拉格朗日中值定理的应用

0 前言……………………………………………………………………………………………1 1 对拉格朗日中值定理的理解
……………………………………………………………1

1.1 承上启下的定理……………………………………………………………………………1 1.2 定理中的条件………………………………………………………………………………1 1.3 定理中的 ξ …………………………………………………………………………………2 1.4 定理的意义…………………………………………………………………………………2

2 拉格朗日中值定理的证明………………………………………………………………2 3 拉格朗日中值定理的应用………………………………………………………………3
3.1 求极限………………………………………………………………………………………3 3.2 证明不等式….………………………………………………………………………………5 3.3 证明恒等式…………………………………………………………………………………8 3.4 证明等式……………………………………………………………………………………9 3.5 研究函数在区间上的性质 ………………………………………………………………10 3.6 估值问题 …………………………………………………………………………………11 3.7 判定级数的收敛性 ………………………………………………………………………12 3.8 证明方程根的存在性 ……………………………………………………………………13 3.9 误用拉格朗日中值定理 …………………………………………………………………14

The Application of Lagrange's mean value theorem
Abstract： Lagrange's mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and The it also is communication function and its derivative bridge. There is no special explaination about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order to make the reader understand Lagrange's mean value theorem, this paper first analyzed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange's mean value theorem thoughts (structure method of auxiliary function), puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange's mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the aspects application of Lagrange's mean value theorem. It is quite important for understanding and mastering Lagrange's mean value theorem and also have a significant and profound significance for further study of mathematics. Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots ： of existence

0 前言
1

f (b) ? f ( a ) [1] 。 b?a

1 对拉格朗日中值定理的理解

f ( x) 单调增加； x ∈ (?∞, 0) 时， f '( x) < 0 ，f ( x) 单调减少； x = 0 时， f '( x) = 0 ，f (0) = ?3 当 当 可见， 函数的单调性的判定， 是否取得极值可以用它的导数符号来确定。 一般在某个区间上，
2

f (6) ? f (2) 在改点 x 处取得极值 （此亦为定理）又如例中， 。 如果 2 < x < 6 时， = 8 ， f '(4) = 8 ， 而 6?2 f (6) ? f (2) 从而有 = f '(4) ，即函数 f ( x) = x 2 ? 3 在某个闭区间端点的函数值之差同该区长度 6?2

3

s (t2 ) ? s (t1 ) s (t ) ? s (t1 ) 表示物体从时间到平均速度，那么 s '(τ ) = 2 (t1 < τ < t2 ) 表 t2 ? t1 t2 ? t1

2 拉格朗日中值定理的证明

f '(ξ ) = f (b) ? f (a ) b?a

[ f ( x) ? f (b) ? f (a ) x]'1ξ = 0 b?a f (b) ? f (a ) x b?a

φ ( x) = f ( x) ?

φ ( x) = f ( x) ?

f (b) ? f ( a ) x b?a

φ (a) = f (a) ? φ (b ) = f (b) ?

f (b ) ? f ( a ) b?a f (b) ? f ( a ) b?a
4

?a =

bf ( a ) ? af ( b ) b?a bf ( a ) ? af ( b ) b?a

?b =

∴φ (a ) = φ (b)

f '(ξ ) = f (b) ? f (a ) b?a

3 拉格朗日中值定理的应用

e x ? e sinx = lim eξ = 1 ξ → 0 x ? sin x ξ →0

e x ? e sinx f (b) ? f (a ) 一形式联想到拉格朗日中值定理的一般形式 ，从而构造 x ? sin x b?a

f (a + x) = f (a ) + xf '(a + θ x)

（0< θ <1）

(1)

5

f (a + x) = f (a ) + xf '(a ) + 1 2 x f ''(a + θ 2 x) 2 1 f ''(a + θ 2 x) 2 (3)

(2)

θ f ''(a + θ1θ x) =

lim θ = lim
x →0

f ''(a + θ 2 x) f ''(a ) 1 = = x → 0 2 f ''( a + θ θ x ) 2 f ''(a ) 2 1
x →+∞ x →+∞ x →+∞

x →+∞ x →+∞

f ( x + 1) ? f ( x) = f '(ε ) ， x < ε < x + 1

x →+∞

x →+∞

lim f '( x) = lim f '(ε ) = lim [ f ( x + 1) ? f ( x)]
x →+∞ x →+∞

= lim f ( x + 1) ? lim f ( x) = 0
x →+∞ x →+∞

x →+∞

lim f '( x) = 0

x →+∞ x →+∞

f '( x) ? l ︱ <

1 1 或 f '( x) > ，由拉格朗日中值定理有 2 2 f ( x) ? f ( A) 1 1 = f '(ε ) > , ε ∈ ( A, x) 或 f ( x) > f ( A) > ( x ? A) x?A 2 2
x →+∞

6

3.2 证明不等式 (一) 含绝对值的不等式的证明 例 1 证明︱ arctan a ? arctan b ︱≤︱ a ? b ︱. 证明：设 f ( x) = arctan x, x ∈ [a, b] .则 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导。 证明 由拉格朗日中值定理可知，

arctan b ? arctan a =

b?a 1+ ε 2

, ε ∈ (a, b)

︱ arctan a ? arctan b ︱=︱ a ? b ︱︱ 因为 ︱ 所以
1 ︱≤1 1+ ε 2

1 ︱ 1+ ε 2

︱ arctan a ? arctan b ︱≤︱ a ? b ︱ 例 2 设函数 f ( x) 在 [?1,1] 上可微，且 f (0) = 0 ，︱ f '( x) ︱ < M .[3] 证明在 [?1,1] 上，︱ f ( x) ︱ < M ,其中 M 是大于零的常数. 证明：要证︱ f ( x) ︱ < M ，即要证 ? M < f ( x) < M . 证明 由︱ f '( x) ︱ < M 可知
? M < f '( x) < M , x ∈ [?1,1] .

7

f ( x) < M ，其中 ε 2 ∈ (0, x)

n ?1 n n n ?1 例 设 a > b > 0, n > 1 ,证明 nb ( a ? b) < ( a ? b ) < na (a ? b ) 。[5]

f (a ) ? f (b) = f '(ε )(a ? b)

a n ? b n = nε n ?1 (a ? b)

（*）

b n ?1 < ε n ?1 < a n ?1

nb n ?1 (a ? b) < nε n ?1 (a ? b) < na n ?1 (a ? b)

nb n ?1 ( a ? b) < ( a n ? b n ) < na n ?1 (a ? b)

b?a b a?b < ln < , (0 < a < b < 3) . b a a

f ( x) = ln x, ( x > 0) ，则 f '( x) = ，由拉格朗日中值定理得

1 x

8

ln

b 1 = ln n ? ln a = (b ? a ), a < ε < b . a ε

1 1 1 < < b ε a

1 b 1 (b ? a ) < ln < (b ? a ) b a a

b?a b b?a < ln < b a a

f ( x) = ln x, ( x > 0) 。则 f '( x ) =

1 b 。在 [1 . ] 内对 f (x) 应用拉格朗 x a

ln
a 1 < <1得 b ε

b b 1?b ? b = ln ? ln1 = ? ? 1 ? ,1 < ε < a a a ε ?a ?

b?a a?b ? b b a?b = ? ? 1? < ln < ? 1 = b b?a ? a a a
π π 。 例 2 证明 当 x ∈ ? ? , ? 时，︱ x ︱ ≤ ︱ tan x ︱（等号只有在 x=0 时成立） ? ?
? 2 2?

y ' = sec 2 x =

1 cos 2 x

? π? 在 ? 0, ? 区间上，由拉格朗日中值定理，存 ε ∈ (0, x) 在，使 ? 2?

tan x ? tan 0 = sec 2 ε ( x ? 0)

tan x = x sec 2 ε
9

︱ tan x ︱=︱

x ︱︱ sec

2

ε ︱=︱ x ︱︱

1 ︱ cos 2 ε

? ?

1 ︱≥1 cos 2 ε

x ︱当 x = 0 时等号成立。

3.3

< x2 ）有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f '(ε )( x2 ? x1 )

1 2

2x π = ( x ≥ 1) 恒等。 2 1+ x 4

1 2x π Φ( x) = arct gx ? arccos = ( x ≥ 1) 2 1 + x2 4

≥ 1) 时 arccos

2x 有意义，且 1 + x2
Φ '( x) =
1 1 + 2 1+ x 2 1 1(1 + x 2 ) ? 2 x 2 x (1 + x 2 ) 2 2x 2 1? ( ) 1 + x2

=

1 1 + x 2 2(1 ? x 2 ) =0 1 + x 2 x 2 ? 1 (1 + x 2 )2
3 ，有

> 1 时， Φ ( x) = c （常数） 。又取 (1, +∞ ) 内任一点，如

10

Φ ( 3) =

π
3

?

1π π = 26 4

Φ (1) =

π
4

?0 =

π
4

1 2x π arct gx ? arccos = ( x ≥ 1) 2 1 + x2 4

f ( a ) = f (b) = 1 ，试求

?ε ,η ∈ ( a, b) ，使得 eε ?η f (η ) + f '(η︱=1 .[7] ︱ )

x

f ( x ) ，则 F ( x) 在 [a, b] 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在

η ∈ ( a, b) ，使得
eb f (b) ? ea f ( a) η = e︱f (η ) + f '(η︱ ) b?a

f ( a ) = f (b ) = 1 ，可得
eb ? e a = eη f (η ) + f '(η︱ ︱ ) b?a

x

eb ? e a = eε b?a

) eε = eη f (η ) + f '(η︱ e ︱f (η ) + f '(η︱=1 ︱ )即
3.5 研究函数在区间上的性质 因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助其导数，
11

ε ?η

f '( x ) ,则 f ( x) 于

( a, b) 中一致连续。

f '( x ) ︳ ≤ M ，对于 ?x1 , x2 ∈ ( a, b) ，在以 x1 , x2 为端

f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f '(ε ), x2 ? x1

ε 在x ,x
1

2

> 0 ，取 δ =

ε
M

，则当 x1 , x2 ∈ ( a, b) 时，且︱ x1 ? x2 ︱

< δ ，就有
︱ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ︱ = ︱ x1 ? x2 ︱︱ f '(ε ) ︱ ≤ M ( x1 ? x2 ) < ε （ 由一致连续定义可知， f ( x ) 在 ( a, b) 内一致连续。 （二）证明函数的单调性
x 例 证明 f ( x) = (1 + ) 在 (0, +∞ ) 内单调增加。

ε 在 x1 , x2 之间）

1 x

1 1 f '( x ) = (1 + ) x [ln(1 + x) ? ln x ? ] x 1+ x

ln(1 + x) ? ln x =

1 ,0 <θ <1 θx

1 1 1 1 1 + (1 ? θ ) x ) = (1 + ) x >0 f '( x) = (1 + ) x ( ? x θ x 1+ x x θ x(1 + x)
12

f ( x ) = f ( x0 ) + g '(ε )( x ? x0 ) （ ε 在 x, x0 之间）

)+ ︱f ( x︱≤︱f ( x0 ︱ f ' (ε ) ︱ x ? x︱≤︱f ( x0 ︱ M (b ? a ) ) ︱ ) +｜ 0

f ( a ) = f (b) = 0 ，试证
4 b?a

a ∫ b ︱ f '( x) ︱ dx ≥

︱f ( x︱[9] ).

︱f ( x︱= f (c ) ，在 (a, c ) 及 [a, c] 上分别用拉氏 )

f (c ) f (c ) , f '(ε 2 ) = , 从而 c?a c ?b
a

) ︱ ∫ ︱ ∫ ︱f ''( x︱dx ≥ ∫ ︱f ''( x)dx ≥︱ f ''( x)dx
b

ε1

ε1

ε2

ε2

= f '(ε 2) ? f '(ε 1) = f (c)(b ? a ) ︱ ︱︱

1 ︱ (b ? c)(a ? c)

(b ? a )2 (c ? a )(b ? c) = 4
13

S 例1 若一正项级数 ∑ an ( an > 0) 发散， n = a1 + a2 + ??? + an , 证明级数
n =1

∑S
n =1

an 1+δ n

(δ > 0) 收

1 1 f '( x ) = ? 1+δ ，当 n ≥ 2 时，在 sn ?1 , s︱ ︱ n 上用拉氏 δ ，则 x x

f ( sn ) ? f ( sn ?1 ) = f '(ε n )( sn ?1 < ε n < sn ) sn ? sn ?1

sn1+δ

an

<

ε n1+δ
1

an

=

1

δ sn ?1δ
1
δ

(

1

?

1 ) sn δ

n=2

δ sn ?1

(

?

1 ) sn δ

1 1 1 + + ??? + 的发散性。 2 3 n

ln( N + 1) ? ln N =

1

ε

<

1 N
1 , 当 N = 3 时，有 2

1 ln 4 ? ln 3 < , 依此类推，当 N = n 时，有 3

ln(n + 1) ? ln <

14

1 n

ln( n + 1) <

1 1 1 + + ??? + 2 3 n

n =1

1 1 1 sn = 1 + + + ??? + 2 3 n

n →∞

3.8 证明方程根的存在性 且 有 例 1 设 F ( x ) 在 [0,1] 上可导， 0 < f ( x ) < 1, 对于 (0,1) 内的所有点 x ， f ( x ) ≠ ?1, 证明方程 f ( x ) + x ? 1 = 0 在 (0,1) 内有唯一实根。[10] 证明：存在性：令 F ( x ) = f ( x ) + x ? 1, 则 F ( x ) 在 [0,1] 上可导，又 证明

F (0) = f (0) + 0 ? 1 < 0, F （1） F = （1）+1-1>0 因 0 < f ( x ) < 1 故由介值定理得 F ( x ) 在
(0,1) 内至少有一个零点，即方程 f ( x ) + x ? 1 = 0 在（0,1）内至少有一实根。

0 < x1 < x2 < 1, 则有 f ( x1 ) = 1 ? x1 , f ( x2 ) = 1 ? x2 . 因 f ( x ) 在 [ x1 , x2 ] 上满足拉格朗日中值

f '(ε ) =

f ( x2 ) ? f ( x1 ) (1 ? x2 ) ? (1 ? x1 ) = = ?1 x2 ? x1 x2 ? x1

x →?∞

lim f '( x ) = α > 0, lim f '( x ) = β > 0, 又存在 x0 ，使 f ( x0 ) < 0, 试证：方程 f ( x) = 0 在
x →+∞

(?∞, +∞) 内有且仅有两个根。

x →∞

α
2

, 存在 M > 0, 使得 x > M 时

︱f '( x) ? α < ︱

α
2

,即

α

3 < f '( x) < α 2 2

15

f ( x) > f ( M ) +

α
2

( x ? M ) > 0.

η1 ∈ (ε1 , ε 3 ),η2 ∈ (ε1 , ε 2 ), 使得
f ' (η1 ) = f ' (η 2 ) = 0

x1 , x2 ∈ [ a, b], 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f '(ε )( x2 ? x1 )

f ( x ) = x 3 , 该函数在： [ ?1,1] 上连续，在（-1,1）内可导，满足拉格朗日中值定理条件，取
3 2 ε = 0 ∈ (?1,1), 由 f '( x ) = 3 x . 得 f '(ε ) = 0.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f '(ε )( x2 ? x1 ) = 0

3

1 = 0, 说明该定理有错。 x

16

x 2 sin

1 = 0( x ≠ 0) 2 则 f ( x ) 在 [0, x ] 上连续，在 (0, x ) 内可导，故存在 0( x = 0)

ε ∈ (0, x ) ，使
f ( x ) ? f (0) = f '(ε )( x ? 0)

1 1 1 1 1 1 1 = 2ε sin ? cos , 即 cos = 2ε sin ? x sin ? sin , 当 x → 0 时， ε ε ε x ε ε x

1 1 1 ε → 0 ，得出 cos → 0 ，从而 lim cos = 0, 而事实上 lim cos 不存在，说明拉格朗日中值定 x →0 x →0 ε ε ε 理出错。

x →0

1

ε

→ 0, 是正确的。问题在于不能因此得

x →0

1 = 0, 因为当 x 连续的趋近于0时，ε 并不连续趋于0.它仅是 cos 的一个子列，而子 ε x

1

4 结束语

[1] 华东师范大学数学系．数学分析（第三版） （上册）[M]．北京：高等教育出版社，2001，119-121． [2] 华东师范大学.数学分析习题解析[M]．陕西：陕西师范大学出版社，2004，87-91． [3] 钱吉林.数学分析题解精粹[M]．武汉：崇文书局，2003，61-83． [4] G.A.Beauchamp．Curriculum Theory（2nd）[J]．Peacock Press，1986，6-6． [5] LyDavid Kembet，Alicejoens，Alice ioke，Jan mckay，Kit Sinclair，Haxfison tse，Celia webb．Frances wongand Ella yeun， Determining the leve of eftive thinking from students witten journals using a coding scheme based On the work of Meizirow[J]．Interntional jouranl of lifelong educatioru January-Fcbmary 1999,VoL．18,NO．1,18-33． [6] 刘坤林，谭泽光.大学数学概念、方法与技巧[M].北京：清华大学出版社,2006, 67-70． [7] 沈树民．微积分解题分析上[M].南京：江苏科学技术出版社，2008，140. [8] 余庆红.中值定理的应用探讨[D].西安航空技术高等专科学校学报，2007（25） ：34-36. [9] G·波利砸，涂泓译．怎样解题——数学[M]．上海：上海科技教育出版社，2002，6-6. [10] 周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用[J].高等数学研究，1999,2(3),30-32. [11] Pullman N.J, Positive definite matrices, Amer． Math Monthly[J]． Oxford University Press, Aug 2000, 259 – 264．
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