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利用轴对称模型求线段和的最小值

利用轴对称模型求线段和的最小值
近几年来,最小值问题成为中考命题的热点,其中有些问题的解决常用构建轴对称模 型的方法。 学习目标:知识目标:掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系,根据问题建构数学模 型,解决实际问题。 能力目标:通过观察、分析、对比等方法,提高学生分析问题,解决问题的能力, 进一步强化分类归纳综合的思想,提高综合能力。 情感目标:通过自己的参与和教师的指导,享受学习数学的快乐,提高应用数学 的能力。 引例:例:如图(1),草原上两居民点 A,B 在笔直河流 l 的同旁,一汽车从 A 处出发到 B 处,途中需要到河边加水,问选在何处加水可使行驶的路程最短?并在途中画出这一点。 分析:将这一问题转化为数学问题,即已知直线 l 及 l 同侧的点 A 和点 B,在 l 上确定一 点 C,使 AC+BC 最小。 首先我们思考若点 A 和 B 点分别在直线 l 的两侧,则点 C 的位置应如何确定,根据两点之 间线段最短,点 C 应是与 AB 直线 l 的交点,如图(2) ,这就是说,设线段 AB 交 l 于点 C,点 C/是直线上异于点 C 的任意一点,总有 AC+BC<AC/+BC/。因此,解决上述问题的关键是将点 A (或点 B)移至 l 的另一侧(设点 A 移动后的点为 A/) ,且使 A、A/到直线 l 上任意点的距离相 等,利用轴对称可达到这一目的。 解:如图(3) ,作点 A 关于直线 l 的对称点 A/,连接 A/B 交 l 于点 C,则点 C 的位置就是 汽车加水的位置,即汽车选在点 C 处可使行驶的路程最短。

B A l (1) A C

B

A C

B l

/ C (2)

/ A

(3)

总结:作点 A 关于直线 l 的对称点 A′,连结 A′B 交直线 l 于点 C,那么点 C 就是所求作 的点。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置,要注意体会轴 对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。 例 1. 如图 4,菱形 ABCD 中,AB=2,∠BAD=60°,E 是 AB 的中点,P 是对角线 AC 上的一个 动点,则 PE+PB 的最小值是________。

图4 分析:首先分解此图形,构建如图 5 模型,因为 E、B 在直线 AC 的同侧,要在 AC 上找一点 P,使 PE+PB 最小,关键是找出点 B 或 E 关于 AC 的对称点。如图 6,由菱形的对称性可知点 B 和 D 关于 AC 对称,连结 DE,此时 DE 即为 PE+PB 的最小值,

图5 由∠BAD=60°,AB=AD,AE=BE 知,
3 ?2? 3 2

图6

DE ?

故 PE+PB 的最小值为 3 。 跟踪练习 1: 如图 7,已知点 A 是半圆上一个三等分点,点 B 是弧 AN 的中点,点 P 是半径

ON 上的动点,若⊙O 的半径长为 1,则 AP+BP 的最小值为_______________。

图7 跟踪练习 2. 如图 8,正三角形 ABC 的边长为 2,M 是 BC 边上的中点,P 是 AC 边上的一个动点, 求 PB+PM 的最小值.
A

P

B M

C

图8 例 2. 如图 9,抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A(?1,0) 、 B(3,0) 两点。 (1)求该抛物线的解析式。 (2)设(1)中的抛物线交 y 轴于点 C,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得 ?QAC 的 周长最小?如果存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。

图9 重点分析第(2)问,要使△QAC 的周长最小即 AC+CQ+QA 最小,由于 AC 长度一定,故只要 CQ+QA 最小时,周长最小。设抛物线的对称轴为直线 MN,则可分解出图形,构建模型,要在直

线 MN 上找点 Q,使 CQ+QA 最小。由抛物线的对称性可知,点 A、点 B 关于直线 MN 对称,连结 BC 交 MN 于点 Q,只要找出点 Q 的位置,其坐标不难求得。 跟踪练习 3:点 A 的坐标为(0,2)点,点 B 是半径为 2 的⊙B 的圆心,点 B 的坐标为(4,2) , 请你探索在 x 轴上是否存在一个点 C 以及在⊙B 上是否存在一个点 D,使得 AC+CD 最小,若存 在,请你在图中作出点 C 和点 D,并求出点 C、D 的坐标和 AC+CD 的最小值;若不存在请说明理 由。

跟踪练习 4:如图 10,抛物线 y ? ?

3 2 2 x ? 3x ? 3 交 x 轴于 A、B 两 3 3

点,交 y 轴于点C,顶点为 D. (1)求 A、B、C 的坐标. (2)把△ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180? ,得到四边形 AEBC: ①求 E 点坐标.②试判断四边形 AEBC 的形状,并说明理由. (3)试探索:在直线 BC 上是否存在一点 P,使得△PAD 的周长最小,若存在,请求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 学生总结: 分层作业: A 组:1、如图 11,梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴,P 为 MN 上一点,那么 PC+PD 的最小值为_____________。

图 11 2、如图 12, 在锐角△ABC 中, AB= 4 2 ,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M,N 分

别是 AD,AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是___________.
C

D M

A

N

B

图 12 B 组:1、如图,在直角坐标系中,A,B,C 的坐标分别为(-1,0)(3,0)(0,3) , , ,过 A,B, C 三点的抛物线的对称轴为直线 l,D 为直线 l 上的一个动点,

(1)求抛物线的解析式; (2)求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标; (3)以点 A 为圆心,以 AD 为半径作圆 A; ①证明:当 AD+CD 最小时,直线 BD 与圆 A 相切; ②写出直线 BD 与圆 A 相切时,点 D 的另一个坐标。 2、已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形,BC 在 x 轴上,点 D 为 BC 的中点,点 A 在第一象限内, AB 与 y 轴的正半轴相交于点 E,点 B(-1,0) 是 AC 上的一个动点(P 与点 A、C 不重合) ,P (1)求点 A、E 的坐标;
6 3 2 x ? bx ? c 过点 A、E,求抛物线的解析式。 7

(2)若 y= ?

(3)连结 PB、PD,设 L 为△PBD 的周长,当 L 取最小值时,求点 P 的坐标及 L 的最小值, 并判断此时点 P 是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由。


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