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(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式》理 新人教B版

[第 15 讲 导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式] (时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身 x 1.[2013·韶关调研] 函数 y=xe 的最小值是( ) 1 A.-1 B.-e C.- D.不存在 e 3 2 2.f(x)=x -3x +2 在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示, 从上午 6 时到 9 时,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间 1 3 3 2 629 关系可近似地用如下函数给出:y=- t - t +36t- .则在这段时间内,通过该路段用 8 4 4 时最多的时刻是( ) A.6 时 B.7 时 C.8 时 D.9 时 4.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) 3 A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 D.7 万件 能力提升 5.一矩形铁皮的长为 8 cm,宽为 5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一 个无盖的小盒子,盒子容积的最大值是( ) 3 3 3 3 A.12 cm B.15 cm C.18 cm D.16 cm 2 6.[2013·湖南卷] 设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N, 则当|MN|达到最小时 t 的值为( ) 1 5 2 A.1 B. C. D. 2 2 2 3 7. [2013·全国卷] 已知函数 y=x -3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 则 c=( ) A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1 8.已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA=2 3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( ) A.1 B. 3 C.2 D.3 9.[2013·辽宁卷] 若 x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是( ) 1 1 1 x 2 2 A.e ≤1+x+x B. ≤1- x+ x 2 4 1+ x 1 2 1 2 C.cosx≥1- x D.ln(1+x)≥x- x 2 8 10 .设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ,那么其表面积最小时,底面 边长为 1 ________. e x +1 ex 11.[2013·厦门质检] 设函数 f(x)= ,g(x)= x ,对任意 x1,x2∈(0,+∞), x e g(x1) f(x2) 不等式 ≤ 恒成立,则正数 k 的取值范围是________. k k+1 12.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价定为 P 元,则销售 2 量 Q(单位:件)与零售价 P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P .则该商品零售价定 为________时,毛利润 L 最大,最大毛利润是________(毛利润=销售收入-进货支出). 13. 将边长为 1 的正三角形薄片, 沿一条平行于某边的直线剪成两块, 其中一块是梯形, 2 (梯形的周长) 记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 14.(10 分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造 隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用 3x+5 与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 2 2 2 k 15.(13 分)[2013·河北重点中学联考] 已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=-x +ax-2. (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1,x2(x1<x2)且 x2-x1>ln2,求实数 a 的取值范围. 2 难点突破 16.(12 分)已知函数 f(x)=lnx- . (1)当 a>0 时,判断 f(x)在定义域上的单调性; a x 2 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求实数 a 的值; 2 2 (3)试求实数 a 的取值范围,使得在区间(1,+∞)上,函数 y=x 的图象恒在函数 f(x) 的图象的上方. 课时作业(十五) 【基础热身】 x 1.C [解析] y′=(x+1)e ,令 y′=0, 得 x=-1.因为 x<-1 时 y′<0;x>-1 时 1 y′>0,所以 x=-1 时,ymin=- . e 2 2.C [解析] f′(x)=3x -6x=3x(x-2),令 f′(x)=0 可得 x=0 或 2(舍去),当- 1≤x<0 时,f′(x)>0,当 0<x≤1 时,f′(x)<0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值 2. 3 2 3 3 3.C [解析] y′=- t - t+36=- (t+12)(t-8),令 y′=0 得 t=-12(舍去) 8 2 8 或 t=8,当 6≤t<8 时,y′>0,当 8<t<9 时,y′<0,∴当 t=8 时,y 有最大值. 2 4.C [解析] 因为 y′=-x +81,所以当 x>9 时,y′<0;当 0<x<9 时,y′>0,所以 1 3 函数 y=- x +81x-234 在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以 x=9 是函 3 数的极大值点.又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在 x=9 处取得最大 值. 【能力提升】 5.C [解析] 设小正方形

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