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江苏省启东中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题

江苏省启东中学 2017-2018 学年度第一学期期终考试 高二数学试卷
注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡 上对应题目 ... 的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 参考公式: 1 方差 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2],其中 x 为 x1,x2,…,xn 的平均数. n 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答 题卡 相应位置 . .. .... 上. 1.复数 z ? i ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部是 1? i

2018.1.8





2.命题 p : ?x ? R ,使得 x 2 ? 2 ? 0 的否定为_____▲____. 3.执行如图所示的伪代码,若输出 y 的值为 1,则输入 x 的值为 4.已知一组数据 4.8,4.9,5.2,5.5,5.6,则该组数据 的方差是
2



Read x If x≥0 Then y←2x+1 Else . y← 2-x2 End If Print y
(第 3 题)

▲ . ▲ .

5.抛物线 x =4 y 的焦点到准线的距离为

6.某校高一年级有学生 400 人,高二年级有学生 360 人,现采用分层抽样的方法从全校学 生中抽出 56 人,其中从高一年级学生中抽出 20 人,则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ .

7.观察下列各式 9﹣1=8,16﹣4=12,25﹣9=16,36﹣16=20…,这些等式反映了自然数间 的某种规律,设 n 表示自然数,用关于 n 的等式表示为 8.离心率为 2 且与椭圆 ▲ ..

y2 x2 =1 有共同焦点的双曲线方程是___▲____ . + 25 9

9.将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1, 2,3, 4,5, 6 个点为正方体玩具)先后抛 掷 2 次,则出现向上的点数之和不小于 9 的概率是 ▲ .

2 2 10.已知命题 P:?x ?[1, 2], x ? a ? 0 ,命题 q:?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ,若 p ? q 是

真命题,则实数 a 的取值范围是


1



11. 在 平面直角坐标系 xoy 中, 直线 mx ? y ? 3m ? 2 ? 0(m ? R) 被圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 截
2 2

得的所有弦中弦长的最小值为





12.已知点 A 的坐标是(1,1), F1 是椭圆 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 的 左焦点,点 P 在椭圆上移动, 则 PA ? 2 PF 1 的最小值 13.已知圆 C : x ? 3 3 ▲
2



?

?

2

? ? y ? 5? ? 4 和两点 A ? 3m, 0 , B

?

?

?

3m, 0 ( m ? 0 ) ,若

?

圆 C 上存在点 P ,使得 ?APB ? 60? ,则实数 m 的取值范围是______▲______.

x2 y2 14.如图, 已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点为 F1 、F2 ,P 是椭圆上一点, a b
M 在 PF 1 上,且满足
, PO ? F2 M , O 为坐标原点.椭圆离心率 e 的取值范

围 ▲ .
y M F1 O P

F2

x

(第 14 题) 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答 题卡 指定区域内 作答,解答时应写出文 . .. ..... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 z 为复数, z ? 2i 和 (1)求复数 z 和 z ; (2)若 z1 ? z ? 3m ? (m2 ? 6)i 在第四象限,求实数 m 的取值范围.

z 均为实数,其中 i 是虚数单位. 2?i

16. (本小题满分 14 分)
2

已知命题 p : ?x ? R , tx 2 ? x ? t ? 0 . (1)若 p 为真命题,求实数 t 的取值范围; (2)命题 q : ?x ? 2,16 , tlog2 x ? 1 ? 0 ,当 p ? q 为真命题且 p ? q 为假命题时, 求实数 t 的取值范围.

?

?

17.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 ? k k ?1
[来源:Zxxk.Com]

(1)求 k 的取值范围; (2)若椭 圆 C 的离心率 e ?

6 ,求 k 的值. 7

18.(本小题满分 16 分)

已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 ,两个定点 A? a,2? , B ? m,1? ,其中 a ? R , m ? 0 . P 为圆

O 上任意一点,且

PA ? ? ( ? 为常数) . PB

(1)求常数 ? 的值; (2)过点 E ? a, t ? 作 直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? m 交于 M , N 两点,若 M 点恰好是线段

NE 的中点,求实数 t 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) (1)找出一个等比数列 ?an ? ,使得 1, 2 ,4 为其中的三项,并指出分别是
3

?an ? 的第几项;
(2)证明: 2 为无理数; (3)证明:1, 2 ,4 不可能为同一等差数列中的三项.

20.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 左焦点 F,左顶点 A,椭圆上一点 B 满足 BF⊥x 轴,且点 B 16 12

在 x 轴下方,BA 连线与左准线 l 交于点 P,过点 P 任意引一直线与椭圆交于 C、D, → → → → 连结 AD、BC 交于点 Q,若实数 λ1,λ2 满足:BC=λ1CQ,QD=λ2DA λ2 的值; (1)求 λ1· (2)求证:点 Q 在一定直线上.
P C
[来源:学科网]

y

D Q A F O
x

B

(第 20 题)

4

江苏省启东中学 2017-2018 学年度第一学期期终考试 高二数学试卷(附加题)
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡 上对应题目 ... 的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 21. (B)选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 M ? ? 2018.1.8 命题人:黄群力

?2 a ? ? , 其 中 a ? R , 若 点 P(1, ?2) 在 矩 阵 M 的 变 换 下 得 到 点 2 1 ? ?

P?(?4, 0) ,
(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量.

21. (C)选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)

? x ? 2 cos ? ?? 2 ? 已知直线的极坐标方程为 ? sin ? ? ? ? ? ,圆 M 的参数方程为 ? 4? 2 ? ? y ? ?2 ? 2sin ?
(其中 ? 为参数). (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方 程; (2)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值.

5

22. (本小题满分 10 分) 如图,正方形 ABCD 的中心为 O ,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF ? 平面 ABCD ,点 G 为 AB 的中点, AB ? BE ? 2 . (1)求二面角 O ? EF ? C 的正弦值; (2)设 H 为 线段 AF 上的点,且 AH ? HF ,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值..
2 3

( 第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:x=-1,点 T(3,0).动点 P 满足 PS⊥l,垂足为 S, → → 且OP·ST=0.设动点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2) 设 Q 是曲线 C 上异于点 P 的另一点, 且直线 PQ 过点(1, 0), 线段 PQ 的中点为 M, → → 直线 l 与 x 轴的交点为 N.求证:向量SM与NQ共线.

6

2017-2018 第一学期高二数学调研试卷答案
一、填空题: 1. 【答案】 1 2

2018.1.8

2. 【答案】 ?x ? R , x 2 ? 2 ? 0 3. 【答案】 ?1 4.【答案】 0.1 5. 【答案】2 6. 【答案】18 7. 【答案】 (n ? 2)2 ? n2 ? 4(n ? 1)(n ? N ? ) 8.【答案】 9.【答案】

y x2 =1 - 4 12
5 18

2

10.【答案】 a ? ?2或a ? 1 11.【答案】 2 2 12.【答案】 5 13. 【答案】 2 ? m ?
1 14. 【答案】 ( ,1? 2

?1 ? 145 3

[来源:Zxxk.Com]

二.解答题
15.【解析】 (1)设 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ,则 b ? 2 ? 0, b ? ?2. 2分 4分 8分

z 2a ? 2 a ? 4 a?4 ? ? i? ? 0 ? a ? 4, 2?i 5 5 5
所以 z ? 4 ? 2i , z ? 2 5. (2) z1 ? 4 ? 3m ? m2 ? 4 i ? { 16. 【解析】

?

?

4 ? 3m ? 0 4 ? ? ?m?2 2 3 m ?4? 0

14 分

2 2 (1)∵ ?x ? R , tx ? x ? t ? 0 ,∴ t ? 0 且 ? ? 1 ? 4t ? 0 ,解得 t ? ?

1 2

7

∴ p 为真命题时, t ? ?

1 . 2

6分

(2) ?x ? 2,16 , tlog2 x ?1 ? 0 ? ?x ? 2,16 , t ? ?

?

?

?

?

1 有解. log 2 x

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

又 x ? 2,16 时, ?

?

?

1 1? ? ? ??1, ? ? ,∴ t ? ?1 . log 2 x ? 4?

8分

∵ p ? q 为真命题且 p ? q 为假命题时,∴ p 真 q 假或 p 假 q 真,

t ? ?1, t ? ?1, 1 当 p 假 q 真,有 { 1 解得 t ? ? ;当 p 真 q 假,有 { 1 解得 t ? ?1 ; 2 t?? , t?? , 2 2
∴ p ? q 为真命题且 p ? q 为假命题时, t ? ?1 或 t ? ? 17. 【解析】 (1)∵方程 表示椭圆,

1 . 2

14 分



,解得 k∈(1,5)∪(5,9)

……6 分(未去 5 扣 2 分)

(2)①当 9﹣k>k﹣1 时,依题意可知 a= ∴c=

,b=

∵ =



∴k=2; ,a= ∴k=8;

10 分

②当 9﹣k<k﹣1 时,依题意可知 b= ∴c= ∵ = ∴

∴k 的值为 2 或 8.(一种情况 4 分共 8 分) 18. 【解析】

14 分

PA ? (1) 设点 P ? x, y ? , x2 ? y 2 ? 4 ,
因 为

? x ? a ? ? ? y ? 2?
2
2

2

, PB ?

? x ? m? ? ? y ?1?
2

2



PA ?? , 所 以 PB

? x ? a ? ? ? y ? 2?
2

2 2 ? ? 2 ?? x ? m ? ? ? y ? 1? ? , 化 简 得 ? ?

8

2ax ? 4 y ? a 2 ? 8 ? ? 2 ? 2mx ? 2 y ? m 2 ? 5 ? , 因 为 P 为 圆 O 上 任 意 一 点 , 所 以

? 2a ? 2m? 2 ?? ? 2 ? ? ? 2 ,又 m ? 0, ? ? 0 ,解得 ? a ? 2 ,所以常数 ? ? 2 . ? 4 ? 2? ? 2 ?m ? 1 2 2 ? ? ?a ? 8 ? ? ? m ? 5?
(2)设 M ? x0 , y0 ? , M 是线段 NE 的中点, N ? 2x0 ? 2,2 y0 ? t ? ,
2 2 ? ? x0 ? y0 ? 1 又 M , N 在圆 C 上,即关于 x, y 的方程组 ? 有解, 2 2 2 x ? 2 ? 2 y ? t ? 1 ? ? ? ? ? 0 ? 0
2 2 ? ? x0 ? y0 ? 1 化简得 ? 有解, 2 ? ?8 x0 ? 4ty0 ? t ? 7 ? 0

8分

即直线 n :8x ? 4ty ? t ? 7 ? 0 与圆 C : x ? y ? 1 有交点,则 d ?
2 2 2

t2 ? 7 64 ? 16t 2

?1,

化简得: t 4 ? 2t 2 ? 15 ? 0 ,解得 t ? ? ? 5, 5 ? .

?

?

16 分

19. 【解析】 (1)取一个等比数列{an}:首项为 1、公比为 2 , 则 则令 ,…2 分 =4,解得 n=5,

所以 a1=1, a2 ? 2 ,a5=4. …4 分 (2)证明:假设 是有理数,则存在互质整数 h、k,使得 ,…5 分

2 2 则 h =2k ,所以 h 为偶数,…7 分 2 2 设 h=2t,t 为整数,则 k =2t ,所以 k 也为偶数,

则 h、k 有公约数 2,这与 h、k 互质相矛盾,…9 分 所以假设不成立,所以 (3)证明:假设 1, 是有理数. …10 分

,4 是同一等差数列中的三项,
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

且分别为第 n、m、p 项且 n、m、p 互不相等,…11 分 设公差为 d,显然 d≠0,则 消去 d 得, ,…13 分
9



由 n、m、p 都为整数,所以 由(2)得

为有理数,

是无理数,所以等式不可能成立,…15 分 ,4 不可能为同一等差数列中的三项. …16 分.

所以假设不成立,即 1, 20. 【解析】

3 (1)因为 F(-2,0),由 BF⊥x 轴,由对称性不妨设 B(-2,-3),则直线 AB:y=-2(x+4) 又左准线 l:x=-8,所以 P(-8,6) → → → → → PB+λ1PQ 又BC=λ1CQ,所以PC= 1+λ1 , → → → → → PQ+λ2PA 同理由QD=λ2DA,得PD= 1+λ2 3→ → 2PA+λ1PQ 3 → → → 又PB=2PA,所以PC= 1+λ1 3 2 λ1 3 → → 又PC//PD,比较系数得 = ,所以 λ1· λ2= λ2 1 2 (2)证明:设点 C(x1,y2 ),D(x2,y2),Q(x0,y0) -2+λ1x0 -3+λ1y0 → → 由BC=λ1CQ,得 x1= 1+λ1 ,y1= 1+λ1

8分

?-2+λ1x0?2 ?-3+λ1y0?2 2 2 代入椭圆方程 3x +4y =48,得:3? 1+λ1 ? +4? 1+λ1 ? =48
2 2 2 整理得:(3x0+4y0-48)λ1-(12x0+24y0+96)λ1=0

12x0+24y0+96 2 显然 λ1≠0,所以 λ1= 3x2 0+4y0-48 x0-4λ2 y0 → → 同理由QD=λ2DA,得 x2= 1+λ2 ,y2=1+λ2

?x0-4λ2?2 ? y0 ?2 2 2 代入椭圆方程 3x +4y =48,得:3? 1+λ2 ? +4?1+λ2? =48
2 3x2 0+4y0-48 同理可得:λ2= 24x0+96 2 3 12x0+24y0+96 3x2 3 0+4y0-48 2 2 λ2=2,所以, 3x0+4y0-48 · 24x0+96 =2 又由(1)λ1·

整理得:x0- y0+2=0 即点 Q 在定直线 x-y+2=0 上

16 分

21.(B)【解析】

10

(1)由 ?

? 2 a ? ? 1 ? ? ?4 ? ? ? ? = ? ? ,∴ 2 ? 2a ? ?4 ? a ? 3 ? 2 1 ? ? ?2 ? ? 0 ? ? 2 3? ? ,则矩阵 M 的特征多项式为 ? 2 1?

--------------3 分

(2)由(1)知 M ? ?

f (? ) ?

? ?2
?2

?3 ? (? ? 2)(? ? 1) ? 6 ? ? 2 ? 3? ? 4 ? ?1
…………………………..6 分

令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 的特征值为 ?1 与 4. 当 ? ? ?1 时, ?

?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ? x? y ?0 ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?1? ? ; …………………..8 分 ? ?1?

∴矩阵 M 的属于特征值 ?1 的一个特征向量为 ?

当 ? ? 4 时, ?

?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ? 2x ? 3 y ? 0 ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?3? ?2?

∴矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 ? ? . ………………………10 分 21.(C)【解析】 (1)以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系.
? sin ? ? ?
? ?

??

2 2 2 ? ? sin ? ? ? cos? ? ? ,? ? sin ? ? ? cos? ? 1. ? ?? 4? 2 2 2

所以,该直线的直角坐标方程为: x ? y ? 1 ? 0. ……………………..5 分 (2)圆 M 的普通方程为: x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 圆心 M (0, ?2) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?
0 ? 2 ?1 2 ? 3 2 . 2

所以,圆 M 上的点到直线的距离的最小值为 22. 【解析】

3 2 ? 2. …………………….10 分 2

依题意, OF ? 平面ABCD , 如图, 以 O 为点, 分别以 AD, BA, OF 的方向为 x 轴、

y 轴 、 z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 依 题 意 可 得 O ? 0,0,0? ,

A? ?1,1,0? , B ? ?1, ?1,0? , C ?1, ?1,0? , D ?11,0 , ? , E ? ?1, ?1,2? , F ?0,0,2 ?, G ? ?1,0,0 ?
11

.

(1)解:易证, OA ? ? ?1,1,0 ? 为平面 OEF 的一个法向量. 依题意, EF ? ?1,1,0 ? , CF ? ? ?1,1, 2 ? . 设 n2 ? ? x, y, z ? 为平面 CEF 的法向量,则 { 不妨设 x ? 1 ,可得 n2 ? ?1, ?1,1? . 因此有 cos OA, n2 ?

n2 ? EF ? 0 n2 ? CF ? 0

,即 {

x? y ?0 ?x ? y ? 2z ? 0

.

OA ? n2 OA ? n2

??

6 3 ,于是 sin OA, n2 ? , 3 3
3 ……………………………5 3

所以,二面角 O ? EF ? C 的正弦值为 (2)解:由 AH ? 所以 AH ?

2 2 HF ,得 AH ? AF .因为 AF ? ?1, ?1, 2 ? , 3 5

2 ?2 2 4? ? 3 3 4? ?2 8 4? AF ? ? , ? , ? ,进而有 H ? ? , , ? ,从而 BH ? ? , , ? , 5 ?5 5 5? ?5 5 5? ? 5 5 5?

因此 cos BH , n2 ?

BH ? n2 BH ? n2

??

7 .分…………………………9 分 21
7 …………………10 21

所以,直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 23. 【解析】 (1)设 P(x,y)为曲线 C 上任意一点 .

因为 PS⊥l,垂足为 S,又直线 l:x=-1,所以 S(-1,y). → → 因为 T(3,0),所以OP=(x,y), ST=(4,-y).
12

→ → 因为OP·ST=0,所以 4x-y2=0,即 y2=4x. 所以曲线 C 的方程为 y2=4x. (2)因为直线 PQ 过点(1,0), 故设直线 PQ 的方程为 x=my+1.P(x1,y1),Q(x2,y2).
?y2=4x, 联立? 消去 x,得 y2―4my―4=0. ?x=my+1,

…………… 3 分

所以 y1+y2=4m,y1y2=―4.

…………… 5 分

x1+x2 y1+y2 因为 M 为线段 PQ 的中点,所以 M 的坐标为( , ),即 M (2m2+1,2m). 2 2 又因为 S(-1,y1),N(-1,0), → → 所以SM=(2m2+2,2m-y1),NQ=(x2+1,y2)=(my2+2,y2). …………… 7 分 因为(2m2+2) y2-(2m-y1)(my2+2)=(2m2+2) y2-2m2y2+my1y2-4m+2y1 =2(y1+y2)+my1y2-4m=8m-4m-4m=0. → → 所以向量SM与NQ共线. …………… 10 分

13