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【轻松突破120分】2014高考数学精炼15 理


2014 高考数学(理)轻松突破 120 分 15
【选题明细表】 知识点、方法 函数的定义域、值域 函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性 函数的图象 一、选择题 1.函数 y= 的定义域为( C ) 题号 1、7、11 2、3、5、6、9、10 4、8

(A)

(B)

,k∈Z

(C) (D)R

,k∈Z

解析:由题意得 cos x≥ ,

∴2kπ - ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 故选 C. 2.若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图象的一个对称中心为( C ) (A) (B)(0,0)

(C)

(D)

解析:f(x)=

sin

(a>0),

又函数的最小正周期为 1, 故 =1,

-1-

∴a=2π ,故 f(x)=

sin

.

将 x=- 代入得函数值为 0. 故选 C. 3.使函数 f(x)=sin(2x+φ )为 R 上的奇函数的φ 值可以是( C ) (A) (B) (C)π (D)

解析:要使函数 f(x)=sin(2x+φ )为 R 上的奇函数,需φ =kπ ,k∈Z.故选 C. 4.函数 f(x)=sin xcos (A)关于原点对称 (B)关于 y 轴对称 (C)关于点 对称 +sin sin 的图象( D )

(D)关于直线 x= 对称





:

















f(x)=sin

xcos

+cos

xsin

=sin

=sin

,f(0)=- ≠0,f(-x)=sin

≠f(x),故选项 A、 B 均错

误;f

=sin

=-1≠0,选项 C 错误;f

=sin =1,选项 D 正确,所以选 D.

5.已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)为偶函数(0<φ <π ),其图象与直线 y=2 某两个交点的横坐 标分别为 x1,x2,若|x2-x1|的最小值为π ,则该函数的一个递增区间可以是( A ) (A) (B)

(C)

(D)

解析:由函数为偶函数知φ = +kπ (k∈Z), 又因为 0<φ <π ,
-2-

所以φ = , 从而 y=2cos ω x. 由题意知函数的最小正周期为π , 故ω =2, 因此 y=2cos 2x, 经验证知选项 A 满足条件.故选 A. 6.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),x∈R,其中ω >0,-π <φ ≤π .若 f(x)的最小正周期为 6π ,且 当 x= 时,f(x)取得最大值,则( A ) (A)f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数 (B)f(x)在区间[-3π ,-π ]上是增函数 (C)f(x)在区间[3π ,5π ]上是减函数 (D)f(x)在区间[4π ,6π ]上是减函数 解析:∵f(x)的最小正周期为 6π , ∴ω = ,

∵当 x= 时,f(x)有最大值,

∴ × +φ = +2kπ (k∈Z),φ = +2kπ , ∵-π <φ ≤π , ∴φ = .

∴f(x)=2sin

,由函数 f(x)的图象(图略)易得,在区间[-2π ,0]上是增函数,而在区间

[-3π ,-π ]或[3π ,5π ]上均没单调性,在区间[4π ,6π ]上是增函数.故选 A. 二、填空题 7.函数 f(x)=sin x+ cos x 的值域是 .

解析:∵f(x)=sin x+

cos x

=2sin

,

-3-

又 x∈

,

∴x+ ∈

,

∴2sin 答案:[-1,2] 8.函数 y=tan

∈[-1,2].

的图象与 x 轴交点的坐标是

.

解析:由 2x+ =kπ (k∈Z)得,

x= - (k∈Z).

∴函数 y=tan

的图象与 x 轴交点的坐标是

.

答案:

9.已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )的图象如图所示,f

=- ,则 f(0)=

.

解析:法一

由题中图象可知所求函数的最小正周期为 ,故ω =3,从函数图象可以看出这个函

数图象关于点

中心对称 , 也就是函数 f(x) 满足 f

=-f

, 当 x=

时,得

f

=-f

=-f(0),由图象知 f

=- ,故得 f(0)= .

法二 根据题图,可得ω =3, 把 x= = 代入函数解析式,得 A=Acos ,取一个满足这个方程的最简单的φ ,令φ

-4-

=- ,

故函数的解析式是 f(x)=Acos

,

由f

=- ,可得 Acos

=- ,

由此得 A=

,

故函数的解析式是 f(x)=

cos

,

故 f(0)=

× = .

答案: 三、解答题 10.已知函数 f(x)=asin - cos x,且 f = .

(1)求实数 a 的值; (2)求函数 y=f(x)·cos x 的最小正周期和单调递增区间. 解:(1)因为 f(x)=asin - cos x,

且f

= ,

则有 a- = ,所以 a=1.

(2)由(1)知,f(x)=sin

- cos x= sin x,

所以 y=f(x)·cos x= sin xcos x= sin 2x, 其最小正周期 T=π .

-5-

由 2kπ - ≤2x≤2kπ + (k∈Z),

得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 故函数 y=f(x)·cos x 的单调递增区间为 (k∈Z).

11 已知函数 f(x)=

sin x+sin xcos x,x∈

2

.

(1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令 f(x)=0,得 sin x·( sin x+cos x)=0,

所以 sin x=0 或 tan x=- .

由 sin x=0,x∈

,得 x=π ;

由 tan x=- ,x∈

,得 x= .

综上,函数 f(x)的零点为 或π .

(2)f(x)= (1-cos 2x)+ sin 2x

=sin

+ .

因为 x∈

,所以 2x- ∈

.

所以当 2x- = ,

即 x= 时,f(x)的最大值为

;

-6-

当 2x- = ,

即 x= π 时,f(x)的最小值为

.

-7-


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