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2015年高中数学新课标一轮复习上册6-1


1.(2014· 汉中一模)若 a,b 均为不等于零的实数,给出下列两个条件.条件 甲:对于区间[-1,0]上的一切 x 值,ax+b>0 恒成立;条件乙:2b-a>0,则甲 是乙的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] [解析] A 当 x∈[-1,0]时,恒有 ax+b>0 成立,

0+b>0, ?a· ? ?-1?+b>0, ?a· ∴b-a>0,b>0, ∴2b-a>0, ∴甲?乙,乙?/ 甲. 3 1 例如:a=2b,b>0 时,则 2b-a=2b>0, 3 1 但是,当 x=-1 时,a· (-1)+b=-2b+b=-2b<0. ∴甲是乙的充分不必要条件. 故选 A. 2.若奇函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且 f(2 014)=0,则不等式 x >0 的解集为( f?x?+6f?-x? )

A.(-2 014,0)∪(0,2 014) B.(-∞,-2 014)∪(0,2 014) C.(-∞,-2 014)∪(2 014,+∞) D.(-2 014,0)∪(2 014,+∞) [答案] A

[解析]

x x 由于 f(x)为奇函数,原不等式可化为 >0,即 <0, f?x? -5f?x?

?x>0, ?x<0, ∴? 或? ?f?x?<0 ?f?x?>0. 由数形结合 f(x)在(0,+∞)单调递增,且 f(2 014)=0, 则 f(x)在(-∞,0)单调递减且 f(-2 014)=0. ∴0<x<2014 或-2014<x<0. 故选 A. 3.在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则实数 y 的取值范围是( ? 1 3? A.?-2,2? ? ? C.(-1,1) [答案] [解析] A 由题意,知(x-y)*(x+y)=(x-y)· [1-(x+y)]<1 对一切实数 x 恒成 )

? 3 1? B.?-2,2? ? ? D.(0,2)

立,所以-x2+x+y2-y-1<0 对于 x∈R 恒成立.故 Δ=12-4×(-1)×(y2-y- 1 3 1)<0,所以 4y2-4y-3<0,解得- <y< . 2 2 教师用书独具——————————————— ?a,a<b, 定义 a*b= ? 已知 a= 30.3,b=0.33,c=log30.3,则(a*b)*c= ?b,a≥b. ________.(结果用 a,b,c 表示) [答案] [解析] c ∵log30.3<0<0.33<1<30.3,

∴c<b<a, ∴(a*b)*c=b*c=c. 教师用书独具——————————————— (2014· 阳信模拟)A 杯中有浓度为 a 的盐水 x 克,B 杯中有浓度为 b 的盐水 y 克,其中 A 杯中的盐水更咸一些.若将 A,B 两杯盐水混合在一起,其咸淡的程 度可用不等式表示为________.

[答案] [解析]

ax+by b< <a x+y 依题意知 a>b,将 A,B 两杯盐水混合后,盐水的浓度变为 ax+by , x+y

ax+by bx+by ax+by ax+ay ax+by 则有 > =b, < =a,故有 b< <a. x+y x+y x+y x+y x+y

x2 x3 1.设 x,y 为实数,满足 3≤xy2≤8,4≤ y ≤9,则y4的最大值是________. [答案] [解析] 27 x2 x4 ∵4≤ y ≤9,∴16≤y2≤81,

1 1 1 ∵3≤xy2≤8,∴8≤xy2≤3. x3 x4 1 x3 ∴y4=y2· 2,∴2≤ 4≤27. xy y 2.证明下列各题. 1 1 1 (1)设 x≥1,y≥1,证明:x+y+xy≤ x+ y+xy; (2)设 1<a≤b≤c,证明:logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. [命题立意] 本题考查不等式的基本性质,对数函数的性质和对数换底公式

等基本知识,考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力. [证明] (1)由于 x≥1,y≥1,

1 1 1 所以 x+y+xy≤x+y+xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1] =[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1). 因为 x≥1,y≥1,所以(xy-1) (x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立.

(2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式,得 1 1 1 logca=xy,logba=x ,logcb=y,logac=xy. 1 1 1 于是,所要证明的不等式即为 x+y+xy≤ x+ y+xy, 其中 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立.


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