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2016年福建高职招考数学模拟试题:二项式定理


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2016 年福建高职招考数学模拟试题:二项式定理
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1:7。 A、 B、 C、 D、

的展开式中,

的系数是

,则

的系数是( )

2: A、16 B、70 C、560 D、1120

的展开式中 的系数是

3:

展开式的各项系数之和为( A、0 B、1 C、-1 D、



4:

等于(



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A、

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B、

C、

D、

5:

S= A、8 B、7 C、 6 D 、5



+…+

除以 9 的余数为(



6:已知

的展开式中

的系数为

,常数

的值为



7:若多项 式

="

" 。

8:



,则自然数

______。

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9: (



10

的常数项是

(用数字作答) 。

10:在

的展开式中, x 的系数为

5

.

11:已知 (1)求 n 的值;

,且(1-2x) =a 0+a 1x+a 2x +a 3x + +a nx 。

n

2

3

n

(2)求 a 1+a 2+a 3+ +a n 的值。

12:求

的二项展开式中的第 5 项的二项式系数和系数.

13:在(2x-3y)

10

的展开式中,求:

(1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.

14: (1)求(x (2)已知(
2

2

) 的展开式中的常数项; ) 的展开式中 x 的系数为 ,求常数 a 的值;
5 9 3

9

-

(3)求(x +3x+2)

的展开式中含 x 的项.

15:求证 f(n)=

对任意自然数 ,f(n)都能被 8 整除

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答案部分

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1、A

,令 则 ,再令

2、D 略

3、A



,得

,即展开式系数之和为 0,故选 A、

4、B

运用二项式定理,原式=



5、B
9 8 8

依题意 - ×9 +…+
7



+ …+ )-2.∵ ×9 -
8

×9 - ×9 +…+
7

×9 +…+

×9-

-1=9(

×9

是正整数,∴S 被 9 除的余数为 7.故选:B、

6、 4

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因为展开式含有 依题意,得 ,所以 ,即 ,解得 , 。

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7、略 略

8、13





,解得



9、 210



得:

,所以常数项为

10、 .

11、 (1)n="15;" (2)-2.

试题分析: (1)首先注意等式

中 n 的取值应满足:

且 n 为正整数,其次是公式

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的准确使用,将已知等式转化为 n 的方程,解此方程即得; (2)应用赋值法: 注意观察已知二项式及右边展开式,由于要求 a 1+a 2+a 3+ +a n,所以首先令 x=1,得 后就只要求出 的值来即可,因此需令 x=0,得 =1,从而得结果。 + ;然

试题解析: (1)由已知得:

,由于 (2) 当 x=1 时, +

,

n=15;

当 x=0 时,

考点:1.排列数与组合数公式;2。二项式定理;3。赋值法。

12、



试题分析: 解题思路:利用二项式定理的通项公式写出 ,再求出二项式系数与系数.

规律总结:涉及求二项展开式的二项式系数或系数或特定项时,往往先写出二项式的通项公式,再进行求解. 注意点:要正确区分二项式系数与系数:二项式系数仅是一个组合数,系数是未知数的系数.

试题解析:



所以二项式系数为 考点:二项式定理.

,系数为

.

13、 (1) 2

10

(2) 1(3) 2 (4)
10 9

9

(5)
8 2 10

设(2x-3y)

10

=a 0x

+a 1x y+a 2x y +…+a 10y

(*)

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各项系数和即为 a 0+a 1+…+a 10,奇数项系数和为 a 0+a 2+…+a 10,偶数项系数和为 a 1+a 3+a 5+…+a 9,x 的奇次项系数 和为 a 1+a 3+a 5+…+a 9,x 的偶次项系数和 a 0+a 2+a 4+…+a 10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. (1)二项式系数和为 C +C +…+C
10

=2

10

.

(2)令 x=y=1,各项系数和为(2-3) (3)奇数项的二项式系数和为 C 偶数项的二项式系数和为 C (4)设(2x-3y)
10

=(-1)

10

=1. =2 ,
9 9

+C

+…+C

+C
9

+…+C
8 2

=2 .
10

=a 0x

10

+a 1x y+a 2x y +…+a 10y

令 x=y=1,得到 a 0+a 1+a 2+…+a 10="1 令 x=1,y=-1(或 x=-1,y=1) 得 a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=5
10 10

"①

② ,

①+②得 2(a 0+a 2+…+a 10)=1+5 ∴奇数项的系数和为 ;

①-②得 2(a 1+a 3+…+a 9)=1-5 ∴偶数项的系数和为 .

10

,

(5)x 的奇次项系数和为 a 1+a 3+a 5+…+a 9= x 的偶次项系数和为 a 0+a 2+a 4+…+a 10= .

;

14、 (1)

(2) a=4 (3) 含 x 的项为 C · x· C · 2 +C · 1· C · x· 2 =240x

5

4

(1)设第 r+1 项为常数项,则 T r+1=C (x )
2 9-r

· (-

) =(- ) C x

r

r

令 18-3r=0,得 r=6,即第 7 项为常数项. T 7= C = .

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∴常数项为 .
3

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(2)设第 r+1 项是含 x 的项,则有

C (

)

9-r

= x ,得:x

3

r-9

x =x ,

3

故 r-9=3,即 r=8. ∴C a(2

) = ,∴a=4.
5 5 5

8

(3)∵(x +3x+2) =(x+1) (x+2) , (x +3x+2)
5 2 5

的展开式中含 x 的项是(x+1)
5

5

展开式中的一次项与(x+2)

5

展开式中的常数项之积, (x+1)

展开式中的常数项与(x+2) 展开式中的一次项之积的代数和.
5 4

∴含 x 的项为 C · x· C · 2 +C · 1· C · x· 2 =240x.

15、 略 略


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