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高中数学必修4(北师版)第二章2.1(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修4(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量

一、知识清单
平面向量的概念与表示

二、知识讲解
1.平面向量的概念与表示 描述: 向量的基本概念 我们把既有方向,又有大小的量叫做向量(vector). 带有方向的线段叫做有向线段.我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为起点、

?→ ? B 为终点的有向线段记做AB ,起点写在终点的前面.

有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

向量可以用有向线段来表示.向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记做 |AB|

?→ ?

为 0 的向量叫做零向量(zero vector),记做 0 ??.零向量的方向不确定.长度等于 1 个单位的 向量,叫做单位向量(unit vector). 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 (parallel vectors),向量 a??、b ?? 平行,通常记做 . a??∥ b ??

,长度

规定零向量与任一向量平行,即对于任意向量 a ,都有 0 ∥ a . 相等向量与共线向量







? 相等,记做 a??= b ?? 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector).向量 a?? 与 b ? .

任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).

例题: 下列四个命题:① 时间、速度、加速度都是向量;② 向量的模是一个正实数;③ 相等向量一定 是平行向量;④ 共线向量一定在同一直线上;⑤ 若 a , b 是单位向量,则 a = b ;⑥ 若 非零向量 AB 与 CD 是共线向量,则四点 A, B, C , D 共线.其中真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 解:B 只有③正确. 下列说法正确的是( ) A.零向量没有大小,没有方向 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.零向量的长度为 0 D.任意两个单位向量方向相同 解:C 零向量的长度为 0 ,方向是任意的,故 A,B 错误,C 正确,任意两个单位向量的长度相等,但 方向不一定相同,故 D 错误. 如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心.

?→ ?

?→ ?











(1)与 OA 的模相等的向量有多少个? (2)是否存在与 OA 长度相等、方向相反的向量? (3)与 OA 共线的向量有哪些?

?→ ? ?→ ?

?→ ?

解:(1)因为 OA 的模等于正六边形的边长,而在图中,模等于边长的向量有 12 个,所以共 有 11 个与 OA 的模相等的向量. (2)存在,是 F E . (3)有 F E 、CB 、DO .

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