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人教a版选修1-1课时教案:2.2.1双曲线及标准方程


教学目标:
1.通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,理解双曲线的定义,体会双曲 线标准方程的探索推导过程. 2. 使学生在学会知识的过程中,进一步熟练用坐标法建立曲线方程,培养学生等价转 化、 数形结合等数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力. 3. 通过对定义与方程的探索、评价,优化学生的思维品质,培养学生运动变化、辨证 统 一的思想.

教学重点与难点
双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点. 定义中“差的绝对值” 、a 与 c 的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.

教学方法:实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法 教学用具:CAI 课件、 演示教具 课时安排: 一课时 教学过程:
一、课题导入 师:椭圆的定义是什么? (学生口述椭圆的定义,教师利用 CAI 课件把椭圆的定义和图象放出来.) 师:椭圆定义是由轨迹的问题引出来的,我们把满足几何条件|PF1|+|PF2|=2a(常数) (2a>|F1F2|)的动点 P 的轨迹叫椭圆.下面,我们来做这样一个实验: (同学分组实验:利用拉链演示双曲线的生成过程,导入课题)

师:通过这个实验,我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线,这是一类什么曲线呢?这 就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题) 二、定义探究 师:我们知道满足几何条件|PF1|+|PF2|=2a(常数)的动点 P 的轨迹是椭圆,那双曲线 应该是点 P 满足什么几何条件的轨迹呢? (引导学生从刚才的演示实验中寻找答案: |PF1|-|PF2|=2a 或|PF2|-|PF1|=2a) 师: 是不是有以上规律呢?为了更直观的体现我们刚才的实验过程, 下面我们来验证一下. (播放双曲线 flash 生成动画,验证几何条件) 师:实验证明当点 P 满足以上几何条件时,我们得到的轨迹确实是双曲线,如果 |PF1|>|PF2|,则得到曲线的右支,如果|PF2|>|PF1|则得到曲线的左支, 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢?

三、方程推导 师:平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题,借助于曲线的方程来揭 示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么? (学生口述教师板书椭圆的标准方程)

师:椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的,在此我们完全可以仿 效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程. (学生在草稿纸上试着完成,教师板书方程的推导过程) 建 立 直 角 坐 标 系 , 设 双 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐 标 为 P(x 、 y), | F1F2 | =2c , 并 设 F1(-c,0),F2(c,0). 由两点间距离公式,得
2 2 2 2 |PF1|= ( x ? c) ? y ,|PF2|= ( x ? c) ? y

由双曲线定义,得 |PF1|-|PF2|=±2a 即

( x ? c) 2 ? y 2 - ( x ? c) 2 ? y 2 =±2a
化简方程

( x ? c) 2 ? y 2 =±2a+ ( x ? c) 2 ? y 2
两边平方,得
2 2 2 2 2 2 2 (x+c) +y =4a ±4a ( x ? c) ? y +(x-c) +y

化简得:
2 2 2 cx-a =± ( x ? c) ? y

两边再平方,整理得 2 2 2 2 2 2 2 2 (c -a )x -a y =a (c -a ) (为使方程简化,更为对称和谐起见) 由 2c-2a>0,即 c>a,所以 c -a >0 设 c -a =b (b>0),代入上式,得 2 2 2 2 2 2 b x -a y =a b
2 2 2 2 2

也就是 2 2 2 2 x /a -y /b =1 师: 利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程, 它同样具有方程简单、 对称, 具有和谐美的特点,便于我们今后研究双曲线的有关性质 .这一简化的方程称为双曲线的 标准方程.结合图形再一次理解方程中 a>0, b>0 的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方 2 2 2 2 2 2 程得到了简化、和谐,也有特殊的几何意义.具有 c =a +b ,区别其与椭圆中 a =b +c 的不 同之处.

(师生共析:双曲线的方程右边为 1,左边是两个完全平方项,符号一正一负,为正的项 相 应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点” ) 四、巩固内化 例:已知两定点 F1 ?? 5,0?, F2 (5,0) ,求到这两点的距离之差的绝对值为 8 的点的轨迹方 程。 变式:(1)若两定点为 F1 ?0,?5?, F2 (0,5) 则轨迹方程如何? 变式:(2)若两定点为 F1 F2 ? 10 则轨迹方程如何? (例由师生共同分析共同完成,(1)、(2)由学生完成) 方法总结:求双曲线标准方程,先定位再定量.

五、课堂小结

(1)双曲线的定义及其标准方程 (2)把握方程中的 3 个常数 a,b,c 间的关系: c =a +b . 如何确定焦点位置,会求双曲线 的标准方程
2 2 2

六、课堂作业(略)

七、板书设计
课题:双曲线及其标准方程 1.复习回顾: 2.双曲线定义: 3.方程建立: 标准方程: 与椭圆比较表: 4.例题: 5.练习


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