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湖南省湖南师大附中2013届高三第七次月考数学理试题 Word版含答案

湖南师大附中 2013 届高三年级第七次月考

数学(理)试题
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上,并认 真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上答题无效。考生在 答题卡上按如下要求答题: (1)选择题部分请按题号用 2B 铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不留痕迹; (2)非选择题部分请按题号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答无效; (3)请勿折叠答题卡。保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 3.本试题卷共 6 页。如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负。 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={直线},P={圆},则集合 M ∩P 中的元素的个数为 A.0 B.1 C.2 D.0 或 1 或 2 2.复数

m ? 4 m ?1 ? ? i (其中m ? R, i为虚数单位) 在复平面上对应的点不可能位于 2 2
B.第二象限
2 2

A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限

3. m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 “ A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0) ,B(0,1) ,点 C 在第二象限内,∠AOC= 且

5? , 6

? ? ?? ? ? ?? | O C ? 2若 O C ? O A? | , ? ?
A. 3,1
2

? ? ?? 的值分别是 O ,B ? ? 则 ,
C.-1, 3 D.— 3 ,1

B.1, 3

5.若函数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? 3)( a ? 0, a ? 1)在(-?, ]上为单调减函数,则 a 的取值 范围为 A. (1,+∞) C. (0.1)∪(1.2 3 ) B. (1,3) D. (1,2 3 )

a 2

6.设 {an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15, 且a1a2 a3 ? 80, 则a11 ? a12 ? a13

等于 A.120

B.105

C.90

D.75

7.我们把离心率为 e ? 是双曲线

x2 y 2 5 ?1 的双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 称为黄金双曲线.如图 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0, c ? a 2 ? b 2 ) 的图象,给出以下几个说法: 2 a b
①双曲线 x 2 ?

2 y2 5 ?1

? 1 是黄金双曲线;

②若 b ? ac ,则该双曲线是黄金双曲线;
2

③若 F1,F2 为左右焦点,A1,A2 为左右顶点,B1(0,b) , B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线; ④若 MN 经过右焦点 F2 且 MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双 曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的个数为 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.平面上有两个定点 A,B,另有 4 个与 A,B 不重合的动点 C1,C2,C3,C4。若使|sin∠ACiB —sin∠ACjB| ?

1 (i ? j , i, j ? 1, 2,3, 4) ,则称( Ci , C j )为一个好点对.那么这样的好 3

点对 A.不存在 B.至少有一个 C.至多有一个 D.恰有一个 二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题 卡中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前 2 题给分) 9. (选修 4—1:几何证明选讲)如图,PA 与圆 O 相切于 A,PCB 为圆 O 的割线,并且不过 圆心 O。 ,已知∠BPA=30°,PA = 2 3 ,PC=1,则圆 O 的半径等于 10. (选修 4—4:坐标系与参数方程)设 A,B 分别为直线 l : ? 。

? x ? ?10 ? 3t ? (t ? y ? 3t ?
. 。

为参数)和曲线 C: ? ? 4cos ? 上的点,则 AB 的最小值为

11. (选修 4—5:不等式选讲)不等式 | x ? log2 x |?| x | ? | log 2 x | 的解集是 (二)必做题(1 2 至 1 6 题) 12.一个几何体的三视图及长度数据如图所示,则该几何体的体积为 。

13.如果执行下边的程序框图,输出的结果为 2 070,则判断框中应填人的条件是



14.已知 X~N(2,4) ,且 P(X<a)=0.2,则 P(X<4-a)=



15.若圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0关于直线2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R) 对称,则 ab 的取 值范围为 . 16.将正整数 1,2,3,4,?,n2(n≥2)任意排成 n 行 n 列的数表,对于某一个数表, 计算各行和各列中的任意两个数 a,b(a>b)的比值

a ,称这些比值中的最小值为这个 b

数表的“特征值” ,记为 f(n) .若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数(1≤i ≤n,1≤j≤n) ,且满足 aij ? ?

?i ? ( j ? i ? 1)n, i ? j 则(1)f(3)= ?i ? (n ? i ? j ? 1)n, i ? j

; (2)f

(2013)= 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 1 2 分) 已 知 向 量

a ? (sin

?x
2

, ? sin

?x
2

), b ? (cos

?x
2

,sin

?x
2

)(? ? 0), 函数f ( x) ? a ? b, x1 , x2 是 函 数

f ( x) 的任意两个相异零点,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
(1)求ω 的值; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m在(0,

? . 2

?
2

) 上无零点,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题滴分 1 2 分) 春节期间,某商场进行促销活动,方案是:顾客每买满 200 元可按以下方式摸球兑奖: 箱内装有标着数字 20,40,60,80,1 00 的小球各两个,顾客从箱子里任取三个小球,

按三个小球中最大数字等额返还现金(单位:元) ,每个小球被取到的可能性相等. (1)若有三位顾客各买了 268 元的商品,求至少有二个返奖不少于 80 元的概率; (2)在(1)的条件下,设返奖不少于 80 元的人数为ξ ,求ξ 的数学期望. 19. (本小题满分 1 2 分) 已知梯形 ABCD 中,BC∥AD,AC=2BC=4,CD= 4 2 ,AB= 2 5 .现沿对角线 AC 将△ACD 所在平面折叠到与平面 ABC 成直二面角,如图所示.以 AB 的中点为球心、AB 为直径 的球面交 DC 于点 E,交 DB 于点 F. (1)求直线 BC 与平面 AEB 所成的角的正弦值; (2)求三棱锥 F—AEB 的体积. 20. (本小题满分 1 3 分) 为了改善人居环境, 市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园, 设计将上面的半网 形区域建为休闲广场,将下面的三角形区域建为人工湖,同时修建从居民区 C 到点 A, B 的直线道路;经测量得 AC=6,CB=10,∠CAB=90°. (1)拟在人工湖中修建一座湖心亭,为了达到最佳观赏效果,要求湖心亭到三条湖岸的 距离相等,请确定湖心亭的具体位置; (2)拟在半网形区域内设计一条界线,并在界线上栽种名贵树木,将休闲广场分为两部 分;考虑到市民休闲的方便,是否能确定这样一条界线,使位于界线一侧的点沿 CA 到 C 较近,而另一侧的点沿 CB 到 C 较近?如能,请确定这条界线;如不能,请说理由.

21. (本小题满分 13 分) 如图,设抛物线 C1 : y 2 ? 4mx(m ? 0) 的准线与 x 轴交于 F1,且 C1 的焦 点为 F2;以 F1,F2 为焦点,离心率 e ?

1 的椭圆 C2 与抛物线 C1 在 x 轴上方的一个交点为 P。 2

(1)是否存在的实数 m,使得△PF1F2 的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实 数 m,若不存在,请说明理由; (2)若 m=1,直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2,且与抛物线 C1 交于 A1,A2,以线段 A1A2 为直径作圆,若圆经过点 P,求直线 l 的斜率。

22. (本小题满分 13 分)





f(
切。

?

a x

且直线

与曲线

x 相)

?

(1)若对 [1, ??) 内的一切实数 x,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值 范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k,使得对 [e,3](e ? 2.71828 ?是自然对数的 底 数 ) 内 的 任 意 k 个 实 数

x1 , x2 ,?, xk , 都有f(x1 )+f(x2 )+?+f(xk ?1 ) ? 16g(xk )成立;
(3)求证:

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1)(n ? N * ). ?1

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