAB=∠ EDC, 又∵ ∠ B=∠ C=60°, ∴ △ ABD∽ △ DCE,
3718684

则 即 =

=

, ,

解得:CE=2, 故 AE=AC﹣CE=9﹣2=7. 故答案为:7. 点评: 此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质, 根据等边三角形的 性质证得△ ABD∽ △ DCE 是解答此题的关键.

10

(2013? 东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似的直角三角 形边长分别是 3、4 及 x,那么 x 的值( A. 只有 1 个 B ) C. 可以有 3 个 D. 有无数个

B. 可以有 2 个

(2013 菏泽)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别 为 S1,S2,则 S1+S2 的值为( )

A.16 B.17 C.18 D.19 考点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质. 专题:计算题. 分析:由图可得,S1 的边长为 3,由 AC= BC,BC=CE= EC= ;然后,分别算出 S1、S2 的面积,即可解答. 解答:解:如图,设正方形 S2 的边长为 x, 根据等腰直角三角形的性质知,AC= x,x= CD, ∴ AC=2CD,CD= =2, ∴ EC =2 +2 ,即 EC= ; 2 ∴ S2 的面积为 EC = =8; ∵ S1 的边长为 3,S1 的面积为 3×3=9, ∴ S1+S2=8+9=17. 故选 B.
2 2 2

CD,可得 AC=2CD,CD=2,

点评:本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考查了学生的读图能力. 造出相似三角形,求出 EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键,也是本题的难点. . (2013 济宁)如图,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到 幻灯片的距离为 20cm,到屏幕的距离为 60cm,且幻灯片中的图形的高度为 6cm,则屏幕上 图形的高度为 cm.

考点:相似三角形的应用.

11

分析:根据题意可画出图形,再根据相似三角形的性质对应边成比例解答. 解答:解:∵ DE∥ BC, ∴ △ AED∽ △ ABC ∴ = 设屏幕上的小树高是 x,则 解得 x=18cm.故答案为:18. =

点评:本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边 成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题. (2013 聊城)如图,D 是△ ABC 的边 BC 上一点,已知 AB=4,AD=2.∠ DAC=∠ B,若△ ABD 的面积为 a,则△ ACD 的面积为( )

A.a

B.

C.

D.

考点:相似三角形的判定与性质. 分析:首先证明△ ACD∽ △ BCA,由相似三角形的性质可得:△ ACD 的面积:△ ABC 的面积为 1:4,因为△ ABD 的面积为 a,进而求出△ ACD 的面积. 解答:解:∵ ∠ DAC=∠ B,∠ C=∠ C, ∴ △ ACD∽ △ BCA, ∵ AB=4,AD=2, ∴ △ ACD 的面积:△ ABC 的面积为 1:4, ∴ △ ACD 的面积:△ ABD 的面积=1:3, ∵ △ ABD 的面积为 a, ∴ △ ACD 的面积为 a, 故选 C. 点评:本题考查了相似三角形的判定和性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方,是中 考常见题型. (2013 泰安)如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠ DAB,∠ ADC=∠ ACB=90°,E 为 AB 的中 点,

12

(1)求证:AC =AB?AD; (2)求证:CE∥ AD; (3)若 AD=4,AB=6,求 的值.

2

考点:相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 分析: (1)由 AC 平分∠ DAB,∠ ADC=∠ ACB=90°,可证得△ ADC∽ △ ACB,然后由相似三角形 2 的对应边成比例,证得 AC =AB?AD; (2)由 E 为 AB 的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得 CE= AB=AE,继而可证得∠ DAC=∠ ECA,得到 CE∥ AD; (3)易证得△ AFD∽ △ CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得 解答: (1)证明:∵ AC 平分∠ DAB, ∴ ∠ DAC=∠ CAB, ∵ ∠ ADC=∠ ACB=90°, ∴ △ ADC∽ △ ACB, ∴ AD:AC=AC:AB, 2 ∴ AC =AB?AD; (2)证明:∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE= AB=AE, ∴ ∠ EAC=∠ ECA, ∵ ∠ DAC=∠ CAB, ∴ ∠ DAC=∠ ECA, ∴ CE∥ AD; (3)解:∵ CE∥ AD, ∴ △ AFD∽ △ CFE, ∴ AD:CE=AF:CF, ∵ CE= AB, ∴ CE= ×6=3, ∵ AD=4, ∴ , 的值.

13





点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此 题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

14


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