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拉格朗日中值定理的应用







要……………………………………………………………………………………………1

关键字……………………………………………………………………………………………1 Abstract…………………………………………………………………………………………1 KeyWord…………………………………………………………………………………………1

0 前言……………………………………………………………………………………………1 1 对拉格朗日中值定理的理解
……………………………………………………………1

1.1 承上启下的定理……………………………………………………………………………1 1.2 定理中的条件………………………………………………………………………………1 1.3 定理中的 ξ …………………………………………………………………………………2 1.4 定理的意义…………………………………………………………………………………2

2 拉格朗日中值定理的证明………………………………………………………………2 3 拉格朗日中值定理的应用………………………………………………………………3
3.1 求极限………………………………………………………………………………………3 3.2 证明不等式….………………………………………………………………………………5 3.3 证明恒等式…………………………………………………………………………………8 3.4 证明等式……………………………………………………………………………………9 3.5 研究函数在区间上的性质 ………………………………………………………………10 3.6 估值问题 …………………………………………………………………………………11 3.7 判定级数的收敛性 ………………………………………………………………………12 3.8 证明方程根的存在性 ……………………………………………………………………13 3.9 误用拉格朗日中值定理 …………………………………………………………………14

结束语…………………………………………………………………………………………15 参考文献………………………………………………………………………………………16 致 谢……………………………………………………………………………………………16

拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理的应用
学生姓名:李 苹 数学与信息科学学院 指导老师:李 柱 学号:20075030274 数学与应用数学专业 职称:助教

摘要:拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一,它是沟通函数及其导数之间关系的 桥梁,课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解,而很多研究者也只是研究了 它在某个方面的应用,并没有系统的总结。本文首先进一步分析了定理的实质,以便使读者 深入理解拉格朗日中值定理; 然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想 (构造辅助函数法) 出发,提出了一个较简单的辅助函数,从而使拉格朗日中值定理的证明简单化;以此为理论 依据并在别人研究的基础上,最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。这对于 正确的理解和掌握拉格朗日中值定理, 以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意 义。 关键词:拉格朗日中值定理;应用;极限;不等式;收敛;根的存在性

The Application of Lagrange's mean value theorem
Abstract: Lagrange's mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and The it also is communication function and its derivative bridge. There is no special explaination about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order to make the reader understand Lagrange's mean value theorem, this paper first analyzed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange's mean value theorem thoughts (structure method of auxiliary function), puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange's mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the aspects application of Lagrange's mean value theorem. It is quite important for understanding and mastering Lagrange's mean value theorem and also have a significant and profound significance for further study of mathematics. Keywords:Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots : of existence

0 前言
1

函数与其导数是两个不同的的函数,而导数只是反映函数在一点的局部特征,如果要了 解函数在其定义域上的整体性态,就需要在导数及函数间建立起联系,微分中值定理就是这 种作用.微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理,是沟通导数 值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔中值定 理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉 格朗日中值定理,建立了函数值与导数值之间的定量联系,因而可用拉格朗日中值定理通过 导数去研究函数的性态,拉格朗日中值定理的主要作用在于理论分析和证明. 拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个,是微分学应用的桥梁。在高等 代数与数学分析中的一些理论推倒中起着很重要的作用。 课本中对拉格朗日中值定理的应用 只是简单的举了例子, 而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用, 并没有系统的总结, 所以研究拉格朗日中值定理的应用,力求正确地理解和掌握它是十分必要的. 拉格朗日中值定理:若函数 f 满足如下条件: (1) f 在闭区间 [ a, b] 上连续; (2) f 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ ,使得 f ' (ξ ) =

f (b) ? f ( a ) [1] 。 b?a

对于此定理的应用,本文从求极限、估值问题、证明不等式、以及研究函数在区间上的性质 等几个方面详细举例说明,以便我们更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。

1 对拉格朗日中值定理的理解
拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一,在理论和应用上都有着极其重要的意义。 该定理的叙述简单明了, 并有明确的几何意义, 很容易简单掌握, 但要深刻认识定理的内容, 特别是点的含义,就有较大难度。熟练掌握定理的本质,会在解题时游刃有余,若对定理的 实质了解不够深刻的话,会进入不少误区。下面从四个方面对定理进行分析,以便更好的掌 握定理。 1.1 承上启下的定理 拉格朗日中值定理是导数概念的延伸, 是导数各种应用的理论基础。 在讲完导数内容后, 介绍导数的应用是顺理成章的。而正是这一定理使得导数概念与其应用有机的联系起来。 例:函数 f ( x) = x 2 ? 3 ,有 f '( x) = 2 x ,当 x ∈ (0, +∞) 时, f '( x) > 0 ,

f ( x) 单调增加; x ∈ (?∞, 0) 时, f '( x) < 0 ,f ( x) 单调减少; x = 0 时, f '( x) = 0 ,f (0) = ?3 当 当 可见, 函数的单调性的判定, 是否取得极值可以用它的导数符号来确定。 一般在某个区间上,
2

若 f '( x) > 0 ,则 f ( x) 单调增加,若 f '( x) < 0 ,则 f ( x) 单调减少,若 f '( x) = 0 ,则 f ( x) 可能
f (6) ? f (2) 在改点 x 处取得极值 (此亦为定理)又如例中, 。 如果 2 < x < 6 时, = 8 , f '(4) = 8 , 而 6?2 f (6) ? f (2) 从而有 = f '(4) ,即函数 f ( x) = x 2 ? 3 在某个闭区间端点的函数值之差同该区长度 6?2

之比等于该区间内某一点的导数值。这样一来,通过具体实例会让学生容易学地接受定理的 内容。[2] 1.2 定理中的条件 函数在闭区间上连续、在开区间内可导是拉格朗日中值定理两个不可缺少的条件,是充 分而不必要的条件。即由着两个条件一定可得出结论,但没有这两个条件, ξ 则无定论。 例 函数 f ( x) = 1 在闭区间 [?1,1] 上不连续,在开区间(-1,1)内不可导 x ? 1 f (1) ? f (?1) = =1 2 x 1 ? (?1)

所以 x 2 = ?1 无实根,即在区间(-1,1)内不存在 ξ ,使得 f '( x) = 1 1.3 定理中的 ξ 如果在满足拉格朗日中值定理条件下,结论中的“至少存在”是关键所在。实际上 ξ 是 方程 f’( ξ )= f (b) ? f (a ) b?a (1)

的所有实数解中属于区间 ( a, b ) 的那些解,而这些解的个数正是定理中 ξ 的个数。 例 求函数 f ( x) = 2 x 2 ? 4 x + 1 在区间(-1,1)内的 ξ 解:显然函数在该区间内满足定理的条件,所以 f '( x) = k = f (b) ? f (a ) b?a

即区间 ( a, b ) 内任何一点都可取为 ξ ,这样的 ξ 有无穷多个。但值得注意的是方程(l) 一般不是简单的代数方程,不一定能解出 ξ ,但这并不影响定理的应用,因为定理的重要性 不在于一定要知道或者解出 ξ ,而是在于确定了 ξ 的存在性。 1.4 定理的意义 (1) 几何意义:定理中 f (b) ? f (a ) 是连接曲线上两点 A(a, f (a )), B(b, f (b)) 的弦的斜率,f '(ε ) b?a
3

是过曲线上一点 (ε , f (ε )) 的切线的斜率。那么,定理就可解释为在曲线 y = f ( x) 上至少存在 一条平行于弦 AB 的切线。[1] (2)物理意义:如果 s (t ) 表示物体的运动规律在定理的条件下, s '(t ) 表示物体运动到时间时
s (t2 ) ? s (t1 ) s (t ) ? s (t1 ) 表示物体从时间到平均速度,那么 s '(τ ) = 2 (t1 < τ < t2 ) 表 t2 ? t1 t2 ? t1

的瞬时速度;

示物体在运动过程中,至少有那么一个时刻 τ ,其瞬时速度等于它的平均速度。

2 拉格朗日中值定理的证明
拉格朗日中值定理是微分学的基本定理,它架起用导数来研究函数性质的桥梁。该定理 的证明一直是人们研究的问题。它的证明通常是以罗尔中值定理作为预备定理,为此需要将 拉格朗日中值定理的条件转化为罗尔定理的条件, 这个转化过程就是要构造一个满足罗尔定 理条件的新函数作为辅助函数。 教科书上的证明方法正是通过此思想实现的,但所作的辅助函数不是很容易想到,下面 提供一个更易理解、更简单的证明方法以供大家参考。 分析:首先由定理的结论知 分析
f '(ξ ) = f (b) ? f (a ) b?a

则可求
[ f ( x) ? f (b) ? f (a ) x]'1ξ = 0 b?a f (b) ? f (a ) x b?a

从而可构造辅助函数

φ ( x) = f ( x) ?
证明:先构造辅助函数 证明

φ ( x) = f ( x) ?
再用罗尔定理证明 显然, φ ( x) 在 [ a, b] 连续,在( a, b )可导,

f (b) ? f ( a ) x b?a

φ (a) = f (a) ? φ (b ) = f (b) ?

f (b ) ? f ( a ) b?a f (b) ? f ( a ) b?a
4

?a =

bf ( a ) ? af ( b ) b?a bf ( a ) ? af ( b ) b?a

?b =

∴φ (a ) = φ (b)

有罗尔定理知, φ ( x) 在[a, b] 连续,在( a, b )内可导,且 φ (a ) = φ (b) ,则 φ ( x) 在( a, b )内 至少存在一点 ξ ∈ (a, b) ,使 φ '(ξ ) = 0 . 从而可证
f '(ξ ) = f (b) ? f (a ) b?a

即证

3 拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础,是应用数学研究函数在区间上 整体性态的有力工具,拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心,有着广泛的应用,如求 极限、证明不等式和方程根的存在性等,它在很多题型中都起到了化繁为简的作用。下面通 过举例说明拉格朗日中值定理在以上几个方面的应用。 3.1 求极限 例1 e x ? e sinx [3] 求极限 lim . x → 0 x ? sin x

解:函数 f = et 在 [ x,sin x ] 或 [sin x, x ] 上运用拉格朗日中值定理得 e x ? e sinx = eξ ( ξ 介于 x 与 sin x 之间) x ? sin x
当 x → 0 时, sin x → 0 ,由介值定理可知 ξ → 0 则

原式= lim

e x ? e sinx = lim eξ = 1 ξ → 0 x ? sin x ξ →0

解题思路:由这

e x ? e sinx f (b) ? f (a ) 一形式联想到拉格朗日中值定理的一般形式 ,从而构造 x ? sin x b?a

函数 f ,在运用拉格朗日中值定理求极限。 例2 设 f ''( x) 连续, f ''(a ) ≠ 0 ,有公式
f (a + x) = f (a ) + xf '(a + θ x)

(0< θ <1)

(1)

试求 x → 0 时 θ 的极限
5

解:对函数 f '( x) 在 [a, a + θ x] 或 [a + θ x, a ] 上运用拉格朗日中值定理得 f '(a + θ x) = f '(a ) + θ xf ''(a + θ1θ x) (0< θ 1<1) 将此式代入式(1)得 f (a + x) = f (a ) + xf '(a ) + θ x 2 f ''(a + θ x) 将 f (a + x) 按泰勒公式展开得
f (a + x) = f (a ) + xf '(a ) + 1 2 x f ''(a + θ 2 x) 2 1 f ''(a + θ 2 x) 2 (3)

(2)

由式(2)和(3) ,得

θ f ''(a + θ1θ x) =
所以
lim θ = lim
x →0

f ''(a + θ 2 x) f ''(a ) 1 = = x → 0 2 f ''( a + θ θ x ) 2 f ''(a ) 2 1
x →+∞ x →+∞ x →+∞

例 3 若函数 f ( x) 在 R 上可导,极限 lim f ( x) 与 lim f '( x) 都存在,则 lim f '( x) =0。[4] 证明 1:应用拉格朗日中值定理,设 lim f ( x) = A ,则 lim f ( x + 1) = A ,有 :
x →+∞ x →+∞

f ( x + 1) ? f ( x) = f '(ε ) , x < ε < x + 1

已知极限 lim f '( x) 存在
x →+∞


x →+∞

lim f '( x) = lim f '(ε ) = lim [ f ( x + 1) ? f ( x)]
x →+∞ x →+∞

= lim f ( x + 1) ? lim f ( x) = 0
x →+∞ x →+∞


x →+∞

lim f '( x) = 0

证明 2:用反证法 : 假设 lim f '( x) ≠ 0 , 不妨设 lim f '( x) = l > 0 , 根据极限的保号性, A > 0 , x > A , ? ? 有
x →+∞ x →+∞



f '( x) ? l ︱ <

1 1 或 f '( x) > ,由拉格朗日中值定理有 2 2 f ( x) ? f ( A) 1 1 = f '(ε ) > , ε ∈ ( A, x) 或 f ( x) > f ( A) > ( x ? A) x?A 2 2
x →+∞

显然,当 x → +∞ 时, lim f ( x) 不存在,矛盾
6

3.2 证明不等式 (一) 含绝对值的不等式的证明 例 1 证明︱ arctan a ? arctan b ︱≤︱ a ? b ︱. 证明:设 f ( x) = arctan x, x ∈ [a, b] .则 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导。 证明 由拉格朗日中值定理可知,

arctan b ? arctan a =
取绝对值

b?a 1+ ε 2

, ε ∈ (a, b)

︱ arctan a ? arctan b ︱=︱ a ? b ︱︱ 因为 ︱ 所以
1 ︱≤1 1+ ε 2

1 ︱ 1+ ε 2

︱ arctan a ? arctan b ︱≤︱ a ? b ︱ 例 2 设函数 f ( x) 在 [?1,1] 上可微,且 f (0) = 0 ,︱ f '( x) ︱ < M .[3] 证明在 [?1,1] 上,︱ f ( x) ︱ < M ,其中 M 是大于零的常数. 证明:要证︱ f ( x) ︱ < M ,即要证 ? M < f ( x) < M . 证明 由︱ f '( x) ︱ < M 可知
? M < f '( x) < M , x ∈ [?1,1] .

若 x = 0 ,则 f (0) = 0 < M 。 若 ?1 ≤ x < 0 ,则由拉格朗日中值定理可知, f (0) ? f ( x) = ? xf '(ε1 ) 即 f ( x) = xf '(ε1 ) > xM ≥ ? M 整理得 ? M < f ( x) ,其中 ε1 ∈ ( x, 0) 若 0 < x ≤ 1 ,则由拉格朗日中值定理可知,
7

f ( x) < M ,其中 ε 2 ∈ (0, x)

终上所述:在[?1,1] 上,︱ f ( x) ︱ < M . 含绝对值的不等式分为两类:一类是在证明过程中对等式两边同时取绝对值,然后利用已知 条件中的不等关系,证明含绝对值的不等式成立;另一类是形如︱ F ( X ) ︱ < G ( x) 的不等式, 证明这类不等式,即证明形如 ?G ( x) < F ( x) < G ( x) 的双边不等式。 (二)双边不等式的证明
n ?1 n n n ?1 例 设 a > b > 0, n > 1 ,证明 nb ( a ? b) < ( a ? b ) < na (a ? b ) 。[5]

证明:设函数 f ( x) = x n , x ∈ [b, a ] ,则 f ( x) 在[b, a ] 上连续,在 (b, a ) 内可导。 证明 由拉格朗日中值定理可知,存在 ε ∈ (b, a ) , 使得
f (a ) ? f (b) = f '(ε )(a ? b)


a n ? b n = nε n ?1 (a ? b)

(*)

因为 0 < b < ε < a ,且 n > 1 , 所以
b n ?1 < ε n ?1 < a n ?1

于是有

nb n ?1 (a ? b) < nε n ?1 (a ? b) < na n ?1 (a ? b)
将(*)式代入得

nb n ?1 ( a ? b) < ( a n ? b n ) < na n ?1 (a ? b)
在证这类题目时,大多数都要应用到单数的单调性。 (三)灵活构造 a , b 的值 例 1 试证不等式
b?a b a?b < ln < , (0 < a < b < 3) . b a a

证明 1: 令 :

f ( x) = ln x, ( x > 0) ,则 f '( x) = ,由拉格朗日中值定理得

1 x

8

ln
因为

b 1 = ln n ? ln a = (b ? a ), a < ε < b . a ε

1 1 1 < < b ε a
所以

1 b 1 (b ? a ) < ln < (b ? a ) b a a


b?a b b?a < ln < b a a
证明 2 :仍设 日中值定理,得

f ( x) = ln x, ( x > 0) 。则 f '( x ) =

1 b 。在 [1 . ] 内对 f (x) 应用拉格朗 x a

ln
a 1 < <1得 b ε

b b 1?b ? b = ln ? ln1 = ? ? 1 ? ,1 < ε < a a a ε ?a ?

再由

b?a a?b ? b b a?b = ? ? 1? < ln < ? 1 = b b?a ? a a a
π π 。 例 2 证明 当 x ∈ ? ? , ? 时,︱ x ︱ ≤ ︱ tan x ︱(等号只有在 x=0 时成立) ? ?
? 2 2?

证明:令 y = tan( x ) ,则 证明

y ' = sec 2 x =

1 cos 2 x

? π? 在 ? 0, ? 区间上,由拉格朗日中值定理,存 ε ∈ (0, x) 在,使 ? 2?

tan x ? tan 0 = sec 2 ε ( x ? 0)
整理有

tan x = x sec 2 ε
9

︱ tan x ︱=︱

x ︱︱ sec

2

ε ︱=︱ x ︱︱

1 ︱ cos 2 ε

又因为 ︱ 所以有 ︱ tan x ︱ ≥ ︱ 同理可证在区间 ? ? π , 0 ? 上原式成立。 ? ? 2
? ?

1 ︱≥1 cos 2 ε

x ︱当 x = 0 时等号成立。

3.3

证明恒等式 由拉格朗日中值定理知,函数在定义域内取两点 x1 , x2 , (不妨设 x1

< x2 )有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f '(ε )( x2 ? x1 )
那么若 f '( x) 恒为 0, 则有 f '(ε ) = 0 , 所以 f ( x2 ) = f ( x1 ) , x1 , x2 的任意性可知,f ( x ) 由 在定义域内函数值恒等。既有下面一个推论: 推论:如果函数 f ( x) 在区间内的倒数恒为零,那么在 I 内是一个常数,利用这个推论 可以证明一类反三角恒等式的题目。[6] 例 1 证明 arct gx ? arccos 证明:令 证明

1 2

2x π = ( x ≥ 1) 恒等。 2 1+ x 4

1 2x π Φ( x) = arct gx ? arccos = ( x ≥ 1) 2 1 + x2 4
在 (x

≥ 1) 时 arccos

2x 有意义,且 1 + x2
Φ '( x) =
1 1 + 2 1+ x 2 1 1(1 + x 2 ) ? 2 x 2 x (1 + x 2 ) 2 2x 2 1? ( ) 1 + x2

=
在x

1 1 + x 2 2(1 ? x 2 ) =0 1 + x 2 x 2 ? 1 (1 + x 2 )2
3 ,有

> 1 时, Φ ( x) = c (常数) 。又取 (1, +∞ ) 内任一点,如

10

Φ ( 3) =


π
3

?

1π π = 26 4

Φ (1) =
所以端点值也成立,有推论有

π
4

?0 =

π
4

1 2x π arct gx ? arccos = ( x ≥ 1) 2 1 + x2 4
恒等。 3.4 证明等式 用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项, 证明的目标在于凑出形式 类似于拉格朗日中值定理的式子,寻找机会应用。 例 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续,在 ( a , b) 内可导,且

f ( a ) = f (b) = 1 ,试求

?ε ,η ∈ ( a, b) ,使得 eε ?η f (η ) + f '(η︱=1 .[7] ︱ )
证明:令 F ( x ) = e 证明
x

f ( x ) ,则 F ( x) 在 [a, b] 上满足拉格朗日中值定理条件,故存在

η ∈ ( a, b) ,使得
eb f (b) ? ea f ( a) η = e︱f (η ) + f '(η︱ ) b?a
由条件

f ( a ) = f (b ) = 1 ,可得
eb ? e a = eη f (η ) + f '(η︱ ︱ ) b?a

再令 Φ ( x ) = e ,则 Φ ( x ) 在 [ a , b] 上满足拉格朗日中值定理条件,故存在 ε ∈ ( a , b ) ,使
x


eb ? e a = eε b?a

综合上述两式可得

) eε = eη f (η ) + f '(η︱ e ︱f (η ) + f '(η︱=1 ︱ )即
3.5 研究函数在区间上的性质 因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系,很多时候我们可以借助其导数,
11

ε ?η

研究导数的性质,从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如研究函数在区间上的 符号、单调性、一致连续性,凸性等等,都可能用到拉氏中值定理的结论。通过对函数局部 性质的研究把握整体性质,这是数学研究中一种重要的方法.[8] (一) 证明函数一致连续性 例 证明:若函数 f ( x ) 于有穷或无穷的区间 ( a, b) 内有有界的导函数

f '( x ) ,则 f ( x) 于

( a, b) 中一致连续。
证明:设当 x ∈ ( a , b ) 时,︳ 证明 点的区间上由拉氏中值定理,有

f '( x ) ︳ ≤ M ,对于 ?x1 , x2 ∈ ( a, b) ,在以 x1 , x2 为端

f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f '(ε ), x2 ? x1
那么有︳ f '( x ) ︳ ≤ M ,对于 ?ε

ε 在x ,x
1

2

之间

> 0 ,取 δ =

ε
M

,则当 x1 , x2 ∈ ( a, b) 时,且︱ x1 ? x2 ︱

< δ ,就有
︱ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ︱ = ︱ x1 ? x2 ︱︱ f '(ε ) ︱ ≤ M ( x1 ? x2 ) < ε ( 由一致连续定义可知, f ( x ) 在 ( a, b) 内一致连续。 (二)证明函数的单调性
x 例 证明 f ( x) = (1 + ) 在 (0, +∞ ) 内单调增加。

ε 在 x1 , x2 之间)

1 x

证明:因 证明

1 1 f '( x ) = (1 + ) x [ln(1 + x) ? ln x ? ] x 1+ x
又 [ln x ] 在 [0,1] 上满足拉格朗日中值定理的条件 故

ln(1 + x) ? ln x =
从而有

1 ,0 <θ <1 θx

1 1 1 1 1 + (1 ? θ ) x ) = (1 + ) x >0 f '( x) = (1 + ) x ( ? x θ x 1+ x x θ x(1 + x)
12

所以, f ( x ) 在时单调增加。 (三)证明函数的有界性 例 设在 ( a , b) 内 f ( x ) 可导且 f '( x ) 有界,试证 f ( x ) 在 ( a, b) 有界 证明:任取 x0 ∈ ( a, b) ,有拉格朗日中值定理知 证明

f ( x ) = f ( x0 ) + g '(ε )( x ? x0 ) ( ε 在 x, x0 之间)
可得

)+ ︱f ( x︱≤︱f ( x0 ︱ f ' (ε ) ︱ x ? x︱≤︱f ( x0 ︱ M (b ? a ) ) ︱ ) +| 0
式中 M 是 f '( x ) 在 ( a , b) 内的界,有 ︱ f ( x) ︱ ≤ M 即 f ( x ) 在 ( a, b) 内有界 3.6 估值问题 估值问题. 证明估值问题,一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二阶及二阶以上的导函 数估值时。但对于某些积分估值,可以采用拉氏中值定理来证明。 例 设 f '( x ) 在 [ a, b] 上连续,且

f ( a ) = f (b) = 0 ,试证
4 b?a

a ∫ b ︱ f '( x) ︱ dx ≥

︱f ( x︱[9] ).

证明:若 f ( x ) = 0 ,不等式显然成立 证明 若 f ( x ) 不恒等于零,?c ∈ ( a , b) 使 中值定理,有 f '(ε1 ) =

︱f ( x︱= f (c ) ,在 (a, c ) 及 [a, c] 上分别用拉氏 )

f (c ) f (c ) , f '(ε 2 ) = , 从而 c?a c ?b
a

) ︱ ∫ ︱ ∫ ︱f ''( x︱dx ≥ ∫ ︱f ''( x)dx ≥︱ f ''( x)dx
b

ε1

ε1

ε2

ε2

= f '(ε 2) ? f '(ε 1) = f (c)(b ? a ) ︱ ︱︱
再利用

1 ︱ (b ? c)(a ? c)

(b ? a )2 (c ? a )(b ? c) = 4
13

即得所证。 3.7 判定级数的收敛性

S 例1 若一正项级数 ∑ an ( an > 0) 发散, n = a1 + a2 + ??? + an , 证明级数
n =1



∑S
n =1



an 1+δ n

(δ > 0) 收

敛。 证明:作辅助函数 f ( x ) = 证明 中值定理,得

1 1 f '( x ) = ? 1+δ ,当 n ≥ 2 时,在 sn ?1 , s︱ ︱ n 上用拉氏 δ ,则 x x

f ( sn ) ? f ( sn ?1 ) = f '(ε n )( sn ?1 < ε n < sn ) sn ? sn ?1
于是

sn1+δ


an

<

ε n1+δ
1

an

=

1

δ sn ?1δ
1
δ

(

1

?

1 ) sn δ


n=2



δ sn ?1

(

?

1 ) sn δ

收敛,既得所证。 例2 证明调和级数 1 +

1 1 1 + + ??? + 的发散性。 2 3 n

证明:设 f ( x ) = ln x, f ( x ) 在 [ N , N + 1] 上连续,在 ( N , N + 1) 内可导,由拉格朗日中 证明 值定理在内至少存在一点 ε ,使

ln( N + 1) ? ln N =

1

ε

<

1 N
1 , 当 N = 3 时,有 2

于是当 N = 1 时,有 ln 2 ? ln < 1, 当 N = 2 时,有 ln 3 ? ln 2 <

1 ln 4 ? ln 3 < , 依此类推,当 N = n 时,有 3

ln(n + 1) ? ln <
所以
14

1 n

ln( n + 1) <

1 1 1 + + ??? + 2 3 n

而右端之和恰好是调和级数


n =1



的前n项和

1 1 1 sn = 1 + + + ??? + 2 3 n
因为 lim sn = +∞ 故,调和级数是发散的。
n →∞

3.8 证明方程根的存在性 且 有 例 1 设 F ( x ) 在 [0,1] 上可导, 0 < f ( x ) < 1, 对于 (0,1) 内的所有点 x , f ( x ) ≠ ?1, 证明方程 f ( x ) + x ? 1 = 0 在 (0,1) 内有唯一实根。[10] 证明:存在性:令 F ( x ) = f ( x ) + x ? 1, 则 F ( x ) 在 [0,1] 上可导,又 证明

F (0) = f (0) + 0 ? 1 < 0, F (1) F = (1)+1-1>0 因 0 < f ( x ) < 1 故由介值定理得 F ( x ) 在
(0,1) 内至少有一个零点,即方程 f ( x ) + x ? 1 = 0 在(0,1)内至少有一实根。
唯 一 性 : 设 方 程 f ( x ) + x ? 1 = 0 在 (0,1) 内 有 两 个 实 根 , x1 , x2 , 不 妨 设

0 < x1 < x2 < 1, 则有 f ( x1 ) = 1 ? x1 , f ( x2 ) = 1 ? x2 . 因 f ( x ) 在 [ x1 , x2 ] 上满足拉格朗日中值
定理,所以至少存在一点 ε ∈ ( x1 , x2 ), 使

f '(ε ) =

f ( x2 ) ? f ( x1 ) (1 ? x2 ) ? (1 ? x1 ) = = ?1 x2 ? x1 x2 ? x1

即在 (0,1) 内是少存在一点 ε ,使得 f '(ε ) = ?1, 这与题设 f '(ε ) ≠ ?1 矛盾。所以假设不成立,即 方程 f ( x ) + x ? 1 = 0 在 (0,1) 内有唯一实根。 例2 设 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 内二阶可导, f ''( x ) > 0, 且
x →?∞

lim f '( x ) = α > 0, lim f '( x ) = β > 0, 又存在 x0 ,使 f ( x0 ) < 0, 试证:方程 f ( x) = 0 在
x →+∞

(?∞, +∞) 内有且仅有两个根。

证明:存在性,由 lim f '( x) = α > 0, 可知,对于 ε = 证明
x →∞

α
2

, 存在 M > 0, 使得 x > M 时

︱f '( x) ? α < ︱

α
2

,即

α

3 < f '( x) < α 2 2

15

可知 f ( x) 在 (0, +∞) 内单调增加。任取 x ∈ [ M , +∞], f ( x) 在 [ M , x] 上连续,在 ( M , x) 内可导, 由拉格朗日中值定理知,存在 ε ∈ ( M , x) ,使得
f ( x) > f ( M ) +

α
2

( x ? M ) > 0.

又存在 x0 ,使 f ( x0 ) < 0, 所以,由介值定理,存在 ε ∈ ( x, x0 ), 使 f (ε ) = 0 同理可证,当时,存在 ε ∈ ( x, x0 ), 使 f (ε ) = 0 唯一性:(反证法)假若 f ( x) = 0 有三个实根 ε 1 , ε 2 , ε 3 (ε1 < ε 2 , ε 3 ), 由罗尔定理,存在

η1 ∈ (ε1 , ε 3 ),η2 ∈ (ε1 , ε 2 ), 使得
f ' (η1 ) = f ' (η 2 ) = 0
再由罗尔定理, 存在 η ∈ (η1 ,η2 ), 使 f ''(η ) = 0. 与题设 f ''(η ) > 0. 矛盾, f ( x) = 0 在 (?∞, + )∞ 内 故 有且仅有两个根。 3.9 误用拉格朗日中值定理[11]

误区一: 误区一:若函数 f ( x) 在 [a, b] 可导则对区间 (a, b) 内任一点 ε 定能找到确定的两点

x1 , x2 ∈ [ a, b], 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f '(ε )( x2 ? x1 )
成立 以上命题与拉格朗日中值定理几乎相同, 似乎应该成立, 其实不然错误原因在于对 ε 与 x1 , x2 的关系未搞清,定理是现有 x1 , x2 后有 ε 现在是现有 ε 后找 x1 , x2 则不一定存在。譬如

f ( x ) = x 3 , 该函数在: [ ?1,1] 上连续,在(-1,1)内可导,满足拉格朗日中值定理条件,取
3 2 ε = 0 ∈ (?1,1), 由 f '( x ) = 3 x . 得 f '(ε ) = 0.



f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f '(ε )( x2 ? x1 ) = 0
但 f ( x ) = x 严重单调,所以找不到 x1 , x2 所要求的.以上命题错误。
3

误区二: 误区二 用拉格朗日中值定理,可推得 lim cos x→0

1 = 0, 说明该定理有错。 x

16

证明:设 f ( x ) = { 证明

x 2 sin

1 = 0( x ≠ 0) 2 则 f ( x ) 在 [0, x ] 上连续,在 (0, x ) 内可导,故存在 0( x = 0)

ε ∈ (0, x ) ,使
f ( x ) ? f (0) = f '(ε )( x ? 0)
成立,即 x sin

1 1 1 1 1 1 1 = 2ε sin ? cos , 即 cos = 2ε sin ? x sin ? sin , 当 x → 0 时, ε ε ε x ε ε x

1 1 1 ε → 0 ,得出 cos → 0 ,从而 lim cos = 0, 而事实上 lim cos 不存在,说明拉格朗日中值定 x →0 x →0 ε ε ε 理出错。

是真理真的有错吗?否。事实上以上证明得出 lim cos
x →0

1

ε

→ 0, 是正确的。问题在于不能因此得

出 lim cos
x →0

1 = 0, 因为当 x 连续的趋近于0时,ε 并不连续趋于0.它仅是 cos 的一个子列,而子 ε x

1

列极限存在并不等于原极限存在。

4 结束语
本文从高等数学中常用的几个方面概述了拉格朗日中值定理的应用, 最后又总结了误用 拉格朗日中值定理的两种情况,以便读者更好的理解拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理 的应用是一个庞大的研究课题,加上我自身理论、能力方面的欠缺,所以本文中还有很多不 足和无法涉及的内容。本文对拉格朗日中值定理的应用的相关论述,不可避免的存在诸多漏 洞与不足,恳请读者予以批评。

参考文献: 参考文献:
[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版) (上册)[M].北京:高等教育出版社,2001,119-121. [2] 华东师范大学.数学分析习题解析[M].陕西:陕西师范大学出版社,2004,87-91. [3] 钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003,61-83. [4] G.A.Beauchamp.Curriculum Theory(2nd)[J].Peacock Press,1986,6-6. [5] LyDavid Kembet,Alicejoens,Alice ioke,Jan mckay,Kit Sinclair,Haxfison tse,Celia webb.Frances wongand Ella yeun, Determining the leve of eftive thinking from students witten journals using a coding scheme based On the work of Meizirow[J].Interntional jouranl of lifelong educatioru January-Fcbmary 1999,VoL.18,NO.1,18-33. [6] 刘坤林,谭泽光.大学数学概念、方法与技巧[M].北京:清华大学出版社,2006, 67-70. [7] 沈树民.微积分解题分析上[M].南京:江苏科学技术出版社,2008,140. [8] 余庆红.中值定理的应用探讨[D].西安航空技术高等专科学校学报,2007(25) :34-36. [9] G·波利砸,涂泓译.怎样解题——数学[M].上海:上海科技教育出版社,2002,6-6. [10] 周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用[J].高等数学研究,1999,2(3),30-32. [11] Pullman N.J, Positive definite matrices, Amer. Math Monthly[J]. Oxford University Press, Aug 2000, 259 – 264.
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在论文的准备和撰写过程中,我得到了李柱老师的悉心指导和热情帮助。李柱老师以他 严谨的治学态度,在无形当中影响着我。为我将来的学习和工作点亮了一盏指路明灯,在此 对他表示衷心的感谢和诚挚的敬意!大学四年我们专业的老师们,他们以严谨的治学态度以 及兢兢业业的敬业精神,对我产生了潜移默化的影响,在此对他们表示衷心的感谢! 感谢信阳师院数学学院的所有关心和帮助过我的老师和同学们,是他们给我提供了一个 良好的学习环境和氛围,是他们的关心、帮助和鼓励让我有了良好的精神状态,让我一步步健 康地成长起来!

李苹 2011 年 04 月于信阳师范学院数学学院

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