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空间向量在立体几何中的应用典型例题10月3日

立体几何典型例题选讲(理科) 1 .如图在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 F 为棱 CD 中点,点 E 在棱 BC 上 (1)确定点 E 位置使 D1 E ? 面 AB1 F ; (2)当 D1 E ? 面 AB1 F 时,求二面角 D1 ? AF ? B1 的平面角的余弦 4 .如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB=1, AC ? AA1 ? 3 ,∠ABC=60 0 . 值。 (Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A— AC 1 —B 的大小? B

A1 B1

C1

A

C

2 .如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 B D.BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2 ,

AB ? AD ? 2
(Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离.

A

5 .如图,已知 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA ? 平面 ABCD,E、F 分别是 A B.PC 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:EF ? CD; P (Ⅲ)若,∠PDA=45°,求 EF 与平面 ABCD 所成角的大小.

D O B E B C A M

N D C

3 .如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? BC ? AB ? 2 , AB ? BC ?M、N 分别是

6 .如图,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是正方 形,PA=AD=2,M、N 分别是 A B.PC 的中点. (1)求二面角 P-CD-B 的大小; (2)求证:平面 MND⊥平面 PCD; A1 B1C (3) ,并求点 P 到平面 MND 的距离.

AC 和 BB1 的中点?
(1)求二面角 B1 ? A1C ? C1 的大小? (2)证明:在 AB 上存在一个点 Q,使得平面 QMN ⊥平面
A1 B1 C1

求出 BQ 的长度?
N

B A M

C

7 .如图,多面体 ABCDS 中面 ABCD 为矩形,

10.如图,在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,,D 是 AA1 的中点. SD ? AD, 且SD ? AB, AD ? a(a ? 0), AB ? 2 AD, SD ? 3AD. ,E 为 CD 四等分点(紧靠 D 点)? AB ^ BC, AB = BC = 1, AA = 2
1

(I)求证:AE 与 ? 平面 SBD (II)求二面角 A—SB—D 的余弦值?

(Ⅰ) 求异面直线 AC 1 1与B 1D 所成角的大小; (Ⅱ) 求二面角 C-B1D-B 的大小; (Ⅲ) 在 B1C 上是否存在一点 E,使得 DE // 平面 ABC ? 若存在, BE 求出 1 的值;若不存在,请说明理由. EC

C1 B1

A1

D C B

8 .如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面积是等腰直角三角形,∠A1B1C1=90°,A1C1=1,AA1= 2 ,N、M 分别是 11 .如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 是棱 线段 B1 B.AC1 的中点? (I)证明:MN//平面 ABC; (II)求 A1 到平面 AB1C1 的距离 (III)求二面角 A1—AB1—C1 的大小? 点 F 是棱 CD 的中点? (1)求证:D1E⊥平面 AB1F; (2)求二面角 C1—EF—A 的余弦值?

A

BC

9 .在直平行六面体 AC1 中, ABCD 是菱形, ?DAB ? 60? , AC (1)求证: C1O // 平面 AB1D1 ; (2)求证:平面 AB1D1 ? 平面 ACC1 A1 ; (3)求直线 AC 与平面 AB1D1 所成角的大小.
A A1

BD ? O , AB ? AA1 .
D1 B1 C1

12.如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BB1=BC=2,且 M 是 BC 的中点,点 N 在 CC1 上? (1)试确定点 N 的位置,使 AB1⊥MN; (2)当 AB1⊥MN 时,求二面角 M—AB1—N 的大小?

D O B

C

16.如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长 ? 13.如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是矩形, SA ? 底面 ABCD , P 为 BC 边的中点, SB 与平面 ABCD 所成的 为 1 的 菱形, ?ABC ? , OA ? 底面ABCD , 角为 45 ? ,且 AD ? 2 , SA ? 1 . 4 OA ? 2 , M 为 OA 的中点? (Ⅰ) 求证: PD ? 平面 SAP ; S (Ⅱ)求二面角 A ? SD ? P 的大小. (Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; A (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离? A D A

C P A A 1 17. 四棱锥 S=ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD,SD=AD=a,点 E 是 SD 上的点, 14.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 4, AB ? 2 , M 是 AC 的中点,点 N 在 AA1 上, AN ? ? 4 且 DE= ? a(0< ? ≦1). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅰ)求 BC1与侧面ACC1 A1 所成角的正弦值; (Ⅱ)证明 MN ? BC1 ; (Ⅲ) 求二面角 C ? C1 B ? M 的大小.
A1 C1

B A

(Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0、1),都有 AC⊥BE:
B1

(Ⅱ)若二面角 C-AE-D 的大小为 600C,求 ? 的值。

C N A

M

B

18.如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ? 15.如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C ,
E 为棱 CC1 的中点, 已知 AB ? 2 , BB1 ? 2 ,

?
4

, OA ? 底面 ABCD ,

OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点. (Ⅰ)证明:直线 MN // 平面 OCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离.

BC ? 1 , ?BCC1 ?

?
3

, 求:

O

(1)异面直线 AB 与 EB1 的距离;(2)二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值.

M

A B C

D


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