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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:3-1-2-2 两角和与差的正切


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
三角恒等变换

第三章

三角恒等变换

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第三章
3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三章

三角恒等变换

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第三章
3. 1.2 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式

第三章

三角恒等变换

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第三章
第2课时 两角和与差的正切

第三章

三角恒等变换

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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课前自主预习

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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温故知新 1.两角和与差的余弦公式 (1)差角公式C(α-β):cos(α-β)=________. (2)和角公式C(α+β):cos(α+β)=________.
[答案] (1)cosαcosβ+sinαsinβ

(2)cosαcosβ-sinαsinβ

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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2.两角和与差的正弦公式 (1)和角公式S(α+β):sin(α+β)=________. (2)差角公式S(α-β):sin(α-β)=________.
[答案] (1)sinαcosβ+cosαsinβ

(2)sinαcosβ-cosαsinβ

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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3.同角间三角函数关系 (1)平方关式________. (2)商式关系:________.
[答案] (1)sin2α+cos2α=1

sinα (2)tanα=cosα

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3.1 3.1.2

第2课时

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4.求值:(1)cos44° sin14° -sin44° cos14° =________; (2)sin(54° -x)cos(36° +x)+cos(54° -x)sin(36° +x)= ________. [分析] 运用S(α±β). (1)符合S(α-β),(2)符合S(α+β)的结构特征,可直接

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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[解析]

(1)原式=sin14° cos44° -cos14° sin44°

1 =sin(14° -44° )=sin(-30° )=- . 2 (2)原式=sin[(54° -x)+(36° +x)] =sin90° =1.

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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新课引入

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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如上图所示,在南非举行的世界杯足球比赛中,某球员 带球至前场沿边线推进,欲从侧面射门,试想该队员在边线 某点P应在什么位置时射门角度最好?通过今天的学习,你就 会得到一个满意的答案.

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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自主预习 阅读教材P128-130回答下列问题. sinα 1.由S(α+β)及C(α+β)及同角关系式tanα= 可得,tan(α+ cosα sinαcosβ+cosαsinβ sin?α+β? 展开 分子、分母同除以 β)= ===== cosαcosβ-sinαsinβ . ===== cos?α+β? cosαcosβ
tanα+tanβ π 1-tanα· .使此表达式有意义的α、β、α+β均不等于 kπ+2(k tanβ

∈Z)



第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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2.推导tan(α-β)的公式,既可以用tan(α-β)= sin?α-β? ,也可以将tan(α-β)变换为tan[α+(-β)].自己写出 cos?α-β? tanα-tanβ 推证过程,结果为tan(α-β)= 1+tanαtanβ .使此表达式有意 π 义的α、β、α-β,均不等于 kπ+2(k∈Z) .

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3.1 3.1.2

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3.两角和与差的三角函数公式间的关系

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3.1 3.1.2

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4 若tanα=3,tanβ=3,则tan(α-β)=( A.-3 C.3 1 B.-3 1 D. 3

)

[答案] D

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3.1 3.1.2

第2课时

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tanα-tanβ [解析] tan(α-β)= = 1+tanαtanβ

1 4=3. 1+3×3

4 3- 3

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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tan10° tan20° 3(tan10° + +tan20° )的值等于( 1 A. 3 C. 3 B.1 D. 6

)

[答案] B

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3.1 3.1.2

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[解析]

tan10° +tan20° 3 ∵ =tan30° 3 , = 1-tan10° tan20°

3 ∴tan10° +tan20° 3 (1-tan10° = tan20° ). ∴原式=tan10° tan20° +1-tan10° tan20° =1.

第三章

3.1 3.1.2

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课堂典例讲练

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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思路方法技巧
命题方向1 用正切公式求三角函数值
1 1 设tanα=2,tanβ=3,且α、β都是锐角,求α+β的 值. [分析] 结合已知条件,考虑求α+β的正切值.

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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1 1 + tanα+tanβ 2 3 [解析] tan(α+β)= = 1 1=1. 1-tanαtanβ 1-2×3 π 又∵α、β∈(0, ),∴α+β∈(0,π),∴α+β∈(0,π), 2 π ∴α+β=4.

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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[点评]

在利用三角函数值求角的大小要注意角的范围,

防止多解或漏解.

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3.1 3.1.2

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1 已知tanx= 4 ,tany=-3,则tan(x+y)=________,tan(x -y)=________.
11 -7

[答案]

13

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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1 -3 tanx+tany 4 [解析] tan(x+y)= = 1 1-tanxtany 1-4×?-3? 11 =- 7 . tanx-tany tan(x-y)= = 1+tanxtany 1 4+3

1=13. 1+?-3?×4

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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1 1 tan(α-β)= ,tanβ= ,则tanα=( 2 3 A.1 1 C. 5 1 B.7 5 D. 7

)

[答案] A

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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[解析] tanα=tan[(α-β)+β] 1 1 + tan?α-β?+tanβ 2 3 = = =1. 1 1 1-tan?α-β?tanβ 1- × 2 3

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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命题方向2

两角和与差的正切公式的逆用及变
求值:

3-tan15° 1+tan15° (1) ;(2) . 1+tan165° 1+ 3tan15° [分析] 利用常数代换,将(1)、(2)整理成两角和与差的正

切公式的形式.

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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[解析] =1.

tan60° -tan15° (1)原式= =tan(60° -15° )=tan45° 1+tan60° tan15°

1+tan15° tan45° +tan15° (2)原式= = =tan(45° +15° )= 1-tan15° 1-tan45° tan15° tan60° 3. =

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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[点评]

注意利用常数代换,熟记几个特殊三角函数值对

应的角的度数:1=tan45° 3=tan60° , 等.

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3.1 3.1.2

第2课时

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化简求值: 1+tan75° (1) ; 1-tan75° (2)(1+tan1° )(1+tan2° )…(1+tan44° ); (3)tan25° +tan35° 3tan25° + tan35° .

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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[解析]

tan45° +tan75° (1)原式= =tan(45° +75° )=- 3. 1-tan45° tan75°

(2)因为(1+tan1° )(1+tan44° )=1+tan1° +tan44° + tan1° ×tan44° =2,同理(1+tan2° )(1+tan43° )=2,…,所以原 式=222. tan25° +tan35° (3)∵tan60° =tan(25° +35° )= = 3 1-tan25° tan35° ∴tan25° +tan35° 3(1-tan25° = tan35° ) ∴tan25° +tan35° 3tan25° + tan35° 3. =

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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建模应用引路
命题方向3 三角形形状的判断

已知△ABC中,tanB+tanC+ 3 tanB· tanC= 3 ,且 3tanA+ 3tanB=tanA· tanB-1,试判断△ABC的形状. [分析] 条件式都是两角正切的和(差)与积的形式,故可 考虑应用T(α±β)或其变式求解.

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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[解析]

若tanBtanC=1,∵tanB+tanC+

3 tanB· tanC=

3 ,则tanB+tanC=0,∴tanB=-tanC,∴tan2C=-1,这 不可能. 故tanBtanC≠1. 由tanB+tanC+ 3tanBtanC= 3得, tanB+tanC = 3, 1-tanB· tanC ∴tan(B+C)= 3(1) 同理tanAtanB≠1,

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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故∵ 3tanA+ 3tanB=tanA· tanB-1, tanA+tanB 3 ∴ =- 3 1-tanA· tanB 3 ∴tan(A+B)=- 3 (2) 又∵A、B、C为△ABC的内角, ∴B+C=60° ,A+B=150° .∴A=120° ,B=C=30° . ∴△ABC为顶角为钝角的等腰三角形.

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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在△ABC中,若tanAtanB>1,则△ABC的形状是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定

)

[答案]

A

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3.1 3.1.2

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[解析] tanB>0,

在△ABC中,由tanA· tanB>1,知tanA>0,

tanA+tanB 从而A、B为锐角,又tan(A+B)= <0, 1-tanAtanB 即tanC=-tan(A+B)>0, ∴C为锐角,故△ABC为锐角三角形.

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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探索延拓创新
命题方向4 综合应用问题

已知tanα、tanβ是方程x2+x-6=0的两个根,求sin2(α +β)-3sin(α+β)· cos(α+β)-3cos2(α+β)的值. [分析] 由一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ与

tanα· tanβ,进而可得tan(α+β),分子、分母同除以cos2(α+β)可 化切(注意原式的分母可看作1=sin2(α+β)+cos2(α+β)).

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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[解析]

∵tanα、tanβ是方程x2+x-6=0的两个根,∴

tanα+tanβ=-1,tanαtanβ=-6, tanα+tanβ 1 ∴tan(α+β)= =- . 7 1-tanαtanβ sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β) sin2?α+β?-3sin?α+β?cos?α+β?-3cos2?α+β? = sin2?α+β?+cos2?α+β? 1 = [tan2(α+β)-3tan(α+β)-3] 2 1+tan ?α+β?
? 49 ? 1 3 5 ? + -3?=- . = × 49 7 50 ? 2 ?

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为 tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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[解析]

b c 由韦达定理,有tanα+tanβ=- a ,tanαtanβ= a ,

b - tanα+tanβ a b ∴tan(α+β)= = c=c-a. 1-tanαtanβ 1- a

第三章

3.1 3.1.2

第2课时

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课后强化作业(点此链接)

第三章

3.1 3.1.2

第2课时


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