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南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试数学参考答案


南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1. {x|-2<x<1} π 8.- 12 13. 1 2 2.-2 11 3. 36 10.y=±2x 4. 9 11.3 5. 5 12. [2- 6. 19 2 2 ,2+ ] 2 2 7. 8 3

9. [-4,2] 1 14.a<0 或 a≥ e

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) π π π 3π 解: (1)因为 α∈(0, ) ,所以 α+ ∈( , ), 2 4 4 4 π 所以 sin(α+ )= 4 π 所以 tan(α+ )= 4 π 2 5 1-cos2(α+ )= ,……………………………………………………………3 分 4 5 π sin(α+ ) 4 =2.………………………………………………………………………6 分 π cos(α+ ) 4

π π π π 4 (2)因为 sin(2α+ )=sin[2(α+ )]=2 sin(α+ ) cos(α+ )= ,…………………………………9 分 2 4 4 4 5 π π π 3 cos(2α+ )=cos[2(α+ )]=2 cos2(α+ )-1=- ,………………………………………………12 分 2 4 4 5 π π π π π π π 4 3+3 所以 sin(2α+ )=sin[(2α+ )- ]=sin(2α+ )cos -cos(2α+ )sin = .………………14 分 3 2 6 2 6 2 6 10

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16.(本小题满分 14 分) 证: (1)因为 M,N 分别为 AB,PA 的中点, 所以 MN∥PB. …………………………………2 分
A N M P

因为 MN?平面 MNC,PB?平面 MNC, 所以 PB∥平面 MNC. ……………………………………4 分
C B

(2)因为 PA⊥PB,MN∥PB,所以 PA⊥MN. ……………6 分 因为 AC=BC,AM=BM,所以 CM⊥AB. ……………8 分

因为平面 PAB⊥平面 ABC,CM?平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB, 所以 CM⊥平面 PAB. …………………………………12 分

因为 PA?平面 PAB,所以 CM⊥PA. 因为 PA⊥MN,MN?平面 MNC,CM?平面 MNC,MN∩CM=M, 所以 PA⊥平面 MNC. ……………………………………………………………………14 分 17.(本小题满分 14 分) 解法一:如图,分别由两条道路所在直线建立直角坐标系 xOy. 设 A(a,0),B(0,b)(0<a<1,0<b<1), x y 则直线 AB 方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0. a b |b+a-ab| 因为 AB 与圆 C 相切,所以 =1.……………4 分 b2+a2 化简得 ab-2(a+b)+2=0,即 ab=2(a+b)-2. ……………6 分 因此 AB= = a +b =
2 2

y

道路2

C B O x

A

道路1

(a+b) -2ab=

2

(a+b) -4(a+b)+4

2

(a+b-2)2. ………………8 分

因为 0<a<1,0<b<1,所以 0<a+b<2, 于是 AB=2-(a+b). a+b 2 又 ab=2(a+b)-2≤( ), 2 解得 0<a+b≤4-2 2,或 a+b≥4+2 2. 因为 0<a+b<2,所以 0<a+b≤4-2 2,………………………………………12 分 所以 AB=2-(a+b) ≥2-(4-2 2)=2 2-2, 当且仅当 a=b=2- 2时取等号,
高三数学答案 第 2 页 共 10 页

所以 AB 最小值为 2 2-2,此时 a=b=2- 2. 答:当 A,B 两点离道路的交点都为 2- 2(百米)时,小道 AB 最短.……………14 分 解法二:如图,连接 CE,CA,CD,CB,CF. π π 设∠DCE=θ,θ∈(0, ),则∠DCF= -θ. 2 2 θ 在直角三角形 CDA 中,AD=tan .………………4 分 2 π θ 在直角三角形 CDB 中,BD=tan( - ),………6 分 4 2 θ π θ 所以 AB=AD+BD=tan +tan( - ) 2 4 2 θ =tan + 2 θ 1-tan 2 .………………………8 分 θ 1+tan 2
道路2

F B D A E

C

θ 令 t=tan ,0<t<1, 2 1-t 2 则 AB=f(t)=t+ ==t+1+ -2≥2 2-2, 1+t 1+t 当且仅当 t= 2-1 时取等号.………………………12 分 所以 AB 最小值为 2 2-2, 此时 A,B 两点离两条道路交点的距离是 1-( 2-1)=2- 2.

道路1

答:当 A,B 两点离道路的的交点都为 2- 2(百米)时,小道 AB 最短.……………14 分 18.(本小题满分 16 分) a → a → 解: (1)设 C (x0,y0),则 AB =(a, ), BC =(x0,y0- ). 3 3 a 3 a 3 3 a → 3→ 因为 AB = BC ,所以(a, )= (x0,y0- )=( x0, y0- ), 2 3 2 3 2 2 2

?x =3a, 得? 5 ?y =9a,
0 0

2

………………………………………………………2 分

9 代入椭圆方程得 a2= b2. 5 c 2 因为 a2-b2=c2,所以 e= = .………………………………………4 分 a 3 x2 y2 (2)①因为 c=2,所以 a2=9,b2=5,所以椭圆的方程为 + =1, 9 5 x02 y02 设 Q (x0,y0),则 + =1.……① 9 5 ………………………………………………6 分

x0-3 y0 因为点 P(-3,0),所以 PQ 中点为( , ), 2 2
高三数学答案 第 3 页 共 10 页

6 因为直线 l 过点(0,- ),直线 l 不与 y 轴重合,所以 x0≠3, 7 y0 6 + 2 7 y0 所以 · =-1, x0-3 x0+3 2 12 化简得 x02=9-y02- y0.……② 7 15 15 将②代入①化简得 y02- y0=0,解得 y0=0(舍),或 y0= . 7 7 15 6 6 15 将 y0= 代入①得 x0=± ,所以 Q 为(± , ), 7 7 7 7 5 9 所以 PQ 斜率为 1 或 ,直线 l 的斜率为-1 或- , 9 5 6 9 6 所以直线 l 的方程为 y=-x+ 或 y=- x+ .……………………………………………10 分 7 5 7 1 ②设 PQ:y=kx+m,则直线 l 的方程为:y=- x-1,所以 xD=-k. k 将直线 PQ 的方程代入椭圆的方程,消去 y 得(5+9k2)x2+18kmx+9m2-45=0.…………①, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),中点为 N, x1+x2 9km 5m xN= =- ,代入直线 PQ 的方程得 yN= ,……………………………………12 分 2 5+9k2 5+9k2 代入直线 l 的方程得 9k2=4m-5. ……② 又因为△=(18km)2-4(5+9k2) (9m2-45)>0, 化得 m2-9k2-5<0. 将②代入上式得 m2-4m<0,解得 0<m<4, 所以-

………………………………………………8 分

………………………………………………14 分

11 11 11 11 <k< ,且 k≠0,所以 xD=-k∈(- ,0)∪(0, ). 3 3 3 3 11 11 ,0)∪(0, ).………………………………16 分 3 3

综上所述,点 D 横坐标的取值范围为(- 19.(本小题满分 16 分)

(1)解:因为函数 f(x)=-2x+1 在区间[-1,1]为减函数, 所以 f(xi+1)<f(xi),所以|f(xi+1)-f(xi)|= f(xi)-f(xi+1).
n-1

S=∑|f(xi+1)-f(xi)|=[ f(x0)-f(x1)]+[ f(x1)-f(x2)]+…+[ f(xn-1)-f(xn)]
i=0

=f(x0)-f(xn)=f(-1)-f(1)=4. (2) 解:由 f′(x)= 1-x =0,得 x=1. ex

…………………………………………2 分

当 x<1 时,f′(x)>0,所以 f (x)在(-∞,1)为增函数;
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当 x>1 时,f′(x)<0,所以 f (x)在(1,+∞)为减函数; 1 所以 f (x)在 x=1 时取极大值 . e 设 xm≤1<xm+1,m∈N,m≤n-1,
n-1

…………………………………………4 分

则 S=∑|f(xi+1)-f(xi)|
i=0

=|f(x1)-f(0)|+…+|f(xm)-f(x m-1)|+|f(xm+1)-f(x m)|+|f(xm+2)-f(x m+1)|+…+|f(2)-f(x n-1)| =[f(x1)-f(0)]+…+[f(xm)-f(x m-1)]+|f(xm+1)-f(x m)|+[f(xm+1)-f(x m+2)]+…+[f(xn-1)-f(2)] =[f(xm)-f(0)]+|f(xm+1)-f(x m)|+[f(xm+1)-f(2)]. …………………………………………6 分

因为|f(xm+1)-f(x m)|≤[f(1)-f(xm)]+[f(1)-f(xm+1)],当 x m=1 时取等号, 所以 S≤f(xm)-f(0)+f(1)-f(xm)+f(1)-f(xm+1)+f(xm+1)-f(2) 2(e-1) =2 f(1)-f(0)-f(2)= . e2 2(e-1) 所以 S 的最大值为 . e2 k-x2 k (3)证明:f′(x)= -x= ,x∈[1,e]. x x ①当 k≥e2 时,k-x2≥0 恒成立,即 f′(x)≥0 恒成立,所以 f(x)在[1,e]上为增函数,
n-1

…………………………………………8 分

所以 S=∑|f(xi+1)-f(xi)|=[ f(x1)-f(x0)]+[ f(x2)-f(x1)]+…+[ f(x n)-f(xn-1)]
i=0

1 1 =f(x n)-f(x0)=f(e)-f(1)=k+ - e2. 2 2 1 1 因此,存在正数 A=k+ - e2,都有 S≤A,因此 f(x)在[1,e]上具有性质 V.…………………10 分 2 2 ②当 k≤1 时,k-x2≤0 恒成立,即 f′(x)≤0 恒成立,所以 f(x)在[1,e]上为减函数,
n-1

所以 S=∑|f(xi+1)-f(xi)|=[ f(x0)-f(x1)]+[ f(x1)-f(x2)]+…+[ f(xn-1)-f(xn)]
i=0

1 1 =f(x0)-f(xn)= f(1)-f(e)= e2-k- . 2 2 1 1 因此,存在正数 A= e2-k- ,都有 S≤A,因此 f(x)在[1,e]上具有性质 V.…………………12 分 2 2 ③当 1<k<e2 时,由 f′(x)=0,得 x= k;当 f′(x)>0,得 1≤x< k; 当 f′(x)<0,得 k<x≤e,因此 f(x)在[1, k)上为增函数,在( k,e]上为减函数. 设 xm≤ k<xm+1,m∈N,m≤n-1
n-1

则 S= ∑ |f(xi+1)-f(xi)|
i=1

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=|f(x1)-f(x0)|+…+|f(xm)-f(x m-1)|+ |f(xm+1)-f(x m)|+ |f(xm+2)-f(x m+1)|+…+|f(xn)-f(x n-1)| =f(x1)-f(x0)+…+f(xm)-f(x m-1) + |f(xm+1)-f(x m)|+ f(xm+1)-f(x m+2) +…+f(xn-1)-f(x n) =f(xm)-f(x0) + |f(xm+1)-f(x m)| + f(xm+1)-f(x n) ≤f(xm)-f(x0) + f(xm+1)-f(x n)+ f( k)-f(xm+1)+ f( k)-f(xm) 1 1 1 1 =2 f( k)-f(x0)-f(x n)=klnk-k-[- +k- e2]=klnk-2k+ + e2. 2 2 2 2 1 1 因此,存在正数 A=klnk-2k+ + e2,都有 S≤A,因此 f(x)在[1,e]上具有性质 V. 2 2 1 综上,对于给定的实数 k,函数 f(x)=klnx- x2 在区间[1,e]上具有性质 V.……………16 分 2

20.(本小题满分 16 分) p 解: (1)由 a1=-S1+p,得 a1= .………………………………………………………2 分 2 p 由 a2=S2+p2,得 a1=-p2,所以 =-p2. 2 1 又 p≠0,所以 p=- . 2 …………………………………………………………3 分
n

?a =(-1) S +(-2) , 1 (2)由 a =(-1) S +(- ) ,得? 1 2 ?a =-(-1) S +(-2)
n n n n n n n n+1 n n+1

1

……① , ……②

n+1

1 1 ①+②得 an+an+1=(-1)n(-an+1)+ ×(- )n. 2 2 1 1 当 n 为奇数时,an+an+1=an+1- ×( )n, 2 2 1 + 所以 an=-( )n 1. 2

…………………………………………5 分

………………………………………………………………7 分

1 1 当 n 为偶数时,an+an+1=-an+1+ ×( )n, 2 2 1 1 1 + 1 1 1 所以 an=-2an+1+ ×( )n=2×( )n 2+ ×( )n=( )n, 2 2 2 2 2 2

?-2 ,n为奇数, n∈N*, 所以 a =? 1 ? 2 , n为偶数,n∈N*.
n+1 n n

1

………………………………………………9 分

1 1 (3)An={- n, n},由于 b1≠c1,则 b1 与 c1 一正一负, 4 4 1 1 不妨设 b1>0,则 b1= ,c1=- . 4 4 1 2 3 n 则 Pn=b1+2b2+3b3+…+nbn≥ -( 2+ 3+…+ n).……………………………………………12 分 4 4 4 4
高三数学答案 第 6 页 共 10 页

n-1 n 2 3 n 1 2 设 S= 2+ 3+…+ n,则 S= 3+…+ n + n+1, 4 4 4 4 4 4 4 1 - 1-( )n 1 4 3 2 1 1 n 1 1 n 7 1 1 n 7 两式相减得 S= 2+ 3+…+ n- n+1= + × - n+1= - × n-1- n+1< . 4 4 4 4 4 16 16 1 48 12 4 48 4 4 1- 4 7 4 7 1 2 1 1 1 7 1 所以 S< × = ,所以 Pn≥ -( 2+ 3+…+ n)> - = >0.………………………14 分 48 3 36 4 4 4 4 4 36 18 1 1 7 1 因为 Qn= c1+2 c 2+3 c 3+…+n c n≤- +S<- + =- <0, 4 4 36 18 所以 Pn≠Qn. ………………………………………………………………16 分

高三数学答案 第 7 页 共 10 页

南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域 . ...... 内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连接 BD.因为 AB 为直径,所以 BD⊥AC. 因为 AB=BC,所以 AD=DC.……………………4 分 因为 DE?BC,AB?BC,所以 DE∥AB,…………6 分 所以 CE=EB.………………………………………8 分 因为 AB 是直径,AB?BC,所以 BC 是圆 O 的切线, 所以 BE2=EF?EA,即 BE?CE=EF?EA.…………………………………………………………10 分 B.选修 4—2:矩阵与变换 解: (1)由题意,得? D C E F O B

2016.03

A

? 3 a ? ?2? ?3? = ,得 6+3a=3,2b-6=4,……………………………4 分 ? ? b -2? ?3? ?4?

所以 a=-1,b=5.…………………………………………………………………………………6 分 (2)由(1),得 A=?

? 3 -1? ? 2 -1? ?.由矩阵的逆矩阵公式得 B=? ?.……………………8 分 ? 5 -2? ? 5 -3?
……………………………………………………………10 分

所以 B2=?

? -1 1? ?. ? -5 4?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 3 3 1 3 3 1 3 解: (1)由 ρsin( -θ)= ,得 ρ( cosθ- sinθ)= ,即 x- y= , 3 2 2 2 2 2 2 2 化简得 y= 3x- 3,所以直线 l 的直角坐标方程是 y= 3x- 3.………………………………2 分 x y x2 y2 由( )2+( )2=cos2t+sin2t=1,得椭圆 C 的普通方程为 + =1.……………………………4 分 2 4 3 3
高三数学答案 第 8 页 共 10 页

? ?y= 3x- 3, x2 (2)联立直线方程与椭圆方程,得? x2 y2 消去 y,得 +(x-1)2=1, 4 ? 4 + 3 =1, ?
8 化简得 5x2-8x=0,解得 x1=0,x2= , 5 8 3 所以 A(0,- 3),B( , 3), 5 5 则 AB= 8 3 16 (0- )2+(- 3- 3)2= . 5 5 5 ………………………………10 分 ………………………………8 分

D.选修 4—5:不等式选讲 解:当 x≤-2 时,不等式化为(2-x)+x(-x-2)>2, 解得-3<x≤-2; ………………………………………………3 分

当-2<x<2 时,不等式化为(2-x)+x(x+2)>2, 解得-2<x<-1 或 0<x<2; …………………………………………………6 分

当 x≥2 时,不等式化为(x-2)+x(x+2)>2, 解得 x≥2; ………………………………………………………9 分

所以原不等式的解集为{x|-3<x<-1 或 x>0}. ……………………………………………………10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 解: (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况: 甲进 1 球,乙进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率 11 12 1 2 1 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 3 2 1 3 P=C3 ( ) ( ) +C3 ( ) ( )C3 ( ) +C3 ( ) C3( ) = .……………………………………………4 分 33 2 3 3 2 3 2 36 (2)ξ 的取值为 0,1,2,3,所以 ξ 的概率分布列为 ξ P 0 7 24 1 11 24 2 5 24 3 1 24

………………………………………………………………………………………8 分 7 11 5 1 所以数学期望 E(ξ)=0× +1× +2× +3× =1.…………………………………………10 分 24 24 24 24 23. (本小题满分 10 分)
k 解: (1)因为 ak=(-1)k Cn , 6 7 8 9 10 11 当 n=11 时,|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|=C11 +C11 +C11 +C11 +C11 +C11

高三数学答案 第 9 页 共 10 页

1 0 1 10 11 = ( C11 +C11 +…+C11 +C11 )=210=1024.………………………………………………3 分 2 k+1 k+1 k+1 + + k (2)bk= ak+1=(-1)k 1 C =(-1)k 1 Cn ,……………………………………5 分 n-k n-k n
k 当 1≤k≤n-1 时,bk=(-1)k 1 Cn = (-1)k - -1 k k =(-1)k 1 Ck n-1-(-1) Cn-1. Sm b0 当 m=0 时,| |=1. m |=| 0 Cn- C 1 n-1
+ +1

k k-1 k 1 k-1 k (Cn- Cn-1+(-1)k 1 Cn- 1+Cn-1)=(-1) 1 ……………………………………7 分
+ +

……………………………………8 分

当 1≤m≤n-1 时, Sm=-1+ ∑[(-1)k
k=1 m
-1

-1 k k m m m m Ck n-1-(-1) Cn-1]=-1+1-(-1) Cn-1=-(-1) Cn-1,

所以|

Sm m |=1. Cn- 1 Sm m |=1. Cn- 1 ……………………………………10 分

综上,|

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