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2016年中考数学试卷分类汇编解析:图形的相似与位似


图形的相似与位似 一、选择题
1.(2016·湖北十堰)如图,以点 O 为位似中心,将△ABC 缩小后得到△A′B′C′,已知 OB=3OB′,则△A′B′C′与△ABC 的面积比为( )

A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:9 【考点】位似变换. 【分析】先求出位似比,根据位似比等于相似比,再由相似三角形的面积比等于相似比的平 方即可. 【解答】解:∵OB=3OB′, ∴ ,

∵以点 O 为位似中心,将△ABC 缩小后得到△A′B′C′, ∴△A′B′C′∽△ABC, ∴ = .

∴ 故选 D

= ,

【点评】此题是位似变换,主要考查了位似比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比 的平方,解本题的关键是掌握位似的性质. 2. (2016·湖北咸宁)如图,在△ABC 中,中线 BE,CD 相交于点 O,连接 DE,下列结论:
DE 1

① BC = 2 ;



S△ DOE S△ COB

= 2 ; ③ AB = OB ; ④

1

AD

OE

S△ ODE 1 S△ ADE = 3 .
D. 4 个

其中正确的个数有( A. 1 个

) C.3 个

B. 2 个

(第 2 题) 【考点】三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质. 【分析】①DE 是△ABC 的中位线,根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断;②利 用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定; ③利用相似三角形的性质可判断; ④利用 相似三角面积的比等于相似比的平方可判定. 【解答】解:①∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE= 2 BC,即 BC = 2 ; 故①正确; ②∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE∥BC ∴△DOE∽△COB
1 DE 1



S△ DOE S△ COB

=( BC ) =( 2 ) = 4 ,

DE

2

1

2

1

故②错误; ③∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC △DOE∽△COB ∴ AB = OB , 故③正确; ④∵△ABC 的中线 BE 与 CD 交于点 O。 ∴点 O 是△ABC 的重心, 根据重心性质,BO=2OE,△ABC 的高=3△BOC 的高, 且△ABC 与△BOC 同底(BC) ∴S△ABC =3S△BOC, 由②和③知,
AD OE

∴ AB = BC ∴ OB = BC
OE DE

AD

DE

S△ODE= 4 S△COB,S△ADE= 4 S△BOC,

1

1



S△ ODE 1 S△ ADE = 3 .
故④正确.

综上,①③④正确. 故选 C. 【点评】本题考查了三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质.要熟知:三角形的中位 线平行于第三边并且等于第三边长度的一半;相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3. (2016 ·新 疆 ) 如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点,下列说法中不正确的 是( )

A.DE= BC B.

=

C.△ADE∽△ABC D.S△ADE:S△ABC=1:2 【考点】相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理. 【分析】根据中位线的性质定理得到 DE∥BC,DE= BC,再根据平行线分线段成比例定 理和相似三角形的性质即可判定. 【解答】解:∵D、E 分别是 AB、AC 的中点, ∴DE∥BC,DE= BC, ∴ ∴ ∴A,B,C 正确,D 错误; 故选:D. 【点评】 该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定; 解题的关 键是正确找出对应线段,准确列出比例式求解、计算、判断或证明. = ,△ADE∽△ABC, ,

4. (2016 ·云 南 ) 如图,D 是△ ABC 的边 BC 上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.如果 △ ABD 的面积为 15,那么△ ACD 的面积为( )

A.15 B.10 C.

D.5

【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】首先证明△ ACD∽△BCA,由相似三角形的性质可得:△ ACD 的面积:△ ABC 的 面积为 1:4,因为△ ABD 的面积为 9,进而求出△ ACD 的面积. 【解答】解:∵∠DAC=∠B,∠C=∠C, ∴△ACD∽△BCA, ∵AB=4,AD=2, ∴△ ACD 的面积:△ ABC 的面积为 1:4, ∴△ACD 的面积:△ ABD 的面积=1:3, ∵△ABD 的面积为 15, ∴△ACD 的面积∴△ACD 的面积=5. 故选 D. 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方,是 中考常见题型. 5. (2016 ·云 南 ) 在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH 垂直平分 AC,点 H 为垂足.设 AB=x,AD=y,则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】相似三角形的判定与性质;函数的图象;线段垂直平分线的性质.

【分析】由△ DAH∽△CAB,得 问题. 【解答】解:∵DH 垂直平分 AC, ∴DA=DC,AH=HC=2, ∴∠DAC=∠DCH, ∵CD∥AB, ∴∠DCA=∠BAC,

=

,求出 y 与 x 关系,再确定 x 的取值范围即可解决

∴∠DAN=∠BAC,∵∠DHA=∠B=90°, ∴△DAH∽△CAB, ∴ = ,

∴=, ∴y=, ∵AB<AC, ∴x<4, ∴图象是 D. 故选 D.

【点评】本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识,解 题的关键是正确寻找相似三角形,构建函数关系,注意自变量的取值范围的确定,属于中考 常考题型. 6. (2016·四川达州·3 分)如图,在△ABC 中,BF 平分∠ABC,AF⊥BF 于点 F,D 为 AB 的中点,连接 DF 延长交 AC 于点 E.若 AB=10,BC=16,则线段 EF 的长为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】相似三角形的判定与性质;平行线的判定;直角三角形斜边上的中线. 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得 DF=AB=AD=BD=5 且∠ABF=∠ BFD,结合角平分线可得∠CBF=∠DFB,即 DE∥BC,进而可得 DE=8,由 EF=DE﹣DF 可 得答案. 【解答】解:∵AF⊥BF, ∴∠AFB=90°, ∵AB=10,D 为 AB 中点, ∴DF=AB=AD=BD=5, ∴∠ABF=∠BFD, 又∵BF 平分∠ABC, ∴∠ABF=∠CBF, ∴∠CBF=∠DFB, ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ = ,即 ,

解得:DE=8, ∴EF=DE﹣DF=3, 故选:B. (2016·山东烟台)如图,在平面直角坐标中,正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 7.

O 为位似中心的位似图形,且相似比为

,点 A,B,E 在 x 轴上,若正方形 BEFG 的边

长为 6,则 C 点坐标为(



A. (3,2) B. (3,1) C. (2,2) D. (4,2) 【考点】位似变换;坐标与图形性质;正方形的性质.

【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出 AD 的长,进而得出△ OAD∽△OBG, 进而得出 AO 的长,即可得出答案. 【解答】解:∵正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形,且相似 比为, ∴ =,

∵BG=6, ∴AD=BC=2, ∵AD∥BG, ∴△OAD∽△OBG, ∴ ∴ =, =,

解得:OA=1, ∴OB=3, ∴C 点坐标为: (3,2) , 故选:A.

8. (2016·山西)宽与长的比是

5 -1 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴 2

藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形: 作正方形 ABCD,分别取 AD,BC 的中点 E,F,连接 EF;以点 F 为圆心,以 FD 为半径画弧, 交 BC 的延长线与点 G;作 GH ? AD ,交 AD 的延长线于点 H.则图中下列矩形是黄金矩形 的是( D ) A.矩形 ABFE B.矩形 EFCD C.矩形 EFGH D.矩形 DCGH

考点:黄金分割的识别

分析:由作图方法可知 DF= 5 CF,所以 CG= ( 5 ? 1)CF ,且 GH=CD=2CF 从而得出黄金矩形 解答:CG= ( 5 ? 1)CF ,GH=2CF ∴
CG ( 5 ? 1)CF 5 ?1 ? ? GH 2CF 2

∴矩形 DCGH 是黄金矩形 选 D. (2016·四川巴中)如图,点 D、E 分别为△ ABC 的边 AB、AC 上的中点,则△ ADE 的 9. 面积与四边形 BCED 的面积的比为( )

A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:1 【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】证明 DE 是△ ABC 的中位线,由三角形中位线定理得出 DE∥BC,DE=BC,证出 △ ADE∽△ABC,由相似三角形的性质得出△ ADE 的面积:△ ABC 的面积=1:4,即可得 出结果. 【解答】解:∵D、E 分别为△ ABC 的边 AB、AC 上的中点, ∴DE 是△ ABC 的中位线, ∴DE∥BC,DE=BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴△ADE 的面积:△ ABC 的面积=()2=1:4, ∴△ADE 的面积:四边形 BCED 的面积=1:3; 故选:B. 10. (2016.山东省泰安市,3 分)如图,正△ ABC 的边长为 4,点 P 为 BC 边上的任意一点 (不与点 B、C 重合) ,且∠APD=60°,PD 交 AB 于点 D.设 BP=x,BD=y,则 y 关于 x 的 函数图象大致是( )

A.

B.

C.

D. 【分析】由△ ABC 是正三角形,∠APD=60°,可证得△ BPD∽△CAP,然后由相似三角形 的对应边成比例,即可求得答案. 【解答】解:∵△ABC 是正三角形, ∴∠B=∠C=60°, ∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP,∠APD=60°, ∴∠BPD=∠CAP, ∴△BPD∽△CAP, ∴BP:AC=BD:PC, ∵正△ ABC 的边长为 4,BP=x,BD=y, ∴x:4=y: (4﹣x) , ∴y=﹣x +x. 故选 C. 【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质.注意证得 △ BPD∽△CAP 是关键.
2

11. (2016.山东省威海市,3 分)如图,在△ ABC 中,∠B=∠C=36°,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于点 H,AC 的垂直平分线交 BC 于点 E,交 AC 于点 G,连接 AD,AE, 则下列结论错误的是( )

A.

=

B.AD,AE 将∠BAC 三等分 D.S△ ADH=S△ CEG

C.△ ABE≌△ACD

【考点】黄金分割;全等三角形的判定;线段垂直平分线的性质. ∠BAC=108°, 【分析】 由题意知 AB=AC、 根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°, 从而知△ BDA∽△BAC,得 分割定义知 = = = ,由∠ADC=∠DAC=72°得 CD=CA=BA,进而根据黄金

,可判断 A;根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断 B;

根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD,可证△ BAE≌△CAD,即可 判断 C;由△ BAE≌△CAD 知 S△ BAD=S△ CAE,根据 DH 垂直平分 AB,EG 垂直平分 AC 可 得 S△ ADH=S△ CEG,可判断 D. 【解答】解:∵∠B=∠C=36°, ∴AB=AC,∠BAC=108°, ∵DH 垂直平分 AB,EG 垂直平分 AC, ∴DB=DA,EA=EC, ∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°, ∴△BDA∽△BAC, ∴ = ,

又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°, ∴∠ADC=∠DAC, ∴CD=CA=BA, ∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB, 则 = ,即 = = ,故 A 错误;

∵∠BAC=108°,∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°, ∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°, 即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°, ∴AD,AE 将∠BAC 三等分,故 B 正确;

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°,∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°, ∴∠BAE=∠CAD, 在△ BAE 和△ CAD 中, ∵ ,

∴△BAE≌△CAD,故 C 正确;

由△ BAE≌△CAD 可得 S△ BAE=S△ CAD,即 S△ BAD+S△ ADE=S△ CAE+S△ ADE, ∴S△ BAD=S△ CAE, 又∵DH 垂直平分 AB,EG 垂直平分 AC, ∴S△ ADH=S△ ABD,S△ CEG=S△ CAE, ∴S△ ADH=S△ CEG,故 D 正确. 故选:A. 12.(2016 安徽,8,4 分)﹣如图,△ABC 中,AD 是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段 AC 的长为( )

A.4

B.4

C.6

D.4

【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】根据 AD 是中线,得出 CD=4,再根据 AA 证出△CBA∽△CAD,得出 出 AC 即可. 【解答】解:∵BC=8, ∴CD=4, 在△CBA 和△CAD 中, = ,求

∵∠B=∠DAC,∠C=∠C, ∴△CBA∽△CAD, ∴ = ,

∴AC2=CD?BC=4×8=32, ∴AC=4 ;

13.(2016 兰州,3,4 分).已知△ABC ∽△ DEF,若 △ABC 与△DEF 的相似比为 3/4, 则△ ABC 与△DEF 对应中线的比为() 。 (A)3/4(B)4/3(C)9/16(D)16/9 【答案】A 【解析】根据相似三角形的性质,相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分 线的比都等于相似比,本题中相似三角形的相似比为 3/4,即对应中线的比为 3/4,所以 答案选 A。 【考点】相似三角形的性质 14.(2016 兰州,6,4 分)如图,在△ ABC 中,DE∥BC,若 AD/DB=2/3,则 AE/EC=() 。 (A)1/3(B)2/5(C)2/3(D)3/5

【答案】C 【解析】 根据三角形一边的平行线行性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的 直线,截得的对应线段成比例, AE/EC=AD/DB=2/3,所以答案选 C。 【来源:21cnj*y.co*m】 【考点】三角形一边的平行线性质定理

二、填空题
1. (2016·湖北黄冈)如图,已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI 是 4 个全等的等腰三角形, 底边 BC , CE , EG , GI 在同一条直线上,且 AB=2 , BC=1. 连接 AI ,交 FG 于点 Q ,则 QI=_____________. A D F H

Q

B

C

E (第 1 题)

G

I

【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质. 【 分 析 】 过 点 A 作 AM ⊥ BC. 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 , 得 到 MC=
1 2

BC=

1 2

,从而

MI=MC+CE+EG+GI= 7 2 .再根据勾股定理,计算出 AM 和 AI 的值;根据等腰三角形的性质得出角 相等,从而证明 AC∥GQ,则△IAC∽△IQG,故 A D F
QI AI

4 = GI CI ,可计算出 QI= 3 .

H

Q

B

M

C

E

G

I

【解答】解:过点 A 作 AM⊥BC.
1 根据等腰三角形的性质,得 MC= 1 2 BC= 2 .

∴MI=MC+CE+EG+GI= 7 2 .
15 在 Rt△AMC 中,AM =AC -MC = 2 -( 1 2 )= 4 .
2 2 2 2 2

AI=

AM

2

? MI =

2

15 4

? ( 7 ) =4. 2

2

易证 AC∥GQ,则△IAC∽△IQG ∴ 即
QI AI QI 4

= GI CI =1 3

∴QI= 4 . 3 故答案为: 4 . 3

2. (2016 ·四 川 自 贡 ) 如图,在边长相同的小正方形网格中,点 A、B、C、D 都在这些小 正方形的顶点上,AB,CD 相交于点 P,则 的值= 3 ,tan∠APD 的值= 2 .

【考点】锐角三角函数的定义;相似三角形的判定与性质. 【专题】网格型. 【分析】首先连接 BE,由题意易得 BF=CF,△ ACP∽△BDP,然后由相似三角形的对应边 CP=1: 3, CF=PF: BF=1: 2, 成比例, 易得 DP: 即可得 PF: 在 Rt△ PBF 中, 即可求得 tan∠BPF 的值,继而求得答案. 【解答】解:∵四边形 BCED 是正方形, ∴DB∥AC, ∴△DBP∽△CAP, ∴ = =3,

连接 BE, ∵四边形 BCED 是正方形, ∴DF=CF=CD,BF=BE,CD=BE,BE⊥CD, ∴BF=CF, 根据题意得:AC∥BD, ∴△ACP∽△BDP, ∴DP:CP=BD:AC=1:3, ∴DP:DF=1:2,

∴DP=PF=CF=

BF,

在 Rt△ PBF 中,tan∠BPF= ∵∠APD=∠BPF, ∴tan∠APD=2, 故答案为:3,2.

=2,

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义.此题难度适中,解题的关 键准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用 3. (2016·四川乐山·3 分)如图 6,在 ?ABC 中, D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点, 且 DE ∥ BC , 若 ?ADE 与 ?ABC 的周长之比为 2 : 3 , AD ? 4 ,则 DB ? ___▲__. 答案:2 解析:依题意,有△ADE∽△ABC,因为 ?ADE 与 ?ABC 的周长之比为 2 : 3 , 所以,

A

D B 图6

E C

AD 2 ? ,由 AD=4,得:AB=6,所以,DB=6-4=2 AB 3

4. (2016 江苏淮安,18,3 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点 F 在 边 AC 上,并且 CF=2,点 E 为边 BC 上的动点,将△ CEF 沿直线 EF 翻折,点 C 落在点 P 处,则点 P 到边 AB 距离的最小值是 1.2 .

【考点】翻折变换(折叠问题).

【分析】如图,延长 FP 交 AB 于 M,当 FP⊥AB 时,点 P 到 AB 的距离最小,利用 △ AFM∽△ABC,得到 = 求出 FM 即可解决问题.

【解答】解:如图,延长 FP 交 AB 于 M,当 FP⊥AB 时,点 P 到 AB 的距离最小.

∵∠A=∠A,∠AMF=∠C=90°, ∴△AFM∽△ABC, ∴ = ,

∵CF=2,AC=6,BC=8, ∴AF=4,AB= ∴ = , =10,

∴FM=3.2, ∵PF=CF=2, ∴PM=1.2 ∴点 P 到边 AB 距离的最小值是 1.2. 故答案为 1.2. 【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理.垂线段最短 等知识,解题的关键是正确找到点 P 位置,属于中考常考题型. 5.(2016·广东梅州)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点,EC 交对角线 BD 于点 F,若 S ?DEC ? 3 ,则 S ?BCF ? ________.

答案:4 考点:平行四边形的性质,三角形的面积,三角形的相似的判定与性质。

解析:因为 E 为 AD 中点,AD∥BC,所以,△DFE∽△BFC, 所以,

EF DE 1 S ?DEF EF 1 1 ? ? , ? ? ,所以, S ?DEF ? S ?DEC =1, FC BC 2 S ?DCF FC 2 3



S ?DEF 1 ? ,所以, S ?BCF ? 4。 S ?BCF 4

6.(2016·广西贺州)如图,在△ ABC 中,分别以 AC、BC 为边作等边三角形 ACD 和等边 三角形 BCE,连接 AE、BD 交于点 O,则∠AOB 的度数为 120° .

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】先证明∴△DCB≌△ACE,再利用“8 字型”证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题. 【解答】解:如图:AC 与 BD 交于点 H. ∵△ACD,△ BCE 都是等边三角形, ∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°, ∴∠DCB=∠ACE, 在△ DCB 和△ ACE 中, , ∴△DCB≌△ACE, ∴∠CAE=∠CDB, ∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°,∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°,∠DHC=∠OHA, ∴∠AOH=∠DCH=60°, ∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°. 故答案为 120°

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识,解题的关键是正确 寻找全等三角形,学会利用“8 字型”证明角相等,属于中考常考题型.

7. (2016·山西)如图,已知点 C 为线段 AB 的中点,CD⊥AB 且 CD=AB=4,连接 AD,BE
⊥AB,AE 是 ?DAB 的平分线,与 DC 相交于点 F,EH⊥DC 于点 G,交 AD 于点 H,则 HG 的
5 长为 3 - (或 2 5 ?2 5 ?1 )

考点:勾股定理,相似,平行线的性质,角平分线; 分析:由勾股定理求出 DA, 由平行得出 ?1 ? ?2 ,由角平分得出 ?2 ? ?3 从而得出 ?1 ? ?3 ,所以 HE=HA. 再利用△DGH∽△DCA 即可求出 HE, 从而求出 HG 解答:如图(1)由勾股定理可得

DA= AC 2 ? CD 2 ? 2 2 ? 4 2 ? 2 5 由 AE 是 ?DAB 的平分线可知 ?1 ? ?2 由 CD⊥AB,BE⊥AB,EH⊥DC 可知四边形 GEBC 为矩 形,∴HE∥AB,∴ ?2 ? ?3 ∴ ?1 ? ?3 故 EH=HA 设 EH=HA=x 则 GH=x-2,DH= 2 5 ? x ∵HE∥AC ∴ ∴△DGH∽△DCA

2 5-x x?2 DH HG ? 即 ? 2 DA AC 2 5

解得 x= 5 - 5 故 HG=EH-EG= 5 - 5 -2= 3 ? 5

8.(2016·上海)在△ ABC 中,点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点,那么△ ADE 的面积
与△ ABC 的面积的比是 【考点】三角形中位线定理. 【分析】构建三角形中位线定理得 DE∥BC,推出△ ADE∽△ABC,所以 由此即可证明. 【解答】解:如图,∵AD=DB,AE=EC, ∴DE∥BC.DE= BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ =( )2= , =( )2, .

故答案为 .

【点评】本题考查三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质,解题的关键是记住相似三 角形的面积比等于相似比的平方,属于中考常考题型.

,AB=AC,BC=20,DE 是△ABC 9.(2016?辽宁沈阳)如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90° 的中位线,点 M 是边 BC 上一点,BM=3,点 N 是线段 MC 上的一个动点,连接 DN,ME, DN 与 ME 相交于点 O.若△OMN 是直角三角形,则 DO 的长是 或 .

【考点】三角形中位线定理. 【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°,根据 ②∠MON=90° ,利用△DOE∽△EFM,得 = = 计算即可

计算即可.

【解答】解:如图作 EF⊥BC 于 F,DN′⊥BC 于 N′交 EM 于点 O′,此时∠MN′O′=90°, ∵DE 是△ABC 中位线, ∴DE∥BC,DE= BC=10, ∵DN′∥EF, ∴四边形 DEFN′是平行四边形,∵∠EFN′=90°, ∴四边形 DEFN′是矩形, ∴EF=DN′,DE=FN′=10, ∵AB=AC,∠A=90° , ∴∠B=∠C=45° , ∴BN′=DN′=EF=FC=5,

∴ ∴ =

=

, , .

∴DO′=

当∠MON=90° 时, ∵△DOE∽△EFM, ∴ = , =13, , 或 .

∵EM= ∴DO= 故答案为

【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股 定理等知识,解题的关键是学会分类讨论,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型. 10. △ BOC (2016.山东省威海市, 3 分) 如图, 直线 y=x+1 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 B, 与△ B′O′C′是以点 A 为位似中心的位似图形,且相似比为 1:3,则点 B 的对应点 B′的坐标 为 (﹣8,﹣3)或(4,3) .

【考点】位似变换;一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】首先解得点 A 和点 B 的坐标,再利用位似变换可得结果. 【解答】解:∵直线 y=x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B, 令 x=0 可得 y=1; 令 y=0 可得 x=﹣2, ∴点 A 和点 B 的坐标分别为(﹣2,0) ; (0,1) ,

∵△BOC 与△ B′O′C′是以点 A 为位似中心的位似图形,且相似比为 1:3, ∴ = =,

∴O′B′=3,AO′=6, ∴B′的坐标为(﹣8,﹣3)或(4,3) . 故答案为: (﹣8,﹣3)或(4,3) .

11. (2016·江苏南京)如图,AB、CD 相交于点 O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF 是△ ODB 的中位线,且 EF=2,则 AC 的长为________.

答案:

8 3

考点:三角形的中位线,三角形相似的性质。 解析:因为 EF 是△ODB 的中位线,EF=2,所以,DB=4, 又 AC∥BD,所以,
AC OC 2 8 ? ? ,所以,AC= . DB OD 3 3
) , C 是 AB 的 中 点 , 过 点 C 作 y 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 D ,

12 . (2016·江苏苏州)如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点 A 、 B 的 坐 标 分 别 为 ( 8, 0) 、 ( 0, 2

动 点 P 从 点 D 出 发 , 沿 DC 向 点 C 匀 速 运 动 , 过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 E , 连 接 BP 、 EC . 当 BP 所 在 直 线 与 EC 所 在 直 线 第 一 次 垂 直 时 , 点 P 的 坐 标为 ( 1, ) .

【 考 点 】坐 标 与 图 形 性 质 ;平 行 线 分 线 段 成 比 例 ;相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 .

【 分 析 】 先 根 据 题 意 求 得 CD 和 P E 的 长 , 再 判 定 △ EP C ∽△ PDB , 列 出 相 关 的 比 例 式 , 求 得 DP 的 长 , 最 后 根 据 P E 、 DP 的 长 得 到 点 P 的 坐 标 . 【 解 答 】 解 : ∵点 A 、 B 的 坐 标 分 别 为 ( 8 , 0 ) , ( 0, 2 ∴ BO= , AO=8 BO= =P E , CD= AO=4 )

由 CD ⊥ BO , C 是 AB 的 中 点 , 可 得 BD=DO= 设 DP=a , 则 CP=4 ﹣ a

当 BP 所 在 直 线 与 EC 所 在 直 线 第 一 次 垂 直 时 , ∠ FCP = ∠ DBP 又 ∵ EP ⊥ CP , PD ⊥ BD ∴∠ EP C= ∠ PDB=90 ° ∴△ EP C ∽△ PDB ∴ ,即

解 得 a 1 =1 , a 2 =3 ( 舍 去 ) ∴ DP =1 又 ∵ P E= ∴P( 1, ) )

故答案为: ( 1,

13. (2016·江苏泰州)如图,△ ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 上,DE∥BC,AD:AB=1: 3,则△ ADE 与△ ABC 的面积之比为 1:9 .

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】由 DE 与 BC 平行,得到两对同位角相等,利用两对角相等的三角形相似得到三角 形 ADE 与三角形 ABC 相似,利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC, ∴S△ ADE:S△ ABC=(AD:AB)2=1:9, 故答案为:1:9.

14.(2016· 江苏省宿迁)若两个相似三角形的面积比为 1:4,则这两个相似三角形的周长 比是 1:2 . 【分析】 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比, 根据似三角形周长的比等 于相似比得到答案. 【解答】解:∵两个相似三角形的面积比为 1:4, ∴这两个相似三角形的相似比为 1:2, ∴这两个相似三角形的周长比是 1:2, 故答案为:1:2. 【点评】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角 形面积的比等于相似比的平方是解题的关键. 三、解答题 1.(2016·黑龙江大庆)如图,在菱形 ABCD 中,G 是 BD 上一点,连接 CG 并延长交 BA 的 延长线于点 F,交 AD 于点 E. (1)求证:AG=CG. (2)求证:AG2=GE?GF.

【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质. 【专题】证明题.

【分析】根据菱形的性质得到 AB∥CD,AD=CD,∠ADB=∠CDB,推出△ADG≌△CDG,根据全 等三角形的性质即可得到结论; (2)由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG,等量代换得到∠EAG=∠F,求得△AEG∽△FGA, 即可得到结论. 【解答】解:(1)∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB∥CD,AD=CD,∠ADB=∠CDB, ∴∠F∠FCD, 在△ADG 与△CDG 中, ∴△ADG≌△CDG, ∴∠EAG=∠DCG, ∴AG=CG; ,

(2)∵△ADG≌△CDG, ∴∠EAG=∠F, ∵∠AGE=∠AGE, ∴△AEG∽△FGA, ∴
2



∴AG =GE?GF. 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,菱形的性质,全等三角形的判定和性质,熟 练掌握各定理是解题的关键. 2. (2016·湖北黄冈)(满分 8 分) 如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是 BA 延长线上一

点,PC 是⊙O 的切线,切点为 C. 过点 B 作 BD⊥PC 交 PC 的延长线于点 D,连接 BC. 求证: (1)∠PBC =∠CBD; (2)BC =AB·BD C
2

D

P

A

O (第 2 题)

B

【考点】切线的性质,相似三角形的判定和性质. 【分析】 (1) 连接 OC, 运用切线的性质, 可得出∠OCD=90°, 从而证明 OC∥BD, 得到∠CBD= ∠OCB,再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC,等量代换得到∠PBC =∠CBD. (2)连接 AC. 要得到 BC =AB·BD,需证明△ABC∽△CBD,故从证明∠ACB=∠BDC, ∠PBC=∠CBD 入手. 【解答】证明: (1)连接 OC, ∵PC 是⊙O 的切线, ∴∠OCD=90°. ……………………………………………1 分 又∵BD⊥PC ∴∠BDP=90° ∴OC∥BD. ∴∠CBD=∠OCB. ∴OB=OC . ∴∠OCB=∠PBC. ∴∠PBC=∠CBD. ………………………………………..4 分
2

D

C

P

A

O

B

(2)连接 AC. ∵AB 是直径,

∴∠BDP=90°. 又∵∠BDC=90°, ∴∠ACB=∠BDC. ∵∠PBC=∠CBD, ∴△ABC∽△CBD. ……………………………………6 分
BC AB ∴ BC = BD .

∴BC =AB·BD. ………………………….……………8 分

2

D C

P

A

O

B

3.(2016·湖北十堰)如图 1,AB 为半圆 O 的直径,D 为 BA 的延长线上一点,DC 为半圆 O 的切线,切点为 C. (1)求证:∠ACD=∠B; (2)如图 2,∠BDC 的平分线分别交 AC,BC 于点 E,F; ①求 tan∠CFE 的值; ②若 AC=3,BC=4,求 CE 的长.

【考点】切线的性质. 【分析】(1)利用等角的余角相等即可证明. (2)①只要证明∠CEF=∠CFE 即可.

②由△DCA∽△DBC,得

=

=

= ,设 DC=3k,DB=4k,由 CD =DA?DB,得 9k =(4k﹣5) = ,设 EC=CF=x,列出方程即可解决问

2

2

?4k,由此求出 DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得 题. 【解答】(1)证明:如图 1 中,连接 OC. ∵OA=OC, ∴∠1=∠2, ∵CD 是⊙O 切线, ∴OC⊥CD, ∴∠DCO=90°, ∴∠3+∠2=90°, ∵AB 是直径, ∴∠1+∠B=90°, ∴∠3=∠B.

(2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB, ∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B, ∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°, ∴∠CEF=∠CFE=45°, ∴tan∠CFE=tan45°=1. ②在 RT△ABC 中,∵AC=3,BC=4, ∴AB= =5,

∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B, ∴△DCA∽△DBC, ∴
2

=

=

= ,设 DC=3k,DB=4k,

∵CD =DA?DB, ∴9k =(4k﹣5)?4k, ∴k= ∴CD= , ,DB= ,
2

∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,

∴△DCE∽△DBF, ∴ = ,设 EC=CF=x,



=



∴x= ∴CE=

. .

【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是 正确寻找相似三角形,利用相似三角形的性质解决问题,学会用方程的思想思考问题,属于 中考常考题型. 4. (2016 ·四 川 自 贡 ) 已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8,将矩形 ABCD 折叠,使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 (Ⅰ)如图 1,已知折痕与边 BC 交于点 O,连接 AP、OP、OA.若△ OCP 与△ PDA 的面 积比为 1:4,求边 CD 的长. (Ⅱ)如图 2,在(Ⅰ)的条件下,擦去折痕 AO、线段 OP,连接 BP.动点 M 在线段 AP 上(点 M 与点 P、A 不重合),动点 N 在线段 AB 的延长线上,且 BN=PM,连接 MN 交 PB 于点 F,作 ME⊥BP 于点 E.试问当动点 M、N 在移动的过程中,线段 EF 的长度是否 发生变化?若变化,说明变化规律.若不变,求出线段 EF 的长度.

【考点】几何变换综合题. 【分析】(1)先证出∠C=∠D=90°,再根据∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即 可证出△ OCP∽△PDA; 根据△ OCP 与△ PDA 的面积比为 1:4,得出 CP=AD=4,设 OP=x,则 CO=8﹣x,由勾股定 理得 x2=(8﹣x)2+42,求出 x,最后根据 AB=2OP 即可求出边 AB 的长; (2)作 MQ∥AN,交 PB 于点 Q,求出 MP=MQ,BN=QM,得出 MP=MQ,根据 ME⊥PQ, 得出 EQ=PQ,根据∠QMF=∠BNF,证出△ MFQ≌△NFB,得出 QF=QB,

再求出 EF=

PB,由(1)中的结论求出 PB=

,最后代入 EF=PB 即可得出

线段 EF 的长度不变 【解答】解:(1)如图 1,∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠C=∠D=90°, ∴∠1+∠3=90°, ∵由折叠可得∠APO=∠B=90°, ∴∠1+∠2=90°, ∴∠2=∠3, 又∵∠D=∠C, ∴△OCP∽△PDA; ∵△OCP 与△ PDA 的面积比为 1:4, ∴ ∴CP=AD=4, 设 OP=x,则 CO=8﹣x, 在 Rt△ PCO 中,∠C=90°, ,

由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42, 解得:x=5, ∴AB=AP=2OP=10, ∴边 CD 的长为 10; (2)作 MQ∥AN,交 PB 于点 Q,如图 2, ∵AP=AB,MQ∥AN, ∴∠APB=∠ABP=∠MQP. ∴MP=MQ, ∵BN=PM, ∴BN=QM. ∵MP=MQ,ME⊥PQ, ∴EQ=PQ. ∵MQ∥AN, ∴∠QMF=∠BNF, 在△ MFQ 和△ NFB 中, , ∴△MFQ≌△NFB(AAS). ∴QF=QB,

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=

PB,

由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,∠C=90°, ∴PB= ∴EF=PB=2 , . ,

∴在(1)的条件下,当点 M、N 在移动过程中,线段 EF 的长度不变,它的长度为 2

【点评】此题考查了相似形综合,用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的 判定与性质、 勾股定理、 等腰三角形的性质, 关键是做出辅助线, 找出全等和相似的三角形. 5. (2016·四川达州·8 分)如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,C 为半圆 O 上一点,连接 AC,BC,过点 O 作 OD⊥AC 于点 D,过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E,连 接 BD 并延长交 AE 于点 F. (1)求证:AE?BC=AD?AB; (2)若半圆 O 的直径为 10,sin∠BAC=,求 AF 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;切线的性质;锐角三角函数的定义. 【分析】 (1)只要证明△EAD∽△ABC 即可解决问题. (2)作 DM⊥AB 于 M,利用 DM∥AE,得 【解答】 (1)证明:∵AB 为半圆 O 的直径, ∴∠C=90°, ∵OD⊥AC, ∴∠CAB+∠AOE=90°,∠ADE=∠C=90°, = ,求出 DM、BM 即可解决问题.

∵AE 是切线, ∴OA⊥AE, ∴∠E+∠AOE=90°, ∴∠E=∠CAB, ∴△EAD∽△ABC, ∴AE:AB=AD:BC, ∴AE?BC=AD?AB.

(2)解:作 DM⊥AB 于 M, ∵半圆 O 的直径为 10,sin∠BAC=, ∴BC=AB?sin∠BAC=6, ∴AC= ∵OE⊥AC, ∴AD=AC=4,OD=BC=3, ∵sin∠MAD= ∴DM= =, = = ,BM=AB﹣AM= , =8,

,AM=

∵DM∥AE, ∴ = , .

∴AF=

6. (2016·四川广安·8 分)在数学活动课上,老师要求学生在 5×5 的正方形 ABCD 网格 中(小正方形的边长为 1)画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与 AB 或 AD 都不平行.画四种图形,并直接写出其周长(所画图象相似的只算一种) .

【考点】作图—相似变换. 【分析】在图 1 中画等腰直角三角形;在图 2、3、4 中画有一条直角边为 边分别为 3 ,4 ,2 ,另一条直角

的直角三角形,然后计算出四个直角三角形的周长. + ;

【解答】解:如图 1,三角形的周长=2 如图 2,三角形的周长=4 如图 3,三角形的周长=5 如图 4,三角形的周长=3 +2 + + ; ; .

7. (2016·四川凉山州·8 分)如图,已知四边形 ABCD 内接于⊙O,A 是 ⊥AC 于 A,与⊙O 及 CB 的延长线交于点 F、E,且 (1)求证:△ADC∽△EBA; (2)如果 AB=8,CD=5,求 tan∠CAD 的值. .

的中点,AE

【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理. 【分析】 (1)欲证△ADC∽△EBA,只要证明两个角对应相等就可以.可以转化为证明且 就可以; (2)A 是 的中点,的中点,则 AC=AB=8,根据△CAD∽△ABE 得到∠CAD=∠AEC,

求得 AE,根据正切三角函数的定义就可以求出结论. 【解答】 (1)证明:∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠CDA=∠ABE. ∵ ,

∴∠DCA=∠BAE. ∴△ADC∽△EBA;

(2)解:∵A 是 ∴ ∴AB=AC=8, ∵△ADC∽△EBA, ∴∠CAD=∠AEC, 即 ∴AE= , ,

的中点,



∴tan∠CAD=tan∠AEC=

=

=.

8.(2016 福州, 25,10 分)如图, AB=AC=1, BC= 在△ ABC 中, 连接 BD. (1)通过计算,判断 AD2 与 AC?CD 的大小关系; (2)求∠ABD 的度数.

, 在 AC 边上截取 AD=BC,

【考点】相似三角形的判定. 【分析】(1)先求得 AD、CD 的长,然后再计算出 AD2 与 AC?CD 的值,从而可得到 AD2 与 AC?CD 的关系; (2)由(1)可得到 BD2=AC?CD,然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明 △ BCD∽△ABC,依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A,DB=CB,然后结合等腰三角形 的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD 的度数. 【解答】解:(1)∵AB=BC=1,BC= ∴AD= ∴AD2= ∴AD2=AC?CD. (2)∵AD=BD,AD2=AC?CD, ∴BD2=AC?CD,即 又∵∠C=∠C, ∴△BCD∽△ABC. ∴ ,∠DBC=∠A. . ,DC=1﹣ = = . = . ,

,AC?CD=1×

∴DB=CB=AD. ∴∠A=∠ABD,∠C=∠D. 设∠A=x,则∠ABD=x,∠DBC=x,∠C=2x. ∵∠A+∠ABC+∠C=180°, ∴x+2x+2x=180°. 解得:x=36°. ∴∠ABD=36°. 【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定 理的应用,证得△ BCD∽△ABC 是解题的关键.

9. (2016,湖 北 宜 昌 , 23 , 11 分 ) 在△ ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,D 是△ ABC 内部或 BC 边上的一个动点(与 B、C 不重合),以 D 为顶点作△ DEF,使△ DEF∽△ABC (相似比 k>1),EF∥BC. (1)求∠D 的度数; (2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形 AGDH. ①如图 1,连接 GH、AD,当 GH⊥AD 时,请判断四边形 AGDH 的形状,并证明; ②当四边形 AGDH 的面积最大时,过 A 作 AP⊥EF 于 P,且 AP=AD,求 k 的值.

【考点】相似形综合题. 【分析】(1)先判断△ ABC 是直角三角形,即可; (2)①先判断 AB∥DE,DF∥AC,得到平行四边形,再判断出是正方形; ②先判断面积最大时点 D 的位置, 由△ BGD∽△BAC, 找出 AH=8﹣ GA, 得到 S 矩形 AGDH= ﹣ AG2+8AG,确定极值,AG=3 时,面积最大,最后求 k 得值. 【解答】解:(1)∵AB2+AC2=100=BC2, ∴∠BAC=90°, ∵△DEF∽△ABC, ∴∠D=∠BAC=90°, (2)①四边形 AGDH 为正方形, 理由:如图 1,

延长 ED 交 BC 于 M,延长 FD 交 BC 于 N, ∵△DEF∽△ABC, ∴∠B=∠C,

∵EF∥BC, ∴∠E=∠EMC, ∴∠B=∠EMC, ∴AB∥DE, 同理:DF∥AC, ∴四边形 AGDH 为平行四边形, ∵∠D=90°, ∴四边形 AGDH 为矩形, ∵GH⊥AD, ∴四边形 AGDH 为正方形; ②当点 D 在△ ABC 内部时,四边形 AGDH 的面积不可能最大, 理由:如图 2,

点 D 在内部时(N 在△ ABC 内部或 BC 边上),延长 GD 至 N,过 N 作 NM⊥AC 于 M, ∴矩形 GNMA 面积大于矩形 AGDH, ∴点 D 在△ ABC 内部时,四边形 AGDH 的面积不可能最大, 只有点 D 在 BC 边上时,面积才有可能最大, 如图 3,

点 D 在 BC 上, ∵DG∥AC, ∴△BGD∽△BAC, ∴ ,

∴ ∴

, ,

∴AH=8﹣ GA, S 矩形 AGDH=AG×AH=AG×(8﹣ AG)=﹣ AG2+8AG, 当 AG=﹣ =3 时,S 矩形 AGDH 最大,此时,DG=AH=4,

即:当 AG=3,AH=4 时,S 矩形 AGDH 最大, 在 Rt△ BGD 中,BD=5, ∴DC=BC﹣BD=5, 即:点 D 为 BC 的中点, ∵AD= BC=5, ∴PA=AD=5, 延长 PA,∵EF∥BC,QP⊥EF, ∴QP⊥BC, ∴PQ 是 EF,BC 之间的距离, ∴D 是 EF 的距离为 PQ 的长, 在△ ABC 中, ∴AQ=4.8 ∵△DEF∽△ABC, ∴k= = = . AB×AC= BC×AQ

【点评】此题是相似三角形的综合题,主要考查了相似三角形的性质和判定,平行四边形, 矩形, 正方形的判定和性质, 极值的确定, 勾股定理的逆定理, 解本题的关键是作出辅助线,

10. (2016 吉林长春,20,7 分)如图,在?ABCD 中,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 的 延长线上,且 DF=BE,BE 与 CD 交于点 G (1)求证:BD∥EF; (2)若 = ,BE=4,求 EC 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 【分析】(1)根据平行四边的判定与性质,可得答案; (2)根据相似三角形的判定与性质,可得答案. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC. ∵DF=BE, ∴四边形 BEFD 是平行四边形, ∴BD∥EF; (2)∵四边形 BEFD 是平行四边形, ∴DF=BE=4. ∵DF∥EC, ∴△DFG∽CEG, ∴ = , =4× =6.

∴CE=

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,利用了平行四边形的判定与性质,相似三角 形的判定与性质. 11.(2016·广东广州)如图 9 ,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=-x+3 与 x 轴交于点 C , 与直线 AD 交于点 A(

4 5 , ),点 D 的坐标为(0,1) 3 3

(1)求直线 AD 的解析式; (2)直线 AD 与 x 轴交于点 B ,若点 E 是直线 AD 上一动点(不与点 B 重合) ,当 △BOD 与

△BCE 相似时,求点 E 的坐标

y

A D x O 图9 C

【难易】 中等 【考点】 一次函数 相似 【解析】 (1)首先设出一次函数解析式,将点 A,D 代入即可求出一次函数解析式;(2)先写 出 OB,OD,BC 的长度,然后分两种情况讨论 1:△BOD∽△BCE;2:△BOD∽△BEC. 【参考答案】 (1)设直线 AD 的解析式为 y=kx+b 将点 A ( , ), D (0,1) 代入直线 y=kx+b 中得:

4 5 3 3 4 5 k+b= 3 3

b=1

解得:

k=

1 2 1 x ?1 2

b=1

? 直经 AD 的解析式为: y ?
(2)设点 E 的坐标为(m, 令y?

1 m+1) 2

1 x ? 1 ? 0 得 x=-2 2

? 点 B 的坐标为(-2,0)
令 y=-x+3=0 得 x=3

? 点 C 的坐标为(3,0) ? OB=2, OD=1, BC=5, BD= 1 ? 2 2 ? 5
1. 当△BOD∽△BCE 时,如图(1)所示,过点 C 作 CE ? BC 交直线 AB 于 E:

OB OD ? BC CE

2 1 ? 5 CE 5 ? CE= 2 1 5 ? m+1= ,解得 m=3 2 2
? ? 此时 E 点的坐标为(3,

5 ) 2

2. △BOD∽△BEC 时,如图(2)所示,过点 E 作 EF ? BC 于 F 点,则:

OD BD ? CE BC
?

1 5 ? CE 5

? CE= 5
? BE= BC 2 ? CE 2 ? 25 ? 5 ? 2 5 ?

1 1 BE*CE= EF*BC 2 2

? 2 5 ? 5 ? EF ? 5 ? EF=2
?

1 m ? 1 ? 2 解得 m=2 2 5 ) , (2,2). 2

? 此时 E 点的坐标为(2,2) ? 当△BOD 与△BCE 相似时,满足条件的 E 坐标(3,

12. (2016· 广东梅州) 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, AC=5cm, ∠BAC=60°, 动点 M 从点 B 出发,在 BA 边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动,同时动点 N 从点 C 出发,在 CB 边上以每 秒 3 cm 的速度向点 B 匀速运动,设运动时间为 t 秒 (0 ? t ? 5 ) ,连接 MN. (1)若 BM=BN,求 t 的值; (2)若△MBN 与△ABC 相似,求 t 的值; (3)当 t 为何值时,四边形 ACNM 的面积最小? 并求出最小值. 考点:三角形的面积,三角形相似的性质,二次函数的图象及其性质。 解析: (1)∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°, ∴ AB ? 10 , BC ? 5 3 . 由题意知 BM ? 2t , CN ? ………………………1 分

3t , BN ? 5 3 ? 3t ,

由 BM=BN 得 2t ? 5 3 ? 3t ,………………………2 分 解得: t ?

5 3 2? 3

? 10 3 ? 15 .………………………3 分

(2)①当△MBN∽△ABC 时, ∴

MB BN 5 2t 5 3 ? 3t ? ,即 解得: t ? .…………5 分 ? AB BC 2 10 5 3 ,

②当△NBM∽△ABC 时, ∴

NB BM 15 5 3 ? 3t 2t ? , 即 解得: t ? . ? AB BC 7 10 5 3,
5 15 或t ? 时,△MBN 与△ABC 相似.………………………7 分 7 2

∴当 t ?

(3)过 M 作 MD⊥BC 于点 D,可得:

MD ? t .……………8 分
设四边形 ACNM 的面积为 y ,

∴ y ? S ?ABC ? S ?BMN ?

1 1 AC ? BC ? BN ? MD 2 2

?

1 1 ? 5 ? 5 3 ? (5 3 ? 3t ) ? t 2 2
3 2 5 3 25 3 t ? t? 2 2 2
……………9 分 ?

?

3 5 75 (t ? ) 2 ? 3. 2 2 8

∴根据二次函数的性质可知,当 t ?

5 时, y 的值最小. 2

此时, y 最小 ?

75 3 ………………………10 分 8

13. (2016 年浙江省宁波市)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相 交, 顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形, 如果分得的两个小三角形中 一个为等腰三角形, 另一个与原三角形相似, 我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线. (1)如图 1,在△ ABC 中,CD 为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD 为△ ABC 的 完美分割线. CD 是△ ABC 的完美分割线, ∠A=48°, (2) 在△ ABC 中, 且△ ACD 为等腰三角形, 求∠ACB 的度数. (3)如图 2,△ ABC 中,AC=2,BC= ,CD 是△ ABC 的完美分割线,且△ ACD 是以 CD

为底边的等腰三角形,求完美分割线 CD 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质. 【专题】新定义. 【分析】(1)根据完美分割线的定义只要证明①△ ABC 不是等腰三角形,②△ ACD 是等 腰三角形,③△ BDC∽△BCA 即可. (2)分三种情形讨论即可①如图 2,当 AD=CD 时,②如图 3 中,当 AD=AC 时,③如图 4 中,当 AC=CD 时,分别求出∠ACB 即可.

(3)设 BD=x,利用△ BCD∽△BAC,得

=

,列出方程即可解决问题.

【解答】解:(1)如图 1 中,∵∠A=40°,∠B=60°, ∴∠ACB=80°, ∴△ABC 不是等腰三角形, ∵CD 平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°, ∴∠ACD=∠A=40°, ∴△ACD 为等腰三角形, ∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC, ∴CD 是△ ABC 的完美分割线. (2)①当 AD=CD 时,如图 2,∠ACD=∠A=45°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°. ②当 AD=AC 时,如图 3 中,∠ACD=∠ADC= ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°. ③当 AC=CD 时,如图 4 中,∠ADC=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍弃. ∴∠ACB=96°或 114°. (3)由已知 AC=AD=2, ∵△BCD∽△BAC, ∴ ∴( = ,设 BD=x, )2=x(x+2), =66°,

∵x>0,

∴x=

﹣1,

∵△BCD∽△BAC, ∴ = = ×2= , ﹣ .

∴CD=

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是理解 题意,学会分类讨论思想,属于中考常考题型.

14. (2016 年浙江省衢州市)如图 1,在直角坐标系 xoy 中,直线 l:y=kx+b 交 x 轴,y 轴 于点 E,F,点 B 的坐标是(2,2) ,过点 B 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为 A、C,点 D 是线段 CO 上的动点,以 BD 为对称轴,作与△ BCD 或轴对称的△ BC′D. (1)当∠CBD=15°时,求点 C′的坐标. (2) 当图 1 中的直线 l 经过点 A,且 k=﹣ 时(如图 2) ,求点 D 由 C 到 O 的运动过程中,

线段 BC′扫过的图形与△ OAF 重叠部分的面积.

(3)当图 1 中的直线 l 经过点 D,C′时(如图 3) ,以 DE 为对称轴,作于△ DOE 或轴对称 的△ DO′E,连结 O′C,O′O,问是否存在点 D,使得△ DO′E 与△ CO′O 相似?若存在,求出 k、b 的值;若不存在,请说明理由.

【考点】相似形综合题. 【分析】 (1)利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD=15°,C′B=CB=2,进而得出 CH 的 长,进而得出答案; (2)首先求出直线 AF 的解析式,进而得出当 D 与 O 重合时,点 C′与 A 重合,且 BC′扫过 的图形与△ OAF 重合部分是弓形,求出即可; (3)根据题意得出△ DO′E 与△ COO′相似,则△ COO′必是 Rt△ ,进而得出 Rt△ BAE≌Rt△ BC′E(HL) ,再利用勾股定理求出 EO 的长进而得出答案. 【解答】解: (1)∵△CBD≌△C′BD, ∴∠CBD=∠C′BD=15°,C′B=CB=2, ∴∠CBC′=30°, 如图 1,作 C′H⊥BC 于 H,则 C′H=1,HB= ∴CH=2﹣ , ,1) ; ,

∴点 C′的坐标为: (2﹣

(2)如图 2,∵A(2,0) ,k=﹣ ∴代入直线 AF 的解析式为:y=﹣ ∴b= , x+

, x+b,

则直线 AF 的解析式为:y=﹣ ∴∠OAF=30°,∠BAF=60°,



∵在点 D 由 C 到 O 的运动过程中,BC′扫过的图形是扇形,

∴当 D 与 O 重合时,点 C′与 A 重合, 且 BC′扫过的图形与△ OAF 重合部分是弓形, 当 C′在直线 y=﹣ x+ 上时,BC′=BC=AB,

∴△ABC′是等边三角形,这时∠ABC′=60°, ∴重叠部分的面积是: ﹣ ×22=π﹣ ;

(3)如图 3,设 OO′与 DE 交于点 M,则 O′M=OM,OO′⊥DE, 若△ DO′E 与△ COO′相似,则△ COO′必是 Rt△ , 在点 D 由 C 到 O 的运动过程中,△ COO′中显然只能∠CO′O=90°, ∴CO′∥DE, ∴CD=OD=1, ∴b=1, 连接 BE,由轴对称性可知 C′D=CD,BC′=BC=BA, ∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°, 在 Rt△ BAE 和 Rt△ BC′E 中 ∵ ,

∴Rt△ BAE≌Rt△ BC′E(HL) , ∴AE=C′E, ∴DE=DC′+C′E=DC+AE, 设 OE=x,则 AE=2﹣x, ∴DE=DC+AE=3﹣x, 由勾股定理得:x2+1=(3﹣x)2, 解得:x=, ∵D(0,1) ,E(,0) , ∴k+1=0,

解得:k=﹣



∴存在点 D,使△ DO′E 与△ COO′相似,这时 k=﹣,b=1.

15. (2016.山东省泰安市)如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BCD,AC⊥AB,E 是 BC 的中点,AD⊥AE. (1)求证:AC =CDBC; (2)过 E 作 EG⊥AB,并延长 EG 至点 K,使 EK=EB. ①若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点,点 F 为 AC 的中点,求证:FH⊥GH; ②若∠B=30°,求证:四边形 AKEC 是菱形.
2

【分析】 (1)欲证明 AC =CDBC,只需推知△ ACD∽△BCA 即可; (2)①连接 AH.构建直角△ AHC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰 对等角以及等量代换得到:∠FHG=∠CAB=90°,即 FH⊥GH; ②利用“在直角三角形中,30 度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半”推知四边形 AKEC 的四条边都相等,则四边形 AKEC 是菱形.

2

【解答】证明: (1)∵AC 平分∠BCD, ∴∠DCA=∠ACB. 又∵AC⊥AB,AD⊥AE, ∴∠DAC+∠CAE=90°,∠CAE+∠EAB=90°, ∴∠DAC=∠EAB. 又∵E 是 BC 的中点, ∴AE=BE, ∴∠EAB=∠ABC, ∴∠DAC=∠ABC, ∴△ACD∽△BCA, ∴ =
2



∴AC =CDBC;

(2)①证明:连接 AH. ∵∠ADC=∠BAC=90°,点 H、D 关于 AC 对称, ∴AH⊥BC. ∵EG⊥AB,AE=BE,

∴点 G 是 AB 的中点, ∴HG=AG, ∴∠GAH=GHA. ∵点 F 为 AC 的中点, ∴AF=FH, ∴∠HAF=∠FHA, ∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°, ∴FH⊥GH; ②∵EK⊥AB,AC⊥AB, ∴EK∥AC, 又∵∠B=30°, ∴AC=BC=EB=EC. 又 EK=EB, ∴EK=AC, 即 AK=KE=EC=CA, ∴四边形 AKEC 是菱形.

【点评】本题考查了四边形综合题,需要熟练掌握相似三角形的判定与性质,“直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中,30 度角所对的直角边等于斜边的一半” 以及菱形的判定才能解答该题,难度较大. 16. (2016·江苏泰州)如图,△ ABC 中,AB=AC,E 在 BA 的延长线上,AD 平分∠CAE. (1)求证:AD∥BC; (2)过点 C 作 CG⊥AD 于点 F,交 AE 于点 G,若 AF=4,求 BC 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质;角平分线的定义. 【分析】 (1)由 AB=AC,AD 平分∠CAE,易证得∠B=∠DAG=∠CAG,继而证得结论; (2)由 CG⊥AD,AD 平分∠CAE,易得 CF=GF,然后由 AD∥BC,证得△ AGF∽△BGC, 再由相似三角形的对应边成比例,求得答案. 【解答】 (1)证明:∵AD 平分∠CAE, ∴∠DAG=∠CAG, ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∵∠CAG=∠B+∠ACB, ∴∠B=∠CAG, ∴∠B=∠CAG, ∴AD∥BC;

(2)解:∵CG⊥AD, ∴∠AFC=∠AFG=90°, 在△ AFC 和△ AFG 中, , ∴△AFC≌△AFG(ASA) , ∴CF=GF, ∵AD∥BC, ∴△AGF∽△BGC, ∴GF:GC=AF:BC=1:2, ∴BC=2AF=2×4=8.

17. (2016·江苏无锡)如图,已知?ABCD 的三个顶点 A(n,0) 、B(m,0) 、D(0,2n) (m>n>0) ,作?ABCD 关于直线 AD 的对称图形 AB1C1D (1)若 m=3,试求四边形 CC1B1B 面积 S 的最大值; (2)若点 B1 恰好落在 y 轴上,试求的值.

【考点】坐标与图形性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 【分析】 (1) 如图 1, 易证 S?BCEF=S?BCDA=S?B1C1DA=S?B1C1EF, 从而可得 S?BCC1B1=2S?BCDA= ﹣4(n﹣)2+9,根据二次函数的最值性就可解决问题; (2)如图 2,易证△ AOD∽△B1OB,根据相似三角形的性质可得 OB1=,然后在 Rt△ AOB1 中运用勾股定理就可解决问题. 【解答】解: (1)如图 1, ∵?ABCD 与四边形 AB1C1D 关于直线 AD 对称, ∴四边形 AB1C1D 是平行四边形,CC1⊥EF,BB1⊥EF, ∴BC∥AD∥B1C1,CC1∥BB1, ∴四边形 BCEF、B1C1EF 是平行四边形, ∴S?BCEF=S?BCDA=S?B1C1DA=S?B1C1EF, ∴S?BCC1B1=2S?BCDA. ∵A(n,0) 、B(m,0) 、D(0,2n) 、m=3, ∴AB=m﹣n=3﹣n,OD=2n,

∴S?BCDA=AB?OD=(3﹣n)?2n=﹣2(n2﹣3n)=﹣2(n﹣)2+



∴S?BCC1B1=2S?BCDA=﹣4(n﹣)2+9. ∵﹣4<0,∴当 n=时,S?BCC1B1 最大值为 9;

(2)当点 B1 恰好落在 y 轴上,如图 2, ∵DF⊥BB1,DB1⊥OB, ∴∠B1DF+∠DB1F=90°,∠B1BO+∠OB1B=90°, ∴∠B1DF=∠OBB1. ∵∠DOA=∠BOB1=90°, ∴△AOD∽△B1OB, ∴ ∴ = = , ,

∴OB1=. 由轴对称的性质可得 AB1=AB=m﹣n. 在 Rt△ AOB1 中, n2+()2=(m﹣n)2, 整理得 3m2﹣8mn=0. ∵m>0,∴3m﹣8n=0,

∴=



18.(2016?江苏省扬州如图 1,△ABC 和△DEF 中,AB=AC,DE=DF,∠A=∠D.

(1)求证:

=



(2)由(1)中的结论可知,等腰三角形 ABC 中,当顶角∠A 的大小确定时,它的对边(即 底边 BC)与邻边(即腰 AB 或 AC)的比值也就确定,我们把这个比值记作 T(A) ,即 T (A)= ①理解巩固:T(90° )= 范围是 0<T(α)<2 ; ②学以致用:如图 2,圆锥的母线长为 9,底面直径 PQ=8,一只蚂蚁从点 P 沿着圆锥的侧 面爬行到点 Q,求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到 0.1) . (参考数据:T≈1.97,T(80° )≈1.29,T(40° )≈0.68) 【考点】相似形综合题. 【分析】 (1)证明△ABC∽△DEF,根据相似三角形的性质解答即可; (2)①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可; ②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算,得到扇形的圆心角,根据 T(A) 的定义解答即可. 【解答】解: (1)∵AB=AC,DE=DF, = ,如 T(60° )=1. ,T= ,若 α 是等腰三角形的顶角,则 T(α)的取值



=



又∵∠A=∠D, ∴△ABC∽△DEF, ∴ = ;

(2)①如图 1,∠A=90° ,AB=AC, 则 = , ,

∴T(90° )=

如图 2,∠A=90° ,AB=AC, 作 AD⊥BC 于 D, 则∠B=60° , ∴BD= ∴BC= ∴T= AB, AB, ;

∵AB﹣AC<BC<AB+AC, ∴0<T(α)<2, 故答案为: ; ;0<T(α)<2;

②∵圆锥的底面直径 PQ=8, ∴圆锥的底面周长为 8π,即侧面展开图扇形的弧长为 8π, 设扇形的圆心角为 n° , 则 =8π,

解得,n=160, ∵T≈1.97, ∴蚂蚁爬行的最短路径长为 1.97×9≈17.7.

19.(2016?呼和浩特)如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线
于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC. (1)求证:∠FBC=∠FCB; (2)已知 FA?FD=12,若 AB 是△ABC 外接圆的直径,FA=2,求 CD 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的外接圆与外心. 【分析】 (1)由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD,再由角平分线和对 顶角相等得出∠FAB=∠CAD,由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB,即可得出结论; (2) 由 (1) 得: ∠FBC=∠FCB, 由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC, 由公共角∠BFA=∠BFD, 证出△AFB∽△BFD,得出对应边成比例求出 BF,得出 FD、AD 的长,由圆周角定理得出 ∠BFA=∠BCA=90° ,由三角函数求出∠FBA=30° ,再由三角函数求出 CD 的长即可. 【解答】 (1)证明:∵四边形 AFBC 内接于圆, ∴∠FBC+∠FAC=180° , ∵∠CAD+∠FAC=180° , ∴∠FBC=∠CAD, ∵AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线, ∴∠EAD=∠CAD, ∵∠EAD=∠FAB, ∴∠FAB=∠CAD, 又∵∠FAB=∠FCB, ∴∠FBC=∠FCB; (2)解:由(1)得:∠FBC=∠FCB,

又∵∠FCB=∠FAB, ∴∠FAB=∠FBC, ∵∠BFA=∠BFD, ∴△AFB∽△BFD, ∴ ,

∴BF2=FA?FD=12, ∴BF=2 ∵FA=2, ∴FD=6,AD=4, ∵AB 为圆的直径, ∴∠BFA=∠BCA=90° , ∴tan∠FBA= ∴∠FBA=30° , 又∵∠FDB=∠FBA=30° , ∴CD=AD?cos30°=4× =2 . = = , ,


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