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【优化方案】2012-2013年高中数学 1.3.2函数的极值与导数课件 新人教A选修2-2_图文

第一章

导数及其应用

1.3.2

函数的极值与导数

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学习目标

重点难点 重点:求函数的极值. 难点:函数在某点取得极值的充要条件的理解.

新知初探?思维启动
1.极小值点与极小值 如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在 点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且 f′(x)<0 f′(x)>0 在点x=a附近的左侧_______,右侧_______,则

把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函
数y=f(x)的极小值.

2.极大值点与极大值 如图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0; f′(x)>0 f′(x)<0 而且在点x=b附近的左侧______,右侧______, 则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做 函数y=f(x)的极大值.

极大值点 极小值点 _________、_________统称为极值点, 极大值 极小值 _______ 和________统称为极值.

想一想 1.函数的极大值一定大于极小值吗?在区间 内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗? 提示:不一定;不一定唯一.

2.导数为0的点都是极值点吗? 提示:不一定.如f(x)=x3,由f′(x)=3x2知f′(0)= 0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.

做一做 已知导函数f′(x)的下列信息: 当-1<x<3时,f′(x)<0; 当x>3,或x<-1时,f′(x)>0; 当x=-1,或x=3时,f′(x)=0. 则f(x)的极大值点为__________,极小值点为

__________.
答案:x=-1 x=3

典题例证?技法归纳
题型探究
题型一 求已知函数的极值

例1 求下列函数的极值:
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5; ln x (2)f(x)= . x

【名师点评】

求函数极值的方法:

变式训练
8 1.求函数 y=2x+ 的极值. x

因此当x=-2时,y取得极大值-8; 当x=2时,y取得极小值8.

题型二

已知函数极值求参数的值

例2 已知 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=1 与 x
2 =- 时都取得极值. 3 (1)求 a,b 的值; 3 (2)若 f(-1)= ,求 f(x)的单调区间和极值. 2

【名师点评】

已知函数极值情况,逆向应用

确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意 两点: (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件 列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充

要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证
根的合理性.

题型三 例3

与函数极值有关的综合问题 (本题满分12分)已知a为实数,函数f(x)

=-x3+3x+a. (1)求函数f(x)的极值,并画出其图象(草图); (2)当a为何值时,方程f(x)=0恰好有两个实数 根?

【思路点拨】

函数f(x)的导数f′(x)——求极

值、画图象需运用导数求解.

【名师点评】

互动探究 2.本例条件不变,求当a在什么范围内取值时, 曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?

备选例题
2x 1.求函数 f(x)= 2 -2 的极值. x +1

2.当a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个 实根?两个不等实根?三个不等实根?有没 有可能无实根?

方法感悟 方法技巧 (1)极值是一个局部概念:极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或 最小.

(2)函数的极值不一定是唯一的,即一个函数在 某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个.

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即

一个函数的极大值未必大于极小值,如图所
示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).

失误防范

知能演练?轻松闯关

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