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2014年高考真题——文科数学(安徽卷)精校版 Word版含答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)



学(文科)

第 ? 卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)设 i 是虚数单位,复数 i ?
3

2i ?( 1? i
(C) ? 1

) (D) 1 )
2

(A) ? i

(B) i

(2)命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定 是( .. (A) ?x ? R, | x | ? x ? 0
2

(B) ?x ? R, | x | ? x ? 0 (D) ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 ) (C) x ? ?1 (D) x ? ?2 )
2

(C) ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 (3)抛物线 y ? (A) y ? ?1

2

1 2 x 的准线方程是( 4
(B) y ? ?2

(4)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( (A)34 (B)55 (C)78 (D)89

(5)设 a ? log3 7 , b ? 2 , c ? 0.8
1.1

3.1

则(

) (D) a ? c ? b

(A) b ? a ? c

(B) c ? a ? b

(C) c ? b ? a
2 2

(6) 过点 P 的直线 l 与圆 x ? y ? 1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 (? 3,?1 ) ( )

(0, ] (A) 6

?

(0, ] (B) 3

?

(C) [0, ]

?

6

(D) [0, ]

?

3

(7)若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的图像向右平移 ? 个单位, 所得图像关于 y 轴对称, 则? 的 最小正值是( (A) )

? 8

(B)

? 4

(C)

3? 8

(D)

3? 4


(8)一个多面体的三视图如图所示,则多面体的体积是(

(A)

23 3

(B)

47 6

(C) 6

(D)7

(9)若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为( (A)5 或 8 (B) ? 1 或 5 (C) ? 1 或 ? 4 (D) ? 4 或 8



(10)设 a , b 为非零向量, b ? 2 a ,两组向量 x1, x2 , x3 , x4 和 y1, y2 , y3 , y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成,若 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 所有可能取值中的最小值为 4 a ,则 a 与 b 的夹 角为( (A) ? ) (B)
2

2 3

? 3

(C)

? 6

(D)0

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

5 4 ? 16 ? 4 (11) ? ? +log 3 ? log 3 ? ________. 4 5 ? 81 ?
(12)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC ? 2 2 ,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A 1; 过点 A 垂足为 A2 ; 过点 A2 作 AC 垂足为 A3 ; ?, 依此类推, 设 BA ? a1 , 1 作 AC 的垂线, 1 的垂线,

?

3

AA1 ? a2 , A1 A2 ? a3 ,?, A5 A6 ? a7 ,则 a7 ? ________.

?x ? y ? 2 ? 0 ? (13)不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域的面积为________. ?x ? 3y ? 2 ? 0 ?
(14) 若 函 数 f ?x ??x ? R ? 是 周 期 为 4 的 奇 函 数 , 且 在 ?0,2? 上 的 解 析 式 为

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ,则 f ?x ? ? ? ?sin ?x, 1 ? x ? 2

? 29 ? f ? ?? ? 4?

? 41? f ? ? ? _______ . ?6?

(15)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: 则称直线 l 在 (i) 直线 l 在点 P?x0 , y0 ?处与曲线 C 相切; (ii ) 曲线 C 在 P 附近位于直线 l 的两侧, 点 P 处“切过”曲线 C . 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l : y ? 0 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? x 3 ②直线 l : x ? ?1 在点 P?? 1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ( x ? 1)2 ③直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? sin x ④直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? tan x ⑤直线 l : y ? x ? 1 在点 P?1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ln x

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内. (16)(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,且 b ? 3, c ? 1 , ?ABC 的面积为 2 ,求

cos A 与 a 的值.
(17)(本小题满分 12 分) 某高校共有学生 15000 人,其中男生 10500 人,女生 4500 人,为调查该校学生每周平均体育运 动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单 位:小时) (Ⅰ)应收集多少位女生的样本数据? (Ⅱ) 根据这 300 个样本数据, 得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图 (如图所示) , 其中样本数据的分组区间为: 校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率; .估计该

(Ⅲ)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均体育 运动时间与性别列联表,并判断是否有 性别有关”. 附: 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与

P( K 2 ? k0 )
k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

(18)(本小题满分 12 分) 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1) , n ? N (Ⅰ)证明:数列 {
*

an } 是等差数列; n

(Ⅱ)设 bn ? 3n ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn (19)(本题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17 .点 G, E , F , H 分别是棱 PB, AB, CD, PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面 ABCD , BC // 平面 GEFH . (Ⅰ)证明: GH // EF; (Ⅱ)若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积.

(20)(本小题满分 13 分)
2 3 设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x ? x ,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x ? [0,1] 时,求 f ( x ) 取得最大值和最小值时的 x 的值.

(21)(本小题满分 13 分)

x2 y E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 E 于 A, B 设F 右焦点, 过点 F 1 , F2 分别是椭圆 1 的直线交椭圆 a b
两点, AF 1 ? 3F 1B (Ⅰ)若 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16,求 | AF2 | ; (Ⅱ)若 cos ?AF2 B ?

2

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(文科)试题参考答案
一.选择题 (1)D (2)C (3)A (4)B (5)B (6)D (7)C (8)A (9)D (10)B

二.填空题

(11) (12) (13) (14)

27 8 1 4
4

5 16

(15) ① ③ ④ 三.解答题 (16)(本小题满分 12 分) 解: 由三角形面积公式,得
2 2 因为 sin A ? cos A ? 1 ,

1 2 2 ? 3 ? 1 ? sin A ? 2 ,故 sin A ? 2 3

所以 cos A ? ? 1 ? sin 2 A ? ? 1 ? ( ① 当 cos A ?

2 2 2 1 ) ?? 3 3

1 时,由余弦定理得 3

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3 2 ? 12 ? 2 ? 1 ? 3 ?
所以 a ? 2 2 ② 当 cos A ? ?

1 ? 8, 3

1 时,由余弦定理得 3

1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3 2 ? 12 ? 2 ? 1 ? 3 ? (? ) ? 12 , 3
所以 a ? 2 3 . (17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ ) 300 ?

4500 ? 90 ,所以应收集 90 位女生的样本数据. 15000

(Ⅱ )由频率分布直方图得 1 ? 2 ? (0.100 ? 0.025) ? 0.75 ,所以该校学生每周平均体育运动时 间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75 . (Ⅲ )由(Ⅱ )知,300 位学生中有 300 ? 0.75 ? 225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时,又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是 关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 每周平均体育运动时间 45 女生 30 总计 75

不超过 4 小时 每周平均体育运动时间 165 超过 4 小时 总计 结合列联表可算得 210 90 300 60 225

K2 ?

300 ? 22502 100 ? ? 4.762 ? 3.841 75 ? 225 ? 210 ? 90 21

所以,有 95% 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. (18)(本小题满分 12 分) (Ⅰ )证:由已知可得

an ?1 an a a ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 n ?1 n n ?1 n .

an a } 是以 1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列. 1 n a (Ⅱ )解:由(Ⅰ )得 n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,所以 an ? n2 ,从而 bn ? n ? 3n n
所以 {

Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? 3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ?
① -② 得:

? n ? 3n ? (n-1 ) ? 3n ? n ? 3n+1

① ②

? 2S n ? 31 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? n ? 3n?1
? 3 ? (1 ? 3n ) ? n ? 3n?1 1? 3 (1 ? 2n) ? 3 n ?1 ? 3 2 (2n ? 1) ? 3n +1 ? 3 4

?

所以 Sn ?

(19)(本小题满分 13 分) (Ⅰ )证:因为 BC∥ 平面 GEFH, BC ? 平面PBC ,且 平面PBC 所以 GH∥ BC.同理可证 EF∥ BC,因此 GH∥ EF. (Ⅱ )解:连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD. 又 BD

平面GEFH ? GH ,

AC=O ,且 AC、BD 都在底面内,所以 PO⊥底面 ABCD.

又因为 平面GEFH ? 平面ABCD ,且 PO ? 平面GEFH ,所以 PO //平面GEFH , 因为 平面PBD 平面GEFH ? GK , 所以 PO ∥ GK,且 GK⊥底面 ABCD,从而 GK ? EF . 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB ? 8, EB ? 2 得 EB : AB ? KB : DB ? 1: 4

1 1 DB ? OB ,即 K 为 OB 的中点. 4 2 1 1 再由 PO∥ GK 得, GK ? PO ,即 G 是 PB 的中点,且 GH ? BC ? 4 2 2
从而 KB ? 由已知可得 OB ? 4 2, PO ? 所以 GK ? 3 故四边形 GEFH 的面积 S ? (20)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ ) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f '( x) ? 1 ? a ? 2 x ? 3x 令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ?
2

PB 2 ? OB 2 ? 68 ? 32 ? 6

GH ? EF 4?8 ? GK ? ? 3 ? 18 . 2 2

?1 ? 4 ? 3a ?1 ? 4 ? 3a , x2 ? , x1 ? x2 3 3

所以 f '( x) ? ?3( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 x ? x1 或 x ? x2 时, f '( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 内单调递减,在 ( x1 , x2 ) 内单调递增.

a ? 0 ,∴ (Ⅱ )∵ x1 ? 0, x2 ? 0 .
(ⅰ)当 a ? 4 时, x2 ? 1 ,由(Ⅰ )知, f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增, ∴f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处分别取得最小值和最大值. (ⅱ)当 0 ? a ? 4 时, x2 ? 1 , 由(Ⅰ )知 f ( x ) 在 [0, x2 ] 上单调递增,在 [ x2 ,1] 上单调递减, ∴f ( x ) 在 x ? x2 ?

?1 ? 4 ? 3a 处取得最大值. 3

又 f (0) ? 1, f (1) ? a , ∴ 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取得最小值;

当 a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处同时取得最小值; 当 1 ? a ? 4 时, f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值. (21)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ )由 | AF 1 |? 3| F 1B |, | AB |? 4 得, | AF 1 |? 3, | F 1B |? 1 . 因为 ?ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a ? 16, | AF 1 | ? | AF 2 |? 2a ? 8 . 故 | AF2 |? 2a? | AF 1 |? 8 ? 3 ? 5 . (Ⅱ )设 | F1B |? k ,则 k ? 0 且 | AF 1 |? 3k , | AB |? 4k ,由椭圆定义可得

| AF2 |? 2a ? 3k , | BF2 |? 2a ? k .
在 ?ABF2 中,由余弦定理可得

| AB |2 ?| AF2 |2 ? | BF2 |2 ?2 | AF2 | ? | BF2 | ? cos ?AF2 B
2 2 2 即 (4k ) ? (2a ? 3k ) ? (2a ? k ) ?

6 (2a ? 3k ) ? (2a ? k ) . 5

化简可得 (a ? k ) ? (a ? 3k ) ? 0 ,而 a ? k ? 0 ,故 a ? 3k . 于是有 | AF2 |? 3k ?| AF 1 |, | BF 2 |? 5k , 因此 BF2
2

? F2 A ? AB ,可得 F1 A ? F2 A .

2

2

故 ?AF 1F 2 为等腰直角三角形.从而 c ?

2 a. 2

所以椭圆的离心率 e ?

c 2 . ? a 2


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