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河北省唐山一中2016-2017学年高二上学期12月月考理科数学试题Word版含答案.doc

唐山一中高二年级 2016 年 12 月份考试 数学试卷(理)
说明:1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。 2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。 3.Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号,答题卡占后5位。 卷Ⅰ(选择题 共 60 分) 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分) 1.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(﹣1,0,2) ,且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是( A.1 B. )

1 5

C.

3 5

D.

7 5

2.设函数 f(x)=

e 为自然底数) ,则使 f(x)<1 成立的一个充分不必要条件是

A.0<x<1 B.0<x<4 C.0<x<3 D.3<x<4 3.设直线 m、n 和平面α 、β ,下列四个命题中,正确的是 A. 若 m//α ,n//α ,则 m//n ( )

B. 若 mα ,nα ,m//β ,n//β ,则α //β D. 若α ⊥β ,m⊥β ,m ? α ,则 m//α

C. 若α ⊥β ,m ? α ,则 m⊥β ? ?

4.若直线 2ax+by-2=0(a,b∈R+)平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0,则 a+b 的最小值是 A.1 B.5 C.4 2 D.3+2 2 ( )

5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

A.

?

B .

?

C.

?

D .?

6. 如图, 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平 面互相垂直,且 AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别 是线段 AE,BC 的中点,则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为( A. )

3 6 3 3

B.-

3 ? 6 3 3

C.

D.?-

7. 已知 F1、 F2 是椭圆 ?|PF2|= A.b2 ( ) B.2b2

=1(a>b>0)的两个焦点, 若椭圆上存在点 P 使

=0, 则|PF1|

C.2b

D.b

8.如图,在平行六面体 A1B1C1D1-ABCD 中,底面是边长为 1 的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且 A1A=3,则 A1C 的长为 ( ) A. 5 9.下列四个结论: ①若 x>0,则 x>sinx 恒成立; ②命题“若 x-sinx=0,则 x=0”的逆命题为“若 x≠0,则 x-sinx≠0”; ③“命题 p q 为真”是“命题 p q 为真”的充分不必要条件; ④命题“ x R,x-lnx>0”的否定是“ x0 R,x0-lnx0≤0”. 其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 ( C.3 个 ) D.4 个 B.2 2 C. 14 D. 17

10.如图,已知双曲线



左右焦点分别为 F1、F2,|F1F2|=4,P 是双曲线右支上一点, 直线 PF2 交 y 轴于点 A,△APF1 的内切圆切边 PF1 于点 Q, 若|PQ|=1,则双曲线的渐近线方程为 A.y=± ( ) ?? D .y=± 3 x? ?

B.y=±3x C.y=±

11.已知球的直径 SC=2,A,B 是该球球面上的两点,AB=1,∠ASC=∠BSC=30°,则棱 锥 S﹣ABC 的体积为 A. ( ) C.

2 6

B.

3 6

2 3

D.

2 2

12.如图,在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E 是 A1A 的中点, P 为底面 ABCD 内一动点,设 PD1、PE 与底面 ABCD 所成 的角分别为φ 1,φ 2(φ 1,φ 2 均不为 0).若φ 1=φ 2, 则动点 P 的轨迹为哪种曲线的一部分. ( A.直线 B.圆 )

C.椭圆

D.抛物线 卷Ⅱ非选择题( 共 90 分)

二.填空题(共 4 小题,每题 5 分,计 20 分) 13.曲线 y=1+ 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点,则实数 k 的取值范围为___________.

14.已知三棱锥 D﹣ABC 中,AB=BC=1,AD=2,BD= 5 ,AC= 2 ,BC⊥AD,则三棱 锥的外接球的表面积为__________________. 15.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为抛物线上不同的三点,点 F 是△ABC 的重心, O 为坐标原点,△OFA、△OFB、△OFC 的面积分别为 S1、S2、S3 则 S12+S22+ S32=____________. 16.如图,正方体 A1B1C1D1-ABCD,则下列四个命题: ①P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A-PCD1 的体积不变; ②P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P﹣AD1﹣C 的大小不变; ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点的直线其中 真命题的个数是__________________个. 三.解答题(共 6 小题,17-21 题为必做题,22 题为普通班和实验班必做,23 题为英才班 必做) 17.(本小题满分 10 分) 命题 p :直线 y=kx+3 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点;命题 q:曲线 示焦点在 y 轴上的双曲线,若 p q 为真命题,求实数 k 的取值范围. 表

18.(本小题满分 12 分) 已知圆 上一定点 A(2,0) ,B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点.

(1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段 PQ 中点的轨迹方程.

19.(本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三角形 ABC 为正三角形,

侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=2,AA1=4,E 为 AA1 的中点,F 为 BC 的中点 (1)求证:直线 AF//平面 BEC1 (2)求 C 到平面 BEC1 的距离.

20.如图,在多面体 ABCDE 中,DB⊥平面 ABC,AE∥DB, 且△ABC 是边长为 2 的等边三角形,AE=1, CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为 .

(1)若 F 是线段 CD 的中点,证明:EF⊥面 DBC; (2)求二面角 D﹣EC﹣B 的平面角的余弦值.

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 O:x2+y2=4,点 A( 3 ,0),以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O,记点 B 的轨迹为 ? . (Ⅰ)求曲线 的方程; (Ⅱ)直线 AB 交圆 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 中点时,求直线 AB 的方程.

22. (普通班和实验班必做,本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:x2=4y,过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点(A 在第一象限). (Ⅰ)当 S△OFA=2S△OFB 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过点 A(2t,t 2)作抛物线 C 的切线 l1 与圆 距离为 d,求 的取值范围 =1 交于不同的两点 M,N,设 F 到 l 的

23.(英才班必做,本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

(a>b>0)的离心率为

,直线 y=x 被

椭圆 C 截得的线段长为 ( I)求椭圆 C 的方程.



(Ⅱ)直线 l 是圆 O:x2+y2=r2 的任意一条切线,l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,若以 AB 为直 径的圆恒过原点,求圆 O 的方程,并求出|AB|的取值范围.

一. 二. 三.

选择题:DADDD ABABD AB 填空题 13. ? 解答题

? 5 3? , ? 12 4 ? ?

14. 6?

15.3 16.(1)(3)(4)

17.解:∵命题 p:直线 y=kx+3 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点, ∴圆心到直线的距离 ∴ ∵命题 q:曲线 ﹣ ,(4 分) =1 表示焦在 y 轴上的双曲线, ,



,解得 k<0,(8 分)

∵p∧q 为真命题,∴p,q 均为真命题, ∴ 解得 k<﹣2 .(10 分) ,

18.解: (1)设 AP 中点为 M(x,y) , 由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x﹣2,2y)
2 2 2 2 ∵P 点在圆 x +y =4 上,∴(2x﹣2) +(2y) =4.

2 2 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x﹣1) +y =1.

(2)设 PQ 的中点为 N(x,y) , 在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|, 设 O 为坐标原点,则 ON⊥PQ,
2 2 2 2 2 所以|OP| =|ON| +|PN| =|ON| +|BN| , 2 2 2 2 所以 x +y +(x﹣1) +(y﹣1) =4. 2 2 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x +y ﹣x﹣y﹣1=0.

19.

//

//

//

//

20.解: (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OD. DB?面 ABD, ∵DB⊥平面 ABC, 根据直线和平面垂直的判定定理得, 面 ABD⊥平面 ABC. 取 AB 的中点 O,连结 OC,OD. ∵△ABC 是等边三角形,∴OC⊥AB, 根据平面和平面垂直的性质定理得则 OC⊥面 ABD, ∴OD 是 CD 在平面 ABDE 上的射影, ∴∠CDO 即是 CD 与平面 ABDE 所成角. ∴sin∠CDO= ∴CD=2 ,而 OC= ,

,∴BD=2.

取 ED 的中点为 M,以 O 为原点,OC 为 x 轴,OB 为 y 轴,OM 为 z 轴建立如图空间直角 坐标系,则 A(0,﹣1,0) , ,

取 BC 的中点为 G,则 G(

, ,0) ,则 AG⊥面 BCD,因为 ,

所以

,所以 EF⊥面 DBC.

(2)解:由上面知:BF⊥面 DEC, 又 ,

取平面 DEC 的一个法向量

设平面 BCE 的一个法向量

,则





所以

,令 x=1,则 y=

,z=2



由此得平面 BCE 的一个法向量





,所以二面角 D﹣EC﹣B 的平面角的余弦值





21. 其中,a=2, c ? 3 ,b=1,则 曲线 Γ 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

?5 分

2x ? y ? 6 ? 0 或 2x ? y ? 6 ? 0 .

?12 分

22.解:(1)

,

.

设 故 , .

,

,则

,

因此直线 l 的方程为

.

(2)因为 故切线

,因此 的方程为

, ,

化简得

,

则圆心



的距离为

,且

,故

.

则 则点 F 到 的距离 ,

,



,



,

.



,



. +
2 2 2 =1(a>b>0) ,a =b +c ,

23.解: (Ⅰ)椭圆方程


2 2 ∴a =2c , 2 2 ∴a =2b ,



设直线与椭圆交于 P,Q 两点.不妨设 P 点为直线和椭圆在第一象限的交点, 又∵弦长为 ∴ ∴
2 2 又 a =2b ,

, , ,

2 2 解得 a =8,b =4,∴椭圆方程为



(Ⅱ) (i)当切线 l 的斜率不存在时,设 x=r(或 x=﹣r) ,代入椭圆方程得:y=±

∴A(r,

) ,B(r,﹣

) ,

∵以 AB 为直径的圆恒过原点, ∴ ⊥ , =0,

2 ∴r ﹣

2 ∴r = ,

2 2 ∴圆 O 的方程为 x +y = ,

此时|AB|=2

=

(同理当 x=﹣r 时,上述结论仍然成立) ,

(ii)当切线 l 的斜率存在时,设 l 方程为:y=kx+m, ∵l 与圆 O 相切 ∴ =r,即 m2=(1+k2)r2,

2 2 2 将直线方程代入椭圆方程并整理得: (1+2k )x +4kmx+2m ﹣8=0,① 2 2 △=8k +4﹣m >0,②

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1,x2 是方程①的两个解,由韦达定理得: x1+x2=﹣ ,x1x2=
2 ,y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)

+m2=



∵以 AB 为直径的圆恒过原点, ∴ ⊥ ,

∴x1x2+y1y2=0, ∴ + =0,

2 2 2 2 ∴3m ﹣8﹣8k =0,3m =8(1+k ) , 2 2 2 又∵m =(1+k )r , 2 2 2 ∴3(1+k )r =8(1+k ) ,

2 ∴r = ,

2 2 此时 m = (1+k ) ,代入②式后成立,

2 2 ∴圆 O 的方程为 x +y = ,

此时|AB|=

?



=

?



=

?

?



=

?

?



=

?



=

?



=

?



(i)若 k=0,则|AB|=



(ii)若 k≠0,则|AB|=

?

∈(

,2

],

2 2 综上,圆 O 的方程为 x +y = ,|AB|的取值范围是[

,2

].


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