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二次函数根的分布(教案)


二次函数根的分布(教案)
教学目标: 1、进一步理解函数与方程的关系,2、让学生学会借助图像辅助分析(数形结 合法) 教学重点: 借助图像辅助分析(数形结合法) 一、 知识要点 1、 利用Δ 与韦达定理研究 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的分布 2)方程两根一正一负 3)方程有两个负根

1)方程有两个正根

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? b ? x1 ? 0, x2 ? 0,则? x1 ? x 2 ? ? ? 0 x1 ? 0 ? x 2,则 c ? 0 a a ? c ? x1 x 2 ? ? 0 ? a ?

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? b ? x1 ? 0, x2 ? 0,则? x1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ?

2、

借助函数图像研究 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的分布 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 。 k 为

常数。则一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。
y y
f (k ) ? 0
?

a?0
O

x??

b 2a

k x1

k
x2
x?? b 2a

O

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? 【定理 1】 k ? x1 ? x 2,则?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

y
a?0
O

y
f (k ) ? 0
?

x??
O

b 2a

x1

x2

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? 【定理 2】 x1 ? x 2 ? k,则?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

【定理 3】 x1 ? k ? x2 ? af (k ) ? 0
y y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

【定理 4】有且仅有 k1 ? x1 (或 x2 ) ? k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) ? 0
y
a?0
?

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

?a ? 0 ?a ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 1 1 ? ? ? 【定理 5】 k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p2 ? ? 或 ? f (k 2 ) ? 0 ? f (k 2 ) ? 0 ?f (p ) ? 0 ?f (p ) ? 0 1 1 ? ? ? ? f ( p2 ) ? 0 ? ? f ( p2 ) ? 0 ? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? k ? x ? x ? k 【定理 6】 1 1 2 2 ,则 ? f (k1 ) ? 0 或? ? f (k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 2 ? ? b b ? ? k1 ? ? ? k2 k1 ? ? ? k2 ? ? 2a 2a ? ?

y
? ?

a?0

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

二、典型例题
2 例 1 若一元二次方程 (m ? 1) x ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根,求 m 的取值范围。

分析:利用Δ 与韦达定理研究 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的分布
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? b ? x1 ? 0, x2 ? 0,则? x1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x 2 ? ? 0 ? a ?

例 2 根?

k 在何范围内取值,一元二次方程 kx 2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根和一个负

分析:利用 x1 ? 0 ? x2,则 c ? 0
2

a 例 3 若一元二次方程 kx ? (2k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 有一根为零,则另一根是正根还是负

根? 分析:把 x=0 代入,得 k=3,则可算出两根之和为 5/3>0,所以另一根为正 例 4.方程 x2+2px+1=0 有一个根大于 1,一个根小于 1,求 p 的取值范围 分析:利用 x1 ? k ? x2 ? af (k ) ? 0 例 5.若关于 x 的方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两实根中, 一根在 0 和 1 之间, 另一根 在 1 和 2 之间,求实数 k 的取值范围 利用零点存在定理 练习 1.方程 mx2+2(m+1)x+m+3=0 仅有一个负根,求 m 的取值范围 练习 2 若关于 x 的方程 kx2-(2k+1)x-3=0 在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根,求 k 的取值范围

1. 关于 x 的方程 x2+ax+a?1=0,有异号的两个实根,求 a 的取值范围。(a<1) 2. 如果方程 x2+2(a+3)x+(2a?3)=0 的两个实根中一根大于 3,另一根小于 3,求 实数 a 的取值范围。 (a<?3)

3. 若方程 8x2+(m+1)x+m?7=0 有两个负根,求实数 m 的取值范围。 (m>7) 4. 关于 x 的方程 x2?ax+a2?4=0 有两个正根,求实数 a 的取值范围。 (a>2) 5.设关于 x 的方程 4x2?4(m+n)x+m2+n2=0 有一个实根大于?1,另一个实根小 于?1,则 m,n 必须满足什么关系。 ((m+2)2+(n+2)2<4) 6. 关于 x 的方程 2kx2?2x?3k?2=0 有两个实根, 一根大于 1 另一个实根小于 1, 求 k 的取值范围。 (k<?4 或 k>0)

7.实数 m 为何值时关于 x 的方程 7x2?(m+13)x+m2?m?2=0 的两个实根 x1,x2 满足 0<x1<x2<2。 (?2<m<?1 或 3<m<4)

8.已知方程 x2+ (a2?9)x+a2?5a+6=0 的一根小于 0,另一根大于 2,求实数 a 的取值范围。 (2<a<8/3)

9.关于 x 的二次方程 2x2+3x?5m=0 有两个小于 1 的实根,求实数 m 的取值 范围。 (?9/40≤m<1)

10.已知方程 x2?mx+4=0 在?1≤x≤1 上有解,求实数 m 的取值范围。
? ? ? m 2 ? 16 ? 0 ? ?? 2 ? x1 ? x 2 ? 2 ? f ?1? ? 0 ? ? f ?? 1? ? 0 ?

解:如果在?1≤x≤1 上有两个解,则

? m??

如果有一个解,则 f(1)?f(?1)≤0 得 m≤?5 或 m≥5


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