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2013高考真题文科数学试题分类汇编15:圆锥曲线_图文

2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 15:圆锥曲线
一、选择题 1 . 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 文 ) 已 知 ( )

0 ?? ?

与 π , 则 双 曲 线 C1 : x 2 y2 ? ?1 4 sin 2 ? cos 2 ? ( )

C2 :

的 y2 x2 ? 2 ?1 cos2 ? sin ? B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

A.实轴长相等
【答案】D

2 . (2013 年高考四川卷(文) 从椭圆 )

上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b

恰为左焦点 F , A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且
1

AB / /OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是
A.

( D.



2 4

B. 1

C.

2

2 2

3 2

【答案】C

2= 3 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 设抛物线 C:y 4x 的焦点为 F,直线 L 过 F 且与 C 交于 A, B )

两点.若|AF|=3|BF|,则 L 的方程为 A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= (X-1)或 y=(x-1)





C.y=

(x-1)或 y=-

(x-1)

D.y= (x-1)或 y=- (x-1)

【答案】C 4 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) O 为坐标原点, F 为抛物线 )

C : y 2 ? 4 2 x 的焦点, P 为 C
( D. 4 )

上一点,若 A. 2
【答案】C

| PF |? 4 2 ,则 ?POF 的面积为
B. 2 2 C.

2 3

5 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 已知双曲线 )

C:
则 C 的渐近线方程为

(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 5 , x2 y 2 ? 2 ?1 a2 b 2
( )

A.

y??

1 x 4

B.

1 y?? x 3

C.

y??

1 x 2

D. y ? ? x

【答案】C 6 . 2013 年高考福建卷(文) 双曲线 ( )

x 2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于
C.1 D. 2





A. 1

B.

2
【答案】B

2 2

7 . (2013 年高考广东卷(文) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1,0) ,离心率等于 1 , )

2
则 C 的方程是 A. ( B. ) C. D.

x2 y2 ? ?1 3 4

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3

【答案】D 8 . (2013 年高考四川卷(文) 抛物线 )

y 2 ? 8 x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是
C.





A.

2 3

B. 2

3

D.1

【答案】D 9 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 设椭圆 )

C:

的左、右焦点分别为 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b ( )

F1 , F2 , P 是 C 上的点 PF2 ? F1 F2 , ?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为
A. B. C. D.

【答案】D 10 . ( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 ) )





F1 ? ?1

F , ? , ?02 ? 是椭圆

的两个焦点 过 且垂直于 轴的直线交于 1 ,C 0 , x 2 F
( C. x 2 D. x 2 )

且 则 A、B两点, AB ? 3, C 的方程为 A. x 2

2

? y2 ? 1

B. x 2

3

?

y2 ?1 2

4

?

y2 ?1 3

5

?

y2 ?1 4

【答案】C

11 . 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 ) 已 知 椭 圆 ( )

C:
F

的左焦点为 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b

F , C与过原点的直线相交于

A, B 两 点 , 连 接 了

A ,F

B , F若
( )

AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ?
A. 3 B. 5

4 ,则 C 的离心率为 5
C. 4 D. 6

5
【答案】B

7

5

7

12. (2013 年高考重庆卷(文) 设双曲线 )

C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所

成的角为 600 的直线 A B 和 A B ,使 A1 B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是这 2 2 1 1 对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 zhangwlx A. ( )

(

2 3 , 2] 3

B.

[

2 3 , 2) 3

C.

(

2 3 , ??) 3

D.

[

2 3 , ??) 3

【答案】A 13. (2013 年高考大纲卷(文) 已知抛物线 )

C : y 2 ? 8 x 与点 M ? ?2, 2? ,过 C 的焦点且斜率
( D. 2 )

为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若 MA?MB ? 0 ,则 k ? A. 1 B.

???? ????

2
【答案】D

2 2

C. 2

14. (2013 年高考北京卷(文) 双曲线 )

x2 ?

的离心率大于 2 的充分必要条件是 y2 ?1 m C. m ? 1 D. m ? 2





A.

m?

1 2

B. m ? 1

【答案】C 15 . (2013 年上海高考数学试题(文科) 记椭圆 )

围成的区域(含边界)为 x2 ny 2 ? ?1 4 4n ? 1

?n ? n ? 1, 2,?? , 当 点 ? x, y ? 分 别 在 ?1 , ?2 ,? 上 时 , x ? y 的 最 大 值 分 别 是

M 1 , M 2 ,? ,则 lim M n ?
n ??





A.0

B. 1

C.2

D. 2 2

4
【答案】D 16. (2013 年高考安徽(文) 直线 )

x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦
( )

长为 A.1
【答案】C
2 17. (2013 年高考江西卷(文) 已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 )

B.2

C.4

D.

4 6

C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|= A.2:
【答案】C 18(2013 年高考山东卷 . (文)抛物线 )

( D.1:3



B.1:2

C.1:

C1 : y ?

的焦点与双曲线 x2 1 2 C2 : ? y 2 ? 1 x ( p ? 0) 3 2p
1 2

的右焦点的连线交 C 于第一象限的点 M,若 C 在点 M 处的切线平行于 C 的一条渐近线,
1

则p= A.

( B.



3 16

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3

【答案】D

x2 2 19. (2013 年高考浙江卷(文) 如图 F1.F2 是椭圆 C1: 4 +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点 ) A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是









(第 9 题图) 3 C.2 6 D. 2

A. 2
【答案】

B. 3 D.

二、填空题 20. (2013 年高考湖南(文) 设 F1,F2 是双曲线 C, )

(a>0,b>0)的两个焦点.若在 C x2 y 2 ? 2 ?1 a2 b

上存在一点 P.使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为____ 3 ? 1 _______.
【答案】

3 ?1
的离心率为________. x2 y 2 ? ?1 16 9

21. (2013 年高考陕西卷(文) 双曲线 )

【答案】 5

4
22. (2013 年高考辽宁卷(文) 已知 F 为双曲线 )

的左焦点, P, Q 为 C 上的 x2 y 2 C: ? ?1 9 16 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为

点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 ____________. 【答案】44
23. (2013 年上海高考数学试题 (文科) 设 )

A ? 5, 0 ?

AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且

?CBA ?

π. 4

若 AB ? 4 , BC ?
【答案】

2 ,则 ? 的两个焦点之间的距离为_______.

4 6 3
y 2 ? 2 px 的焦点坐标为(1,0)则 p =____;准线方程

24. (2013 年高考北京卷(文) 若抛物线 )

为_____.
【答案】2, x ? ?1 25. (2013 年高考福建卷(文) 椭圆 )

的左、右焦点分别为 F , F , x2 y2 1 2 ? : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

焦距为 2c .若直线与 椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF F ? 2?MF F ,则该椭圆的离心率等于__________ 1 2 2 1
【答案】

3 ?1

26. (2013 年高考天津卷(文) 已知抛物线 )

的 y 2 ? 8 x 的准线过双曲线 x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b

一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为______.
【答案】

x2 ?

y2 ?1 3

三、解答题 27. (2013 年高考浙江卷(文) 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点 F(0,1) )

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A.B 两点.若直线 AO.BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M.N 两点, 求|MN|的最小值.

【 答 案 】 解 :(Ⅰ) 由 已 知 可 得 抛 物 线 的 方 程 为 :

x 2 ? 2 py ( p ? 0)

,且

,所以抛物线方程是: 2 ; p x ? 4y ?1? p ? 2 2 (Ⅱ) 设

x x 所 以 AO x12 x2 2 , 所 以 k AO ? 1 , k BO ? 2 , A( x1 , ), B ( x2 , ) 4 4 4 4 x1 , x 4
,同理由

的方程

是:

y?



x ? 8 ?y ? 1 x 4 ? xM ? ? 4 ? x1 ?y ? x ? 2 ?

x ? 8 ?y ? 2 x 4 ? xN ? ? 4 ? x2 ?y ? x ? 2 ?




| MN |? 1 ? 12 | xM ? xN |? 2 |
① 设 AB :

x1 ? x2 8 8 ? |? 8 2 | | 4 ? x1 4 ? x2 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2

, y ? kx ? 1 ,由 ? y ? kx ? 1 ? x1 ? x2 ? 4k ? 2 ? x ? 4kx ? 4 ? 0 ? ? ? 2 x ? 4y ? ? x1 x2 ? ?4 ? ,代入①得到:



| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? 4 k 2 ? 1
,

4 k2 ?1 k2 ?1 | MN |? 8 2 | |? 8 2 16 ? 16k ? 4 | 4k ? 3 |


4k ? 3 ? t ? 0 ? k ?

3?t , 4

① 当t

? 0时
, 所 以 此 时 | MN | 的

25 ? t 2 ? 6t 25 6 | MN |? 8 2 ? 2 2 1? 2 ? ? 2 2 4t t t
最小值是 ② 当t

2 2;

? 0 时,

| MN |? 8 2

25 ? t 2 ? 6t 25 6 5 3 16 4 8 2 ? 2 2 1 ? 2 ? ? 2 2 ( ? )2 ? ?2 2? ? 4t t t 5 25 5 5 t
8 2 5 8 2 5
,此时

,所以此时 | MN | 的最小值是

25 , 4; t?? k ?? 3 3

综上所述: | MN | 的最小值是

;

28. (2013 年高考山东卷(文) 在平面直角坐标系 )

xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点

在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为

2 2 6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 4

(I)求椭圆 C 的方程 (II)A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为

交椭圆 C 与点 P,设 OP ? tOE ,求实数 t 的值.
【答案】

??? ?

??? ?

将 x ? m 代入椭圆方程

,得 y2 x ? ?1 2
2

29. (2013 年高考广东卷(文) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 )

F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线

l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 2 PA, PB ,其中 A, B 为切点.

(1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点

P ? x0 , y0 ?

为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;

(3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求

AF ? BF

的最小值.

【答案】(1)依题意

d?

0?c?2 2

3 2 ? 2

,解得 c ? 1 (负根舍去)

?抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ;
(2)设点 由

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) ,

x 2 ? 4 y ,即

y ?

1 2 得 y? ? 1 . x x , 4 2 y ? y1 ?
, x1 ( x ? x1 ) 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为



x1 1 2. y ? x ? y1 ? x1 2 2



y1 ?

. 1 2, ∴ x x1 y ? 1 x ? y1 4 2 ∴

∵点 P( x , y ) 在切线 上, l1 0 0

y0 ?

. x1 x0 ? y1 2



同理,

y0 ?

. ② x2 x0 ? y 2 2

综合①、②得,点 A( x , y ), B( x , y ) 的坐标都满足方程 1 1 2 2

y0 ?

. x x0 ? y 2

∵经过 A( x , y ), B( x , y ) 两点的直线是唯一的, 1 1 2 2 ∴直线 AB 的方程为

y0 ?

,即 x x ? 2 y ? 2 y ? 0 ; x 0 0 x0 ? y 2

(3)由抛物线的定义可知

AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 ,

所以 联立

AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1
? x2 ? 4 y ? ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
,消去 x 得
2 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 2 ? 0

,

2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? 2 =2 y0 ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?

2

?当

y0 ? ?

1 时, AF ? BF 取得最小值为 9 2 2

30. (2013 年上海高考数学试题(文科) 本题共有 3 个小题.第 1 小 )

题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 如 图 , 已 知 双 曲 线 C : x2 1

2

? y2 ? 1

, 曲 线

C2 : | y |?| x | ?1 . P 是平面内一点,若存在过点 P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点,则称 P 为“ C1 ? C2 型点”.
(1)在正确证明 C 的左焦点是“ C ? C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出 1 1 2 一条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“ C ? C 型点; 2 1 2 (3)求证:圆

x2 ? y 2 ?

1 内的点都不是“ C1 ? C2 型点”. 2

【答案】

31. (2013 年高考福建卷(文) 如图,在抛物线 )

E : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴的交点
为半径作圆,设圆 C 与准线 l 的交于不同的

为 A .点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心 两点 M , N . (1)若点 C 的纵坐标为 2,求 (2)若

OC

MN

;

AF ? AM ? AN
2

,求圆 C 的半径.

【答案】解:(Ⅰ)抛物线

y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程为 x ? ?1 ,

由点 C 的纵坐标为 2 ,得点 C 的坐标为 (1, 2) 所以点 C 到准线 l 的距离 d ? 2 ,又 | CO |? 5 . 所以

| MN |? 2 | CO |2 ?d 2 ? 2 5 ? 4 ? 2

.

(Ⅱ)设

C(

2 ,则圆 C 的方程为 , y0 y2 y4 2 , y0 ) ( x ? 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? 0 ? y 0 4 4 16



x2 ?

2 . y0 x ? y 2 ? 2 y0 y ? 0 2

由 x ? ?1 ,得

y 2 ? 2 y0 y ? 1 ?

2 y0 ?0 2

设 M (?1, y ) , N (?1, y ) ,则: 1 2
2 ? y0 2 2 ?? ? 4 y0 ? 4(1 ? ) ? 2 y0 ? 4 ? 0 ? 2 ? 2 y0 ?y y ? ?1 ? 1 2 2 ?

由 | AF |2 ?| AM | ? | AN | ,得 | y y |? 4 1 2 所以 y 2 ,解得 y ? ? 6 ,此时 ? ? 0 0 0 ?1 ? 4 2 所以圆心 C 的坐标为 3 或 3 ( , 6) ( , ? 6) 2 2 从而

| CO |2 ?

33 , 33 ,即圆 C 的半径为 33 | CO |? 4 2 2

32(2013 年高考北京卷 . (文)直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W : 2 ) x

4
是坐标原点

? y2 ? 1

相交于 A , C 两点, O

(1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长. (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形.
【答案】解:(I)因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分.

所以可设

,即 t ? ? 3 . 所以|AC|= 2 3 . 1 ,代入椭圆方程得 t 2 1 A(t , ) ? ?1 2 4 4

(II)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k ? 0 . 由

? x2 ? 4 y2 ? 4 ? ? y ? kx ? m

,消去 y 并整理得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 .

设A

x ?x 4km , y1 ? y2 m . ( x1, y1 ) ,C ( x2, y2 ) ,则 x1 ? x2 ?? ?k? 1 2 ?m? 2 1 ? 4k 2 2 2 1 ? 4k 2 ? 4km , m ). 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 ? 1 . 4k

所以 AC 的中点为 M(

因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m ? 0 , k ? 0 ,所以直线 OB 的斜率为

因为

k ? (?

,所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 1 ) ? ?1 4k

所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.
33. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 已知圆 )

M : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆

P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C .
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最 长是,求 | AB | .

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑.
【答案】解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径

r1 ? 1 ;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径

r2 ? 3 .
设知 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (I) 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以

PM ? PN ? ( R ? r1 ) ? (r2 ? R) ? r1 ? r2 ? 4 .
有椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左.右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆 (左定点除外),其方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) 4 3

.

(II)

对于曲线 C 上任意一点 P( x, y ) ,由于

PM ? PN ? 2R ? 2 ? 2 ,所以 R ? 2,当

且 仅 当 圆 P 的 圆 心 为 (2,0) 时 ,R=2, 所 以 当 圆 P 的 半 径 最 长 时 , 其 方 程 为

( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ;
若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得

AB ? 2 3

.

若 l 的倾斜角不为 90°,则 r ? R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q, 1 则

R ? QM r1

QP

,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 于圆 M 相切得

3k 1? k 2

,

?1

解得 k=±

2. 4

当 k=

,并整理得 7 x 2 ? 8x ? 8 ? 0 , 2 时,将 y= 2 x+ 2 代入 x 2 y 2 ? ?1 4 3 4 4

解得

x1,2 ?

?4 ? 6 2 18 . .所以 AB = 1+k 2 x2 ? x1 ? 7 7

当 k=

?

2 18 . 时,有图形的对称性可知 AB = 4 7
.

综上,

AB =2 3或 AB ? 18 7

34. (2013 年高考陕西卷(文) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的 )

距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜 率. 【答案】解: (Ⅰ) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离,是到点 N(1,0)的距离的 2 倍,则 . x2 y2 | x ? 4 |? 2 ( x ? 1) ? y ? ? ?1 4 3
2 2

所以,动点 M 的轨迹为 椭圆,方程为 x 2

4

?

y2 ?1 3

(Ⅱ) P(0, 3), 设 A( x , y ), B( x , y ),由题知: ? 0 ? x ,y ? 3 ? y 2 x1 1 1 2 2 2 2 1 2 椭圆

的上下顶点坐标分别是(0, 3 )和(0,- 3 ), 经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m

斜率 k 存在. 设直线m方程为 : y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x2 ?

? 24 k 24 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x 2 1 ( x ? x 2 ) 2 ? 2 x1 ? x 2 5 (?24 k ) 2 9 3 ? ? ?2? 1 ? ? ? ?k ?? 2 x 2 x1 2 x1 ? x 2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2
所以,直线 m 的斜率

k??

3 2

35. (2013 年高考大纲卷(文) 已知双曲线 )

C:

离心率为 3, 直线 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, a2 b

y ? 2与C的两个交点间的距离为 6.
(I)求 a , b; ; (II) 设过F 的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且
2

AF1 ? BF1 ,



明:

AF2 、 、 2 AB BF

成等比数列 ,即 a 2 ? b 2 ,故 b 2 ? 8a 2 .

【答案】(Ⅰ)由题设知 c

a

?3

a2

?9

所以 C 的方程为 8 x 2 ? y 2 ? 8a 2 . 将 y=2 代入上式,求得,

x ? ? a2 ?
由题设知,

1 2

.

1 2 a ? ? 6 2
2

,解得, a 2 ? 1 .

所以

a ? 1, b ? 2 2 .


(Ⅱ)由(Ⅰ)知, F (?3, 0) , F (3, 0) ,C 的方程为 8 x 2 ? y 2 ? 8 . 1 2 由题意可设 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,

| k |? 2 2 ,代入①并化简得,

(k 2 ? 8) x 2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 8 ? 0 .
设 A( x , y ) , B( x , y ) ,则 1 1 2 2

x1 ? ?1 , x2 ? 1 ,

6k 2 , 9k 2 ? 8 . x1 ? x2 ? 2 x1 ? x2 ? 2 k ?8 k ?8

于是

| AF1 |? ( x1 ? 3) 2 ? y12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? ?(3 x1 ? 1)
| BF1 |? ( x2 ? 3) 2 ? y2 2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 2 ? 8 ? 3 x2 ? 1
由 | AF |?| BF | 得, ?(3x ? 1) ? 3x ? 1 ,即 1 1 1 2

,

x1 ? x2 ? ?

2. 3

故 6k 2

k2 ?8
由于

??

19 . 2 ,解得 2 4 ,从而 k ? x1 ? x2 ? ? 5 9 3
,

| AF2 |? ( x1 ? 3) 2 ? y12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? 1 ? 3 x1
,

| BF2 |? ( x2 ? 3) 2 ? y2 2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 2 ? 8 ? 3 x2 ? 1
故 | AB |?| AF | ? | BF |? 2 ? 3( x ? x ) ? 4 , 2 2 1 2

| AF2 | ? | BF2 |? 3( x1 ? x2 ) ? 9 x1 x2 -1 ? 16 .
因而

| AF2 | ? | BF2 |? |AB|2 ,所以 | AF2 | 、 | AB | 、 | BF2 | 成等比数列.

36. (2013 年高考天津卷 (文) 设椭圆 )

的左焦点为 F, 离心率为 3 , 过 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b 3

点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 4 3 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点.
??? ??? 若 ????· ? ? ????· ? ? 8 , 求 k 的值. AC DB AD CB
【答案】

37 . 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 ) 如 图 , 抛 物 线 ( )

C1 : x 2 ? 4 y, C2 : x 2 ? ?2 py ? p ? 0 ?

,点

M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合
于O)

x0 ? 1 ? 2

,切线 MA. 的斜率为 1 .

-

2

(I)求 p 的值; (II)当 M 在 C 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方 2 程.

? A, B重合于O时,中点为O ? .

【答案】

38. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 )

2

,在 Y 轴上截得线 .

段长为 2

(Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x 的距离为
【答案】

,求圆 P 的方程.

39. (2013 年高考湖北卷 (文) 如图,已知椭圆 )

C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且

在 x 轴上,短轴长分别 为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C , C 的四个交点按纵坐标从 1 2 大到小依次为 A,B,C,D.记

??

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S 2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S ? ? S ,求 ? 的值; 1 2 (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S ? ? S ?并说明理由. 1 2

y A B

M
C

O

N x

D
第 22 题图
【答案】依题意可设椭圆 C 和 C 的方程分别为 1 2

, C : x2 y 2 . 其中 a ? m ? n ? 0 , m C1 : x 2 y 2 ? ? ? 1. ? 2 ?1 2 ? 2 ?1 2 2 n a m a n (Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 ,则
S1 ?

, ,所以 S | BD | . 1 1 1 1 1 | BD | ? | OM | ? a | BD | S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ? 2 2 2 2 S2 | AB |

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y ? m , y ? n , y ? ?m , A B D 于是 | BD |
| AB | ? | yB ? yD | m ? n ? ? 1 . ? ? | y A ? yB | m ? n ? ? 1

若S ,则 ? ? 1 ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . 1 ?? ?? ? ?1 S2 故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S ? ? S ,则 ? ? 2 ? 1 . 1 2 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则
| BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;

S1 ?

, . 1 1 1 1 | BD | ? | OM |? a | BD | S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | 2 2 2 2

所以 S | BD | m ? n ? ? 1 . 1 ? ? ? S2 | AB | m ? n ? ? 1 若S ,则 ? ? 1 ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . 1 ?? ?? ? ?1 S2 故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S ? ? S ,则 ? ? 2 ? 1 . 1 2

y

A B

y A B

M

O C

N x

M
C

O

N x

(Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S ? ? S . 根据对称性, 1 2 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d , d ,则 1 2 因为
d1 ? | ?ak ? 0 | 1? k2 ? ak 1? k2

,

d2 ?

| ak ? 0 | 1? k2

?

ak 1? k2

,所以 d ? d . 1 2



S1 ?

, ,所以 S | BD | ,即 | BD |? ? | AB | . 1 1 1 | BD | d1 S2 ? | AB | d2 ? ?? 2 2 S2 | AB |

由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,
| AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是
| AD | ? ? 1 . ? | BC | ? ? 1



将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得
xA ? am a 2 k 2 ? m2

,

xB ?

an a 2 k 2 ? n2

.

根据对称性可知 x ? ? x , x ? ? x ,于是 C B D A
1 ? k 2 | x A ? xD | 2 x A m a 2 k 2 ? n 2 | AD | ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m

.



从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? 2 2 2 a k ?m ? (? ? 1)

.





t?

? ? 1 ,则由 m ? n ,可得 t ? 1 ,于是由③可解得 2 n2 (? 2t 2 ? 1) . k ? 2 ? (? ? 1) a (1 ? t 2 )

因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 n 2 (? 2 t 2 ? 1) , ?0 2 2 a (1 ? t ) 等价于
(t 2 ? 1)(t 2 ? 1 )?0

. 由 ? ? 1 ,可解得 1

?

2

?

? t ?1

,

即1

?

?

,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1 ?1 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S ? ? S ; 1 2 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S ? ? S . 1 2 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S ? ? S . 根据对称性, 1 2 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d , d ,则 1 2 因为
d1 ? | ?ak ? 0 | 1? k2 ? ak 1? k2

,

d2 ?

| ak ? 0 | 1? k2

?

ak 1? k2

,所以 d ? d . 1 2



S1 ?

, ,所以 S | BD | . 1 1 1 | BD | d1 S2 ? | AB | d2 ? ?? 2 2 S2 | AB | ,所以 x
A

因为

1 ? k 2 | xB ? xD | x A ? xB | BD | ? ? ?? | AB | 1 ? k 2 | x A ? xB | x A ? x B

xB

?

? ?1 . ? ?1

由点 A( x , kx ) , B( x , kx ) 分别在 C1,C2 上,可得 A A B B , x 2 k2x 2 ,两式相减可得 x 2 ? x 2 k 2 ( x 2 ? ? 2 x 2 ) , xA2 k 2 x A2 A B A B ? ? 1 B2 ? 2B ? 1 ? ?0 a2 m2 a n a2 m2 依题意 x ? x ? 0 ,所以 x 2 ? x 2 . 所以由上式解得 A B A B
k2 ? m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) a 2 (? 2 xB 2 ? xA2 )

.

因为 k 2 ? 0 ,所以由 m2 ( x 2 ? x 2 ) ,可解得 . x A B 1? A ? ? ?0 xB a 2 ( ? 2 xB 2 ? x A 2 ) 从而
1?

,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1 ?? ? ?1

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S ? ? S ; 1 2

当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S ? ? S . 1 2

40. (2013 年高考重庆卷(文) (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 8 分) )

如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率

e?

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴 2

的垂线交椭圆于 A 、 A? 两点,

. AA? ? 4

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、P? ,过 P 、P? 作圆心为 Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标 准方程.

【答案】

41. (2013 年高考湖南(文) 已知 )

F1 , F2 分别是椭圆

E:

的左、右焦点 F , F 关 x2 1 2 ? y2 ? 1 5

于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b .当 ab 最大时,求直 2 线 l 的方程.
【答案】解: (Ⅰ) 先求圆 C 关于直线 x + y – 2 = 0 对称的圆 D,由题知圆 D 的直径



F1 F2 , 所以圆D的圆心D(0,0),半径r ? c ? a 2 - b 2 ? 2,圆心D(0,0)与圆心C关于
直线 x ? y ? 2 ? 0 对称 ? C (2,2) ? 圆C的方程为 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F (2,0), ,据题可设直线 l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线 l 可被圆 2 和椭圆截得 2 条弦,符合题意. 圆 C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 到直线 l 的距离 .

d=

| 2m ? 2 - 2 | 1? m2

?

| 2m | 1? m2

? 在圆中,由勾股定理得:b 2 ? 4(4 ?

4m 2 42 . )? 1? m2 1? m2

设直线与椭圆相交于点E ( x1 , y1 ), F ( x 2 , y 2 ), 联立直线和椭圆方程,整理得:
(m 2 ? 5)y 2 ? 4my ? 1 ? 0 ? x1 ? x 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 4 ? m
由椭圆的焦半径公式得:

? 4m 20 ?4? 2 2 m ?5 m ?5

a?2 5?

2 5

( x1 ? x 2 ) ?
.

10 ? 2( x1 ? x 2 ) 5

?2 5?

m2 ? 1 m2 ? 5

m2 ? 1 4 m2 ?1 ? ab ? 2 5 ? 2 ? ?8 5? 2 m ? 5 1? m2 m ?5
令f ( x) ?

x ?1 , x ? 0 ? y ? f ( x)在[0,3]上单调递增,在[3,??)上单调递减. x?5

令f ( x) ? f .(3) ? 当m 2 ? 3时,ab取最大值.这时直线方程为x ? ? 3 y ? 2.
所以当

ab取最大值,直线方程为x ? ? 3 y ? 2
的焦距为 4,且过点 x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

42. (2013 年高考安徽(文) 已知椭圆 )

P( 2,3) .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q ( x , y )( x y ? 0) 为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E .取点 0 0 0 0

A(0, 2 2) ,连接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点 G 是点 D 关于 y 轴的对
称点,作直线 QG ,问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理 由
【答案】解: (1)因为椭圆过点

P( 2,3)

且 a 2 ? b2 ? c2 ? 2 3 ? ?1 a 2 b2

? a2 ? 8
(2)

b2 ? 4

c2 ? 4

椭圆 C 的方程是 x 2

8

?

y2 ?1 4

由题意,各点的坐标如上图所示, 则 QG 的直线方程:

8 x0 y?0 ? 8 y0 x0 ? x0 x?

化简得

x0 y0 x ? ( x0 2 ? 8) y ? 8 y0 ? 0

又 x0 2 ? 2 y0 2 ? 8 , 所以 x x ? 2 y y ? 8 ? 0 带入 x 2 0 0

8
求得最后 ? ? 0

?

y2 ?1 4

所以直线 QG 与椭圆只有一个公共点.

43. (2013 年高考江西卷(文) 椭圆 C: )

=1(a>b>0)的离心率

,a+b=3

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明 2m-k 为定值.

【答案】解:

3 c c2 a 2 ? b2 b2 3 (1)因为e= ? 故 2 ? ? 1? 2 ? 2 a a a2 a 4

所 以 a ? 2b 再 由

a+b=3 得 a=2,b=1,

x2 ? 椭圆C的方程为: ? y 2 ? 1 4

1 (2)因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则BP方程为y=k(x-2)(k ? 0且k ? ? ) 2
① 将①代入 x 2 ,解得

4

? y ?1
2

8k 2 ? 2 4k P( 2 ,? 2 ) 4k ? 1 4k ? 1


又直线 AD 的方程为

y?

1 x ?1 2

①与②联立解得

M(


4k ? 2 4 k , ) 2k ? 1 2 k ? 1

D(0,1), P(

三点共线可角得 4k ? 2 8k 2 ? 2 4k N( , 0) , ? 2 ), N ( x, 0) 2 2k ? 1 4k ? 1 4k ? 1

所以 MN 的分斜率为 m= 2k ? 1 ,则

4

2m ? k ?

2k ? 1 1 (定值) ?k ? 2 2


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