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高中数学必修4第一章1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算


人大附中分校高一数学导学学案
班级____________ 姓名____________________ 日期_____________________
题目 学 习 要 求

1.1.2 弧 度 制 和 弧 度 课型 制与角度制的换算

新授课

教材

数学 B 版必修 4 § 1.1.2

1.知识目标: ① 了解弧度制,能进行弧度与角度的换算 ② 认识弧长公式,能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用方面 加深 2. 能力目标: ①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系. ②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. ③ 通过角度制与弧度制的换算,对学生进行算法训练,提高学生的计算能力.

重 点 难 点 导 学 学 案

重点:了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算. 难点:弧度的概念及其与角度的关系.

一.学生自学课本第 7、8 页.通过自学回答老师提出的以下问题: ① 角的弧度制是如何引入的? ② 为什么要引入弧度制?好处是什么? ③ 1 弧度是如何定义的? ④ 角度制与弧度制的区别与联系。 1.弧度角的定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角,它的单位是 rad 读作弧度, 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 2.平角、周角的弧度数:平角=? rad、周角=2? rad 3.正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0. 4.角?的弧度数的绝对值 二.角度制与弧度制的换算: 1.∵ 360?=2? rad
? 180 ? 1 rad ? ? ? ? 57 . 30 ? ? ?
?

? ?

l r

( l 为弧长, r 为半径)

∴180?=? rad;
?

∴ 1?=

?
180

rad ? 0 . 01745 rad

? 57 18 '

?

2.用弧度制表示弧长及扇形面积,公式: ① 弧长公式: l ? r ? ? ,由公式: ? ?
l r ?

l ? r??

比公式 l ?

n?r 180

简单

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积。 ②扇形面积公式
S ? 1 2 lR ,其中 l 是扇形弧长, R 是圆的半径。
o R S l

三.角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

王新敞
奎屯

新疆

正角 零角 负角

正实数 零 负实数

四.例题 例 1:(1)把 1 1 2 3 0 ' 化成弧度(精确到 0.001);(2)把 1 1 2 3 0 ' 化成弧度(用π 表示)
? ?

例 2: 把 ? ra d 化成度
5

3

例 3:填写下表:
角度 弧度 角度 弧度 角度 弧度 270° 300° 315° 330° 360° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 0° 30° 45° 60° 90° 120°

例 4:直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长: ⑴

4? 3

⑵ 165

?

例 5: 已知扇形周长为 10cm,面积为 6cm ,求扇形中心角的弧度数.

2

随堂练习 1.下列命题中,真命题是( ) A.1 弧度是一度的圆心角所对的弧 B.1 弧度是长度为半径的弧 C.1 弧度是一度的弧与一度的角之和 D.1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 8π 2.把- 化成角度是( ) 3 A.-960° B.-480° C.-120° D.-60° 3.把-300° 化为弧度是( ) 4π 5π 7π 7π A.- B.- C.- D.- 3 3 4 6 π 2 4.圆的半径是 6 cm,则圆心角为 的扇形面积是________ cm . 12

1.1.2 弧度制与角度值的换算参考答案 例题 例 1:(1)把 1 1 2 3 0 ' 化成弧度(精确到 0.001);(2)把 1 1 2 3 0 ' 化成弧度(用π 表示) 解:(1)α=1.969 rad 例 2: 把 ? ra d 化成度
5 3
? ?

(2)

5? 8



解: ? ra d ?
5
角度 弧度 角度 弧度 角度 弧度

3

3 5

? 180 ? 108

?

?

例 3:填写下表:
0° 30° 45° 60° 90° 120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

例 4:直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长 ⑴ 解: r ? 10 cm ⑵ 165
?

4? 3

⑵ 165

?

⑴ l ? ? ?r ?
? 165 ( rad ) ?

4? 3

? 10 ?

40 ? 3

( cm ) ;

?

?
180

11 ? 12

rad
2

例 5: 已知扇形周长为 10cm,面积为 6cm ,求扇形中心角的弧度数. 解:设扇形中心角的弧度数为 α (0<α <2π ),弧长为 l,半径为 r, 由题意: ? 1
? l ? 2 r ? 10 ? l?r ? 6 ? 2 ?
? r
2

? 5r ? 6 ? 0

∴ ?

?r ? 2 ?l ? 6

或?

?r ? 3 ?l ? 4

∴ ? ?

l r

=3 或

4 3

随堂练习 1.下列命题中,真命题是( ) A.1 弧度是一度的圆心角所对的弧 B.1 弧度是长度为半径的弧 C.1 弧度是一度的弧与一度的角之和 D.1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 解析:选 D.根据 1 弧度的定义,对照各选项,可知 D 为真命题. 8π 2.把- 化成角度是( ) 3 A.-960° B.-480° C.-120° D.-60° 8π 8 解析:选 B.- =- ×180° =-480° . 3 3 3.把-300° 化为弧度是( ) 4π 5π 7π 7π A.- B.- C.- D.- 3 3 4 6 π 5 解析:选 B.-300° =-300× =- π. 180 3 π 4.圆的半径是 6 cm,则圆心角为 的扇形面积是________ cm2. 12 1 2 1 π 3 3 解析:S= |α|r = × ×62= π. 答案: π 2 2 12 2 2


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