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2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学及答案-宁夏卷


2007 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)

文科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 II 卷第 22 题为选考题, 其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准 考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案使用 2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂基他答案标号, 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
1 n

锥体体积公式
1 3

s ?

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x m ? x ) ]
2 2 2

V ?

Sh

其中 x 为标本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4 π R ,V ?
2

4 3

πR

3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? ? x | x ? ? 1? , B ? ? x | ? 2 ? x ? 2 ? ,则 A ? B ? ( A. ? x | x ? ? 2 ? C. ? x | ? 2 ? x ? ? 1? B. ? x | x ? ? 1? D. ? x | ? 1 ? x ? 2 ? ) )

2.已知命题 p : ? x ? R , sin x ≤ 1 ,则(

A. ? p : ? x ? R , sin x ≥ 1 C. ? p : ? x ? R , sin x ? 1
? ?

B. ? p : ? x ? R , sin x ≥ 1 D. ? p : ? x ? R , sin x ? 1

3.函数 y ? sin ? 2 x ?
y

π? ?π ? ? 在区间 ? , π ? 的简图是( 3? ?2 ?
1


y

?

? 3

1
? 6

?

? 2

O

?

x

?

? 2

?

? 3

O
?1

? 6

?

x

?1

A.
y
1
?
? ? 2 ? ? 6

B.
y
1

?

? 6

O

? 3

x

?

? 2

O
?1

? 3

?

x

?1

C.
1) ? 4. 已知平面向量 a ? (1,, b ? (1, 1) , 则向量 ? A. ( ? 2, 1) 0 C. ( ? 1, ) 1) B. ( ? 2, 2 D. (1, )

D.
1 2 a? 3 2 b ?(



开始
k ?1

5.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2450 B.2500 C.2550 D.2652



S ?0

k ≤ 50 ?




S ? S ? 2k

输 出
S

6.已知 a, b, c, d 成等比数列,且曲线 y ? x ? 2 x ? 3 的顶点
2

是 ( b, c ) ,则 a d 等于( A.3 B.2
2

) C.1 D. ? 2

k ? k ?1

结束

7.已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F ,点 P1 ( x1, y1 ),P2 (x 2 ,y 2 ) , P3 ( x 3, y 3 ) 在抛 物线上,且 2 x 2 ? x1 ? x 3 ,则有( A. F P1 ? F P2 ? F P3 C. 2 F P2 ? F P1 ? F P3 )
2 2

B. F P1 ? F P2 D. F P2
2

? F P3

2

? F P1· F P3

8. 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出的尺 寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( ) A. B.
4000 3 8000
3

cm
cm

3

20

3

20 正视图

20 侧视图

C. 2000cm D. 4000cm

3

3

10
? ? 2 2

9.若

c o s 2? π? ? s in ? ? ? ? 4? ?

,则 co s ? ? sin ? 的值为 20 俯视图

10

( A. ?


7 2
1 2
x 2

B. ?

1 2

C.

D.

7 2

10.曲线 y ? e 在点 ( 2, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
9 4



A.

e

2

B. 2 e

2

C. e

2

D.

e

2

2

11.已知三棱锥 S ? A B C 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 A B 上,SO ? 底 面 ABC , AC ?
2 r ,则球的体积与三棱锥体积之比是(



A. π B. 2 π C. 3 π D. 4 π 12.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

s1, s 2, s 3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(



A. s 3 ? s1 ? s 2 C. s1 ? s 2 ? s 3

B. s 2 ? s1 ? s 3 D. s 2 ? s1 ? s 3

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考 生都必须做答.第 22 题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心 率为 . 14.设函数 f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数,则 a ? 15.i 是虚数单位,i ? 2i ? 3i ? ? ? 8i ?
2 3 8

. . a ? b i 的形式表示,a, b ? R ) (用 .

16.已知 ? a n ? 是等差数列, a 4 ? a 6 ? 6 ,其前 5 项和 S 5 ? 1 0 ,则其公差 d ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 A B 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D .现 测得 ? B C D ? ? , ? B D C ? ? , C D ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 A B .

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , A, B, C, D 为 空 间 四 点 . 在 △ A B C 中 ,
A B ? 2, A C ? B C ? 2 . 等边三角形 A D B 以 A B 为轴运动.

D

(Ⅰ)当平面 A D B ? 平面 A B C 时,求 C D ; D (Ⅱ) △ A B 转动时, 当 是否总有 A B ? C D ?证明你的结论. 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ln ( 2 x ? 3) ? x
2

A B

C

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;
? ? 3 1? , 的最大值和最小值. 4 4? ?

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

20. (本小题满分 12 分) 设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2 ax ? b ? 0 .
2 2

1,, 1, (Ⅰ)若 a 是从 0, 2 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0, 2 三个数中任取的一个数,求上

述方程有实根的概率.
3] 2 (Ⅱ)若 a 是从区间 [0, 任取的一个数, b 是从区间 [0, ] 任取的一个数,求上述方程有实

根的概率. 21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xO y 中,已知圆 x ? y ? 1 2 x ? 3 2 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P (0, 且斜率 2)
2 2

为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B . (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使得向量 O A ? O B 与 P Q 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由. 22.请考生在A、B两题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. P 22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 A P 是 ? O 的切线, P 为切点, A C 是 ? O 的 割线,与 ? O 交于 B, C 两点,圆心 O 在 ? P A C 的内部, A O 点 M 是 B C 的中点. M (Ⅰ)证明 A, P, O, M 四点共圆; B (Ⅱ)求 ? O AM ? ? APM 的大小. 22.B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? O 1 和 ? O 2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos ? , ? ? ? 4 sin ? .
C

??? ?

??? ?

????

(Ⅰ)把 ? O 1 和 ? O 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 ? O 1 , ? O 2 交点的直线的直角坐标方程.

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案(宁夏)
一、选择题 1.A 2.C 7.C 8.B 二、填空题 13. 3 三、解答题 17.解:在 △ B C D 中, ? C B D ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得
BC sin ? B D C ? CD sin ? C B D
s sin ? · sin (? ? ? )

3.A 9.C

4.D 10.D
1 2

5.C 11.D

6.B 12.B

14.1

15. 4 ? 4i

16.



所以 B C ?

C D sin ? B D C sin ? C B D

?



在 R t△ A B C 中, A B ? B C tan ? A C B ?

s tan ? sin ? · sin (? ? ? )



18.解: (Ⅰ)取 A B 的中点 E ,连结 D E, C E ,因为 A D B 是等 边三角形,所以 D E ? A B . 当平面 A D B ? 平面 A B C 时, 因为平面 A D B ? 平面 A B C ? A B , 所以 D E ? 平面 A B C , 可知 D E ? C E
E

D

A

由 已 知 可 得 DE ?
CD ? DE ? EC
2 2

3, E C ? 1 , 在 R t△ D E C 中 ,
B

C

? 2.

(Ⅱ)当 △ A D B 以 A B 为轴转动时,总有 A B ? C D . 证明: (ⅰ)当 D 在平面 A B C 内时,因为 A C = B C, A D ? B D ,所以 C, D 都在线段 A B 的垂 直平分线上,即 A B ? C D . (ⅱ)当 D 不在平面 A B C 内时,由(Ⅰ)知 AB ? DE .又因 A C ? B C ,所以 A B ? C E . 又 D E, C E 为相交直线,所以 A B ? 平面 C D E ,由 C D ? 平面 C D E ,得 A B ? C D . 综上所述,总有 A B ? C D .
? 19.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ∞ ? . ? 2 ? ? 3 ?

(Ⅰ) f ? ( x ) ? 当?
3 2

2 2x ? 3

? 2x ?

4x ? 6x ? 2
2

2x ? 3

?

2 ( 2 x ? 1)( x ? 1) 2x ? 3


1 2

? x ? ? 1 时, f ?( x ) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? ?
? ? 3 2 ? ? ? ? 1

1 2

时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? ?
? ? ? ?

时, f ?( x ) ? 0 .
1? ? 单调减少. 2?

? ? ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1 ? , ? ? , ∞ ? 单调增加,在区间 ? ? 1, 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ?
?

?

3 1? 1 ? 1? , 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . ? 4 4? 4 ? 2?

又 f ??
?

?

3? 3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ?1? ? ln ? ? ln ? ? ? 1 ? ln ? ? f ? ? ? ln ? ? ? 0. 4? 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ?4?
? ? 3 1? 1 7 ?1? , 的最大值为 f ? ? ? ? ln . ? 4 4? 2 ? 4 ? 16

所以 f ( x ) 在区间 ? ? 20.解:

设事件 A 为“方程 a ? 2 ax ? b ? 0 有实根” .
2 2

当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x ? 2 ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b .
2 2

(Ⅰ)基本事件共 12 个:
(0, , ,, , ,, ,,,, , , , ,, , , , , ,, , .其中第一个数表示 a 的 0) (0 1) (0 2) (1 0) (1 1) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (3 1) (3 2)

取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P ( A ) ?
9 12 ? 3 4



0 (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 ? ( a, b ) | 0 ≤ a ≤ 3, ≤ b ≤ 2 ? . 0 构成事件 A 的区域为 ? ( a, b ) | 0 ≤ a ≤ 3, ≤ b ≤ 2, a ≥ b ? .

3? 2 ?

1

?2

2

所以所求的概率为 ? 21.解:

2 3? 2

?

2 3



0) 2 (Ⅰ)圆的方程可写成 ( x ? 6 ) ? y ? 4 ,所以圆心为 Q (6, ,过 P (0, ) 且斜率为 k 的直
2 2

线方程为 y ? kx ? 2 . 代入圆方程得 x ? ( kx ? 2 ) ? 1 2 x ? 3 2 ? 0 ,
2 2

整理得 (1 ? k ) x ? 4 ( k ? 3) x ? 3 6 ? 0 .
2 2



直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于
? ? [4( k ? 3) ] ? 4 ? 36(1 ? k ) ? 4 ( ? 8 k ? 6 k ) ? 0 ,
2 2 2 2

解得 ?

? 3 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? , ? . 0 4 ? 4 ?

3

(Ⅱ)设 A ( x1, y 1 ), B ( x 2, y 2 ) ,则 O A ? O B ? ( x1 ? x 2, y1 ? y 2 ) , 由方程①,
x1 ? x 2 ? ? 4 ( k ? 3) 1? k
2

??? ?

??? ?

② ③

又 y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 4 .
2 0 P ? 而 P (0, ), Q (6, ), Q ? (6, 2 ) . ????

所以 O A ? O B 与 P Q 共线等价于 ( x1 ? x 2 ) ? 6 ( y1 ? y 2 ) , 将②③代入上式,解得 k ? ?
?3 ?4 ? ?

??? ?

??? ?

????

3 4



0 由(Ⅰ)知 k ? ? , ? ,故没有符合题意的常数 k .

22.A (Ⅰ)证明:连结 O P, O M . 因为 A P 与 ? O 相切于点 P ,所以 O P ? A P . 因为 M 是 ? O 的弦 B C 的中点,所以 O M ? B C . 于是 ? O P A ? ? O M A ? 180 ° . 由圆心 O 在 ? P A C 的内部, 可知四边形 A P O M 的对角 互补,所以 A, P, O, M 四点共圆. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A, P, O, M 四点共圆,所以
?OAM ? ?OPM .

P

A

O

B

M
C

由(Ⅰ)得 O P ? A P . 由圆心 O 在 ? P A C 的内部,可知 ? O P M ? ? A P M ? 90 ° . 所以 ? O A M ? ? A P M ? 90 ° . 22.B 解:以有点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单 位. (Ⅰ) x ? ? co s ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4 cos ? 得 ? ? 4 ? co s ? .
2

所以 x ? y ? 4 x .
2 2

即 x ? y ? 4 x ? 0 为 ? O 1 的直角坐标方程.
2 2

同理 x ? y ? 4 y ? 0 为 ? O 2 的直角坐标方程.
2 2

(Ⅱ)由 ?

?x2 ? y2 ? 4x ? 0 ? ?x ? y ? 4y ? 0 ?
2 2

解得 ?

? x1 ? 0,? x 2 ? 2 . ? ? y 1 ? 0,? y 2 ? ? 2

即 ? O 1 , ? O 2 交于点 (0, ) 和 ( 2, 2 ) .过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x . 0 ?


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