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运用导数解决三次函数问题


课题:运用导数解决有关三次函数问题

引例1: 画一画:如何画出下面三次函数的图像? Y

导函数:

y ? x 2 ? 2x ? 3

-1 O Y

X 3

几何画板演示 函数:

y?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 3

-1 O

X
3

一、想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系
a>0 判 别 f′(x) 式 = 3ax2+ 2bx+c 图 象 △>0 △=0 △<0 △>0 a<0 △=0 △<0

f(x)= 性 减区间: ax3+b (x1, x2) 2 x +cx +d 图 象

增区间: 单 (-∞, x1), 调 (x2, +∞)

增区间: (-∞, +∞)

增区间: (-∞, +∞)

减区间: (-∞, x1), (x2, +∞) 增区间: (x1, x2)

减区间: (-∞, +∞)

减区间: (-∞, +∞)

引例2:

方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是

2

-15

-10

-5

5

10

15

-2

-4

-6

-8

-10

-12

二、探一探:

三次函数图像与x轴交点有哪几种可能性?
6
6

6
4
4

6

2

2

C

-15

-10

-5

5

10

15

-15

-10

-5

5

10

15

4

4

-2

-2

-4

-4

-6

2

2

-6

-8

-8

-15

-10

-5

-15

-10

5

-5

10

15

5

10

6
6

-2
4

-2

4

2
2

-4
-15
-15 -10 -5 5 10 15

-4

-10

-5

5

10

15

C

C
-2
-2

-4
-4

-6
-6

-6

-6

-8

-8

-8

-8

结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图像与x轴交点只有一个; 2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图像与x轴交点有二个; 3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图像与x轴交点有三个.

三、与三次函数有关问题
例1、(2009北京文)设函数. f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x)在点 (2, f (2)) 处与直线 y ? 8 相切, 求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点.
3

小结1: ( 1 )、切线问题:首先, 关注是“过”某点还是 “在”某点;其次,对 于“在”某点 处的切线问题主要是从 三方面考虑( f ' ( x0) ? k;点( x0 , y 0 )在曲线上;点 ( x0 , y 0 )在切线上) (2)、单调性、极值问题 :从导函数入手,列表 分析。

例2:设函数

f ( x) ? x3 ?

个实根,求 a 的取值范围.
变式:

9 2 x ? 6x ? a 2

,若方程 f(x)=0 有且仅有一

(1)若方程 f(x)=0 有三个不同的实根,求 a 的取值范围 (2)若函数y=f(x)图象与直线y=4 有三个不同的实根,求 a 的取值范围 (3)设函数 g(x)=2x+b-a.若f(x)、g(x)图像只有一 个公 共点,求b的取值范围.

练习:

已知函数f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d (b、c、d为常数),当 k ? (??,0) ? (4,??)时, f ( x) ? k ? 0.只有一个实根;当 k ? (0,4)时,f ( x) ? k ? 0有3个相异实根。 现给出下列四个命题:

①、f ( x) ? 4和f ?( x) ? 0有一个相同的实根 ②、f ( x) ? 0和f ?( x) ? 0有一个相同的实根 ③、f ( x) ? 3 ? 0的任一实根大于 f ( x) ? 1 ? 0的任一实根 ④、f ( x) ? 5 ? 0的任一实根小于 f ( x) ? 2 ? 0的任一实根
①②④ 其中正确命题的是________

演示

四、品一品:
从本节课的学习中,体会到了什么?

课堂小结

本节课我们运用了导数工具对三次函数进行初步研究: (1)了解三次函数图像形状 (2)了解三次函数的性质(单调性、极值、与x轴交点情况) (3)初步掌握三次函数的有关题型: ①切线问题 ②单调性与极值问题 ③ 图像交点与方程解的问题 并从中体会等价转化思想、函数与方程思想、数形结合思想及分 类讨论思想在解题中的重要作用。

思考:已知函数 f(x)=x3-x.

(1)求曲线y=f (x)在点M(t, f(t))处的切线方程;
(2)设a>0,若过点A(a,b)可以作曲线y= f(x)的三条切线, 求证:-a<b<f(a).

五、练习题:
已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的

图象有三个不同的交点,求m的取值范围.

课外作业:

1、复习归纳本节内容 2、试卷一份:《三次函数专题小练》


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