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2014年上海高考数学理科卷解析版


2014 年全国普通高等学校招生统一考试

上海
考生注意:

数学试卷(理工农医类)

1. 本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂(选择题)或写 (非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对 后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 函数 y ? 1 ? 2cos (2 x) 的最小正周期是____________.
2

考点: 二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 分析: 由二倍角的余弦公式化简,可得其周期. 解答: 解:
2 y ? 1 ? 2 cos x? ? ? cos x 4函 数 的 最 小 正 周 期 为 T ? ? 2

2? 1 ? ? 4 2

点评: 本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题. 2. 若复数 z ? 1 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 ? z ?

? ?

1? ? ? z ? ____________. z?

考点:复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 分析:把 复 数 代 入 表 达 式 , 利 用 复 数 代 数 形 式 的 混 合 运 算 化 简 求 解 即 可 解答:解 : 复 数 z=1+2i , 其 中 i 是 虚 数 单 位 ? z ?

? ?

1? 1 ) (1 ? 2i) ? 6 ? ? z ? (1 ? 2i ? 1 ? 2i z?

点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查. 3. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 9 5

____________. 数学(理)2014 第 1 页(共 4 页)

考点: 椭圆的简单性质.

x2 y 2 ? ?1的右焦点重 合, 分 析 : 由 题 设 中 的 条 件 y =2px ( p > 0 ) 的 焦 点 与 椭 圆 9 5
2

故 可 以 先 求 出 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标 ,根 据 两 曲 线 的 关 系 求 出 p ,再 由 抛 物 线 的 性 质 求出它的准线方程 解答:解:由题意椭圆

x2 y 2 ? ? 1 , 故 它 的 右 焦 点 坐 标 是 ( 2, 0) , 9 5 x2 y 2 ? ? 1 故 P=4 ∴ 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x=-2 . 9 5

又 y 2 =2px ( p > 0 ) 的 焦 点 与 椭 圆

故 答 案 为 : x=-2 点评: 本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线 的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题. 4. 设 f ( x) ? ?

? x,
2

x ? (?? , a),

? x , x ?[a , ? ?).

若 f (2) ? 4 ,则 a 的取值范围为____________.

考点: 分段函数的应用; 分 析 : 可 对 a 进 行 讨 论 , 当 a > 2 时 , 当 a=2 时 , 当 a < 2 时 , 将 a 代 入 相 对 应 的函数解析式,从而求出 a 的范围 解 答 : 解 : 当 a > 2 时 , f ( 2 ) =2 ≠ 4 , 不 合 题 意 ; 当 a=2 时 , f ( 2 ) =2 2 =4 , 符 合 题 意 ; 当 a < 2 时 , f ( 2 ) =2 2 =4 , 符 合 题 意 ; ∴ a≤ 2, 故答案为: ( - ∞ , 2] . 点 评 : 本 题 考 察 了 分 段 函 数 的 应 用 ,渗 透 了 分 类 讨 论 思 想 ,本 题 是 一 道 基 础 题 . 5. 若实数 x , y 满足 xy ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为____________.
2 2

考点: 基本不等式. 分析:由已知可得

y?
2

1 ,代入要求的式子,由基本不等式可得 x
2

解 答 xy ? 1 得 x ? 2 y ? x ?
2

2 ? 2 2 。得 x ? ? 4 2 x2

答案是 2 2 点评: 本题考查基本不等式,属基础题. 数学(理)2014 第 2 页(共 4 页)

6. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面夹角的大小为__________(结果用反 三角函数值表示) 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 分析: 由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,可得圆锥的 母 线 是 圆 锥 底 面 半 径 的 3 倍 ,在 轴 截 面 中 ,求 出 母 线 与 底 面 所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角. 解答: 解:设圆锥母线与轴所成角为θ ,∵圆锥的侧面积是 底面积 的 3 倍.

? rl l ? ? 3即 圆 锥 的 母 线 是 圆 锥 底 面 半 径 的 3 倍 , ? r2 r
r 1 1 ? 得 ? ? arccos l 3 3

故圆锥的轴截面如下图所示

cos? ?

点评: 本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面 半径的 3 倍,是解答的关键. 7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? (3cos? ? 4sin ? ) ? 1 ,则 C 与极轴的交点到极点的距离 是____________. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 分 析 : 由 题 意 , θ =0 , 可 得 C 与 极 轴 的 交 点 到 极 点 的 距 离 . 解 答 : 解 : 由 题 意 , θ =0 , 可 得 ρ ( 3cos0-4sin0 ) =1 , ∴C 与极轴的交点到极点的距离是

??

1 3
? an ? ,则 q ? ________.

点评: 正确理解 C 与极轴的交点到极点的距离是解题的关键.. 8. 设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 a1 ? lim ? a3 ? a4 ?
n ??

考点: 极限及其运算 分析:由已知条件推导出

a1 ?

a1 ? a1 ? a1q 由 此 能 求 出 1? q

q 的值.

数学(理)2014 第 3 页(共 4 页)

解 答 : 解 : ∵ 无 穷 等 比 数 列 {a n } 的 公 比 为 q ,

? a (1 ? q n ) ? a a1 ? lim ? 1 ? a1 ? a1q ? ? 1 ? a1 ? a1q x ?? ? 1? q ? 1? q ? q2 ? q ? 1 ? 0 得q ? 5 ?1 - 5 ?1 或q ? (舍) 2 2
1 2

点评: 本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 极限知识的合理运用. 9. 若 f ( x) ? x ? x
2 3 ?

,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是_____________.

考点: 指、对数不等式的解法;其他不等式的解法 分析: 直接利用已知条件转化不等式求解即可 解 答 : f ( x) ? x ? x
2 3 1 ? 2

2 3

?

1 2

?0
5 5

得x ? x 得x 6 ? 1 ? x0;f ( x) ? x 6 是增函数得x得解集为? 0,1?
点评: 本题考查指数不等式的解法,函数的单调性的应用,考查计算能力. 10. 为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是_______________(结果用最简分数表示). 考点: 古典概型及其概率计算公式. 分 析 : 要 求 在 未 来 的 连 续 10 天 中 随 机 选 择 3 天 进 行 紧 急 疏 散 演 练 ,选 择 的 3 天 恰 好 为 连 续 3 天 的 概 率 , 须 先 求 在 10 天 中 随 机 选 择 3 天 的 情 况 , 再 求 选 择 的 3 天恰好为连续 3 天的情况,即可得到答案. 解 答 : 解 : 在 未 来 的 连 续 10 天 中 随 机 选 择 3 天 共 有 C10 其中选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况有 8 种, ∴选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是
3

? 120 种 情 况 ,

8 1 ? 120 15

点评: 本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题.
2 2 11. 已知互异的复数 a , b 满足 ab ? 0 ,集合 ?a , b? ? a , b ,则 a ? b ? __________.

?

?

数学(理)2014 第 4 页(共 4 页)

考点: 集合的相等. 分析: 根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论
2 2 解 答 : 解 : 根 据 集 合 相 等 的 条 件 可 知 , ?a , b? ? a , b

∵ ab ≠ 0 , ∴ a ≠ 0 且 b ≠ 0 , 即 a=1 , b=1 , 此 时 集 合 {1 , 1} 不 满 足 条 件 . 若 b=a 2 , a=b 2 , 则 两 式 相 减 得 a 2 -b 2 =b-a , ∵ 互 异 的 复 数 a, b, ∴ b-a ≠ 0 , 即 a+b=-1 , 故 答 案 为 : -1 . 点评: 本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题 的关键,注意要进行分类讨论. 12. 设常数 a 使方程 sin x ?

2 2 ? ? ?a ? 0或b=1 ?a ? a ?b ? a 或 得: ? ? ? 2 2 ? ? ?b ? 0或a ? 1 ?b ? b ?a ? b

?

?

3 cosx ? a 在闭区间 [0 , 2? ] 上恰有三个解 x1 , x2 , x3 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? ____________.
考点: 正弦函数的图象;两角和与差的正弦函数. 分析: 先利用两角和公式对函数解析式化简, 画出函数

y ? 2sin( x ? ) 的 图 象 , 3

?

方 程 的 解 即 为 直 线 与 三 角 函 数 图 象 的 交 点 , 在 [0 , 2 π ] 上 , 当 a=

3时,

直 线 与 三 角 函 数 图 象 恰 有 三 个 交 点 , 进 而 求 得 此 时 x1, x2, x3 最 后 相 加 即 可.

?? 3 ? ? sin ? x ? ? ? 得到x1 ? 0, x2 ? , x3 ? 2? 3? 2 3 ?
7 x1 ? x2 ? x3 ? ? 3
点评: 本题主要考查了三角函数图象与性质.运用了数形结合的思想,较为直 观的解决问题. 13. 某游戏的得分为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,随机变量 ? 表示小白玩该游戏的得分. 若 E (? ) ? 4.2 , 数学(理)2014 第 5 页(共 4 页)

则小白得 5 分的概率至少为____________. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 分 析 : 设 小 白 得 5 分 的 概 率 至 少 为 x , 则 由 题 意 知 小 白 得 4 分 的 概 率 为 1-x , 由 此能求出结果. 解 答 : 解 : 设 小 白 得 5 分 的 概 率 至 少 为 x, 则 由 题 意 知 小 白 得 4 分 的 概 率 为 1-x , ∵ 某 游 戏 的 得 分 为 1, 2, 3, 4, 5, 随 机 变 量 ξ 表 示 小 白 玩 该 游 戏 的 得 分 , E ( ξ ) =4.2 , ∴ 4 ( 1-x ) +5x=4.2 , 解 得 x=0.2 . 故 答 案 为 : 0.2 . 点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意离散型随机 变量的数学期望的合理运用
2 14. 已知曲线 C : x ? ? 4 ? y ,直线 l : x ? 6 . 若对于点 A(m , 0) ,存在 C 上的点 P 和 l

上的 Q 使得 AP ? AQ ? 0 ,则 m 的取值范围为____________. 考点: 直线与圆的位置关系. 分 析 :通 过 曲 线 方 程 判 断 曲 线 特 征 ,通 过 AP ? AQ ? 0 说 明 A 是 PQ 的 中 点 ,结 合 x 的范围,求出 m 的范围即可.
2 解答:解:曲线 C : x ? ? 4 ? y ,是以原点为圆心,2 为半径的圆,并且

x p ? ? ?2,0?
对 于 点 A ( m , 0 ) , 存 在 C 上 的 点 P 和 l 上 的 Q 使 得 AP? AQ? 0 , 说 明 A 是 PQ 的 中 点 , Q 的 横 坐 标 x=6 , m ? 故 答 案 为 : [2 , 3] 数学(理)2014 第 6 页(共 4 页)

6 ? xp ? ? 2,3? 2

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,函数思想的应用,考查计算能力以及转 化思想. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 设 a , b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2 且 b ? 2 ”的 (A) 充分条件. (C) 充分必要条件. (B) 必要条件. (D) 既非充分又非必要条件. [答]( )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判定. 解 答 : 解 :当 a=5 , b=0 时 ,满 足 a+b > 4 ,但 a > 2 且 b > 2 不 成 立 ,即 充 分 性 不 成立, 若 a > 2 且 b > 2 , 则 必 有 a+b > 4 , 即 必 要 性 成 立 , 故 “ a+b > 4 ” 是 “ a > 2 且 b > 2 ” 的 必 要 不 充 分 条 件 , 故 选 : B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本 题的关键,比较基础.

16. 如图, 四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱, P i (i ? 1, 2 ,

P2 P1 B P3 P4

P5 P7 P6

P8

, 8) 是上底面上其余的
, 8) 的不同值的个

八个点,则 AB ? AP i (i ? 1, 2, 数为[答]( (A) 1 . (C) 4 . )

A

(B) 2 . (D) 8 .

考点: 平面向量数量积的运算. 分析: 建立空适当的间直角坐标系,利用坐标 计算可得答案. 解答: 解:如图建立空间直角坐标系, 则 A( 2, 0, 0) , B( 2, 0, 1) , P1( 1, 0, 1) , P 2( 0 , 0 , 1 ) , P 3( 2 , 1 , 1 ) , P 4( 1 , 1 , 1 ) , P 5( 0 , 1 , 1 ) , P 6( 2 , 2 , 1 ) , P7( 1, 2, 1) , 数学(理)2014 第 7 页(共 4 页)

P8( 0, 2, 1) ,

AB AP 1 ? 1(i ? 1, 2,
故选择 A

,8)

点 评 :本 题 考 查 向 量 的 数 量 积 运 算 ,建 立 恰 当 的 坐 标 系 ,运 用 坐 标 进 行 向 量 数量积运算是解题的常用手段. 17. 已知 P 1 (a1 , b 1) 与 P 2 (a2 , b2 ) 是直线 y ? kx ? 1( k 为常数)上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? 1, 的解的情况是 a x ? b y ? 1 ? 2 2

[答](



(A) 无论 k , P 1 , P 2 如何,总是无解. (C) 存在 k , P 1 , P 2 ,使之恰有两解.

(B) 无论 k , P 1 , P 2 如何,总有唯一解. (D) 存在 k , P 1 , P 2 ,使之有无穷多解.

考点: 一次函数的性质与图象. 分 析 :判 断 直 线 的 斜 率 存 在 ,通 过 点 在 直 线 上 ,推 出 a 1 ,b 1 ,P 2 ,a 2 ,b 2 的 关 系 , 然后求解方程组的解即可. 解答:因为 P 1 (a1 , b 1) 与 P 2 (a2 , b2 ) 是直线 y ? kx ? 1 ( k 为常数)上且斜率存在。则

k?

b2 ? b1 ,(a2 ? a1 ), a2b1 ? a2b1 ? ka1a2 ? ka1a2 ? a2 ? a1 a2 ? a1

? ?a1 x ? b1 y ? 1 ? ? ?a2 x ? b2 y ? 1

?1? ? 2?

① ×b2-② ×b1 得 : ( a 2 b 1 -a 1 b 2 ) x=b 2 -b 1 ,即( a 2 -a 1 ) x=b 2 -b 1 .∴ 方 程 组有唯一解.

?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 18. 设 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值, 则 a 的取值范围为 [答( ] 1 x ? ? a , x ? 0. ? x ?
(A) [?1 , 2] . (B) [?1 , 0] . (C) [1 , 2] . (D) [0 , 2] . 考点: 分段函数的应用.



分 析 : 当 a< 0 时 , 显 然 f( 0 ) 不 是 f( x) 的 最 小 值 , 当 a≥ 0 时 , 解 不 等 式 : a 2 -a-2 ≤ 0 , 得 -1 ≤ a ≤ 2 , 问 题 解 决 . 数学(理)2014 第 8 页(共 4 页)

解 答 : 解 ; 当 a< 0 时 , 显 然 f( 0) 不 是 f( x) 的 最 小 值 , 当 a ≥ 0 时 , f ( 0 ) =a 2 , 由题意得:

a2 ? x ?

1 ?a?2?a x

解 不 等 式 : a 2 -a-2 ≤ 0 , 得 -1 ≤ a ≤ 2 , ∴ 0≤ a≤ 2, 故 选 : D. 点 评 : 本 题 考 察 了 分 段 函 数 的 问 题 ,基 本 不 等 式 的 应 用 ,渗 透 了 分 类 讨 论 思 想 , 是一道基础题.

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 底面边长为 2 的正三棱锥 P-ABC ,其表面展开图是 三角形 PP 1 2P 3 ,如图. 求 △ PP 1 2P 3 的各边长及此三棱锥的 体积 V .
A P3

C

B 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 分 析 : 利 用 侧 面 展 开 图 三 点 共 线 , 判 断 △ P1P2P3 是 等 边 三 角 形 , 然 后 求 出 边 长 , 利用正四面体的体积求出几何体的体积. ∵由题得,三棱锥 P ? ABC 是正三棱锥 ∴侧棱与底边所成角相同且底面 ?ABC 是边长为 2 的正三角形

P1

P2

∴由题得, ?ABC ? ?BCA ? ?CAB ?

?
3



?PBA ? ?P 1 1 AB ? ?P 2 BC ? ?P 2CB ? ?P 3 AC ? ?PCA 3
又∵ A, B, C 三点恰好在 P 1, P 2, P 3 构成的 ?PP 1 2P 3 的三条边上 ∴ ?P 1 BA ? ?P 1 AB ? ?P 2 BC ? ?P 2CB ? ?P 3 AC ? ?P 3CA ?

?
3

数学(理)2014 第 9 页(共 4 页)

∴P ?P 1 A ? PB 1 ?P 2B ? P 2C ? PC 3 3A ? 2 ∴ PP 1 2 ? PP 1 3 ?P 2P 3 ? 4 ,三棱锥 P ? ABC 是边长为 2 的正四面体 ∴如右图所示作图,设顶点 P 在底面 ABC 内的投影为 O ,连接 BO ,并延长交 AC 于 D ∴ D 为 AC 中点, O 为 ?ABC 的重心, PO ? 底面 ABC ∴ BO ?

2 2 3 2 6 1 1 3 2 6 2 2 , PO ? ,V ? ? ? 2 ? 2 ? BD ? ? ? 3 3 3 3 2 2 3 3

点评: 本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力,几何体的侧面展开图和体积 的求法.

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a . 2x ? a

?1 (1) 若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ( x) ;

(2) 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由. 考点: 反函数;函数奇偶性的判断. 分析: ( 1) 根 据 反 函 数 的 定 义 , 即 可 求 出 , ( 2 )利 用 分 类 讨 论 的 思 想 ,若 为 偶 函 数 求 出 a 的 值 ,若 为 奇 函 数 ,求 出 a 的值,问题得以解决

2x ? 4 8 ? 1? x ? (??, ?1) (1, ??) 解析: (1)由题得, f ( x) ? x 2 ?4 2 ?4
∴f
?1

? x ?1 ? ( x) ? 2 ? log 2 ? ? , x ? (??, ?1) (1, ??) ? x ?1 ?
2x ? a 且a ? 0 2x ? a

(2)∵ f ( x) ?

∴① 当 a ? 0 时, f ( x) ? 1, x ? R , ∴对任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f (? x) ,∴ y ? f ( x) 为偶函数

数学(理)2014 第 10 页(共 4 页)

② 当 a ? 1 时, f ( x) ?

2x ? 1 2? x ? 1 1 ? 2 x , x ? 0 f ( ? x ) ? ? , , 2x ? 1 2? x ? 1 1 ? 2 x

∴对任意的 x ? 0 且 x ? R 都有 f ( x) ? ? f (? x) ,∴ y ? f ( x) 为奇函数 ③ 当 a ? 0 且 a ? 1 时,定义域为 x x ? log 2 a, x ? R} , ∴定义域不关于原定对称,∴ y ? f ( x) 为非奇非偶函数 点 评 :本 题 主 要 考 查 了 反 函 数 的 定 义 和 函 数 的 奇 偶 性 ,利 用 了 分 类 讨 论 的 思 想 , 属于中档题.

?

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,某公司要在 A 、 B 两地连线上的定点
D

C 处建造广告牌 CD , 其中 D 为顶端,AC 长 35

B 在同一水平面上, 米, CB 长 80 米. 设点 A 、
从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ? 和 ? . (1) 设 计 中 CD 是 铅 垂 方 向 . 若 要 求
A

?
C

?
B

? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)?
CD 与铅垂方向有偏差. ? ? 18.45? , (2) 施工完成后, 现在实测得 ? ? 38.12? , 求 CD
的长(结果精确到 0.01 米). 考点: 解三角形的实际应用. 分析: ( 1 ) 设 CD 的 长 为 x , 利 用 三 角 函 数 的 关 系 式 建 立 不 等 式 关 系 即 可 得 到 结 论. ( 2) 利 用 正 弦 定 理 , 建 立 方 程 关 系 , 即 可 得 到 结 论 解析: (1)由题得,∵ ? ? 2 ? ,且 0 ? 2 ? ? ? ?

?
2

,? tan ? ? tan 2?

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CD 40 ? 即 ,解得, CD ? 20 2 ,∴ CD ? 28.28 米 2 35 CD 1? 6400 CD
(2)由题得, ?ADC ? 180 ? 38.12 ? 18.45 ? 123.43 ,



AD 35 ? 80 ? ,∴ AD ? 43.61米 sin123.43 sin18.45
2 2

2 ∵ CD ? 35 ? AD ? 2 ? 35 ? AD ? cos 38.12 ,∴ CD ? 26.93 米

点评: 本题主要考查解三角形的应用问题,利用三角函数关系式以及正弦定理 是解决本题的关键. 22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,

l C 与直 记 ? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) . 若? ? 0 , 则称点 P 1 , P 2 被直线 分割. 若曲线 l l C 的一条分割 线 l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1 , P 2 被直线 分割,则称直线 为曲线
线. (1) 求证:点 A(1, 2) , B(?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分割; (2) 若直线 y ? kx 是曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1的分割线,求实数 k 的取值范围; (3) 动点 M 到点 Q(0 , 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1 ,设点 M 的轨迹为曲线 E . 求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分割线. 考点: 直线的一般式方程 分析: ( 1 )把 A 、B 两 点 的 坐 标 代 入 η =( ax 1 +by 1 +c ) ( ax 2 +by 2 +c ) ,再 根 据 η < 0 , 得出结论. ( 2 ) 联 立 直 线 y=kx 与 曲 线 x 2 -4y 2 =1 可 得 ( 1-4k 2 ) x 2 =1 , 根 据 此 方 程 无 解 , 可 得 1-4k 2 ≤ 0 , 从 而 求 得 k 的 范 围 . 解 答 :证明: (1)由题得,? ? 2 ? (?2) ? 0 ,∴ A(1, 2), B(?1,0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔。

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解: (2)由题得,直线 y ? kx 与曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1无交点 即?

? x2 ? 4 y 2 ? 1 ? y ? kx
2

? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 1 ? 0 无解

∴ 1 ? 4k ? 0 或 ?

?

1 ? 4k 2 ? 0 1 1 ,∴ k ? ( ??, ? ] [ , ??) 2 2 2 ?? ? 4(1 ? 4k ) ? 0
2 2

证明: (理科) (3)由题得,设 M ( x, y ) ,∴ x ? ( y ? 2) ? x ? 1 , 化简得,点 M 的轨迹方程为 E : x ? ( y ? 2) ?
2 2

1 ,x ? 0。 x2

① 当过原点的直线斜率存在时,设方程为 y ? kx 。

1 ? 2 2 1 ? x ? ( y ? 2) ? 2 2 2 联立方程, ? x ? (k ? 1) x ? 4kx ? 4 ? 2 。 x ? y ? kx ?
令 F ( x) ? (k ? 1) x ? 4kx ? 4 , G ( x ) ?
2 2

1 ,显然 y ? F ( x) 是开口朝上的二次函数 x2

∴由二次函数与幂函数的图像可得, F ( x) ? G( x) 必定有解,不符合题意,舍去 ② 当过原点的直线斜率不存在时,其方程为 x ? 0 。
2 2 显 然 x ? 0 与 曲 线 E : x ? ( y ? 2) ?

1 ,x ? 0 没有交点,在曲线 E 上找两点 x2

(? 1, 2 ) , (1, 2) 。
∴ ? ? ?1?1 ? 0 ,符合题意 综上所述,仅存在一条直线 x ? 0 是 E 的分割线。 23. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? 3an , n ? N , a1 ? 1 .
*

1 3

(1) 若 a2 ? 2 , a3 ? x , a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; (2) 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, Sn ? a1 ? a2 ?

1 ? an . 若 Sn ? Sn ?1 ? 3Sn , 3

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n ? N* ,求 q 的取值范围;
(3) 若 a1 , a2 ,

, ak 成等差数列,且 a1 ? a2 ? , ak 的公差.

? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,

以及 k 取最大值时相应数列 a1 , a2 ,

考点: 等比数列的性质;数列的求和. 分 析 : ( 1) 依 题 意 :

1 1 a2 ? a3 ? 3a2 ; a3 ? a4 ? 3a3 ; 将 已 知 代 入 求 出 x 的 范 围 ; 3 3

( 2) 依 题 意 得 到 关 于 k 的 不 等 式 , 得 出 k 的 最 大 值 , 并 得 出 k 取 最 大 值 时 a1, a2, ? ak 的 公 差 .

?2 ?x?6 ? ?3 ? x ? [3, 6] 解答: (1)由题得, ? x ? ? 9 ? 3x ? ?3
(理科) (2)由题得,∵ an ? an ?1 ? 3an ,且数列 {an } 是等比数列, a1 ? 1 ,

1 3

1 ? n ?1 1 1 n ?1 ?q (q ? ) ? 0 n n ?1 ∴ q ? q ? 3q ,∴ ? ,∴ q ? [ , 3] 。 3 3 3 n ?1 ? ? q (q ? 3) ? 0
又∵ S n ? S n ?1 ? 3S n ,∴当 q ? 1 时, 当 q ? 1 时, ?

1 3

n ? n ? 1 ? 3n 对 n ? N ? 恒成立,满足题意。 3

1 1 ? q n 1 ? q n?1 1 ? qn ? ? 3? 3 1? q 1? q 1? q

?q n (q ? 3) ? ?2 ?q1 (q ? 3) ? ?2 1 1 ∴① 当 q ? [ ,1) 时, ? n ,由单调性可得, ? 1 ,解得, q ? [ ,1) 3 3 ? q (3q ? 1) ? 2 ? q (3q ? 1) ? 2
② 当 q ? (1,3] 时, ?

?q n (q ? 3) ? ?2
n ? q (3q ? 1) ? 2

,由单调性可得, ?

?q1 (q ? 3) ? ?2
1 ? q (3q ? 1) ? 2

,解得, q ? (1, 2]

(理科) (3)由题得,∵ an ? an ?1 ? 3an ,且数列 a1 , a2 , ∴ [1 ? (n ? 1)d ] ? 1 ? nd ? 3[1 ? ( n ? 1) d ] ,∴ ?

1 3

ak 成等差数列, a1 ? 1 ,

1 3

? d (2n ? 1) ? ?2 2 , 2] ,∴ d ? [ ? 2k ? 1 ?d (2n ? 3) ? ?2

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d 2 d d d k ? (a1 ? )k ? k 2 ? (1 ? )k ? 1000 2 2 2 2 2000 ? 2k 2000 ? 2k 2 ? [? , 2] ,解得, k ?[32,1999] , k ? N ? ∴d ? ,∴ 2 2 k ?k k ?k 2k ? 1 1 ∴ k 的最大值为 1999,此时公差为 d ? ? 1999
又∵ a1 ? a2 ?

ak ? 1000 ,∴ Sk ?

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