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最新上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷(四)[解析几何(四)]优秀名师资料

2004 年上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷(四) 解析几何(四) 姓名__________准考证号__________学校__________得分__________ 满分 120 分,填空题每题(10 分) ,解答题每题(20 分) 。时间 90 分钟。 一、填空题: 1.给定曲线族 2(2sinθ—cosθ+3)x2—(8 sinθ+ cosθ+1)y=0,该曲线族在直线 y=2x 上所 截得弦长的最大值为____________。 2.在 xyz-空间中,有一个平面多边形,它在 xy-平面的正射影的面积为 13,在 yz-平面 的正射影的面积为 6,在 zx-平面的正射影的面积为 18 时,求这个平面多边形的面积 ____________________。 3. 点 (0, 0) , (a, 11) 和 (b, 37) 是一个等边三角形的顶点. 则 a· b 的值为____________。 4.若 x、y 为整数,则称坐标平面上的点(x,y)为格点.则直线 y= x+ 的最小值为____________________。 与格点距离 5.三角形的三个顶点的坐标为 P(-8,5) ,Q(-15,-19) ,R(1,-7) .∠P 的平分线 方程可以写成为 ax+by+c=0.则 a+c =_________________。 6.已知 P 点在圆 x2+(y-4)2=1 上移动,Q 点在椭圆 x2+9y2=9 上移动,则|PQ | 的最大 值为________________。 二、解答题: 7.在空间经过点 O 作 1979 条直线 l1,l2,…,l1979,它们中的任何两条不垂直.在 l1 上取 不同于 O 的任意一点 A1. 证明: 能在 l( 3, …, 1979) 上分别选择点 Ai, 满足 A1A3⊥l2, i i=2, A2A4⊥l3,…,Ai-1Ai+1⊥li,…,A1977A1979⊥l1978,A1978A1⊥l1979,A1979A2⊥l1. 8.已知圆 x2+y2=r2(r 为奇数) ,交 x 轴于 A(r,0) 、B(-r,0) ,交 y 轴于 C(0,-r) 、 D(0,r) .P(u,v)是圆周上的点,u=p m,v=qn(p、q 都是质数,m、n 都是自然数) , 且 u>v,点 P 在 x 轴和 y 轴上的射影分别是 M、N.求证:|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为 1、9、8、2. 9.已知抛物线 y2=4ax(0<a<1)的焦点为 F,以 A(a+4,0) 为圆心,|AF|为半径在 x 轴上方作圆交抛物线于不同的两点 M 和 N,设 P 为 MN 的中点. (1)求|MF|+|NF|的值; (2)是否存在这样的 a 值,使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列?如果存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由. 2004 年上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷(四) 解析几何(四)参考答案 1. 2.23 3.315 4. 5. 89 6. 7.见答案详解(在下面) 8.见答案详解(在下面) 9. (1)8; (2)见答案详解(在下面) 2004 年上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷(四) 解析几何(四)答案详解 1.显然曲线族与直线的一个交点是原点.另一交点横坐标是 从而(2x-8)sinθ-(x+1)cosθ=1-3x 由此得 即 x2+16x-16≤0 解得-8≤x≤2 取最大值 8.此时|y|=16.故所求弦的长度最大值是 2.设这多边形的面积为 S,它与坐标平面的夹角分别为 α、β、γ,则 Scosα=13, Scosβ=6, Scosγ=18 平方再相加得 S2=S2(cos2α+cos2β+cos2γ)=132+62+182 所以 3.如图,设这等边三角形的顶点为 O、A、B,OA=r,OA 与 x 轴的夹角为 θ.不妨设 a≥0 (否则将△ OAB 关于 y 轴作轴对称,ab 的值不变),即 θ 不超过 90° .由已知 所以由(1),(3) ab=rcosθ·rcos(θ+60° ) 4.直线方程可变形为 它与格点(x,y)的距离为 5.设∠P 的平分线交 QR 于 D,则 即 11x+2y+78=0 a+c=11+78=89 6.如图,先让 Q 点在椭圆上固定,显然当 PQ 通过圆心 O1 时,|PQ|最大,因而欲求|PQ|的 最大值,即求|O1Q|的最大值. 设 Q 的坐标为(x,y),则|O1Q|2=x2+(y-4)2(1) x2=9(1-y2)(2) (2)代入(1)得|O1Q|2=-8y2-8y+25 7.过 A1 作 l2 的垂线交 l3 于点 A3,过 A3 作 l4 的垂线 l5 于 A5,…,过 A1977 作 l1978 的垂线交 l1979 于 A1979,过 A1979 作 l1 的垂线交 l2 于 A2,过 A2 作 l3 的垂线交 l4 于 A4,…,过 A1976 作 l1977 的垂线交 l1978 于 A1978.由于 l1,l2,…,l1979 两两不垂直,故上述交点总是存在的.题 得证. 8.因为 r 为奇数,u2+v2=r2,所以 u、v 一奇一偶. (1)设 u 为偶数,由已知 u=2m.又 (r+u)(r-u)=v2=q2n(q 为奇质数) 所以 r+u=qα,r-u=qβ (其中 α+β=2n,α>β) 2u=qβ(qα β-1) - + 即 qβ 是 2u 的因数. + 所以 β=0,r=u+qβ=2m+1,q2n=qα=r+u=2m 1+1,(qn+1)(qn-1)=2m 1. 从而 q=3,n=1,v=qn=3. 因为 2m 1=(qn+1)(qn-1)=(3+1)· 2,故 m=2, u=2m=4,r=2m+1=5. + 由此得,|AM|=1,|BM|=9,|CN|=8,|DN|=2. (2)设 v 为偶数,同理

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