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4.1.2圆的一般方程教案


北京市和平街第一中学课时教案 第 授课 学科 课题 数学 授课 教师 高玉英 授课 班级 高二 1、班 页

授课 16 年 10 月 14 日 时间 课型 新授课 课时

§4.1.2 圆的一般方程 10 本课题课时 3

章(单元)总课时

本节课是第 1

1.通过具体实例探究出方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的条件, 并掌握圆的一般方

教学 目标

程; 2.理解圆的标准方程和一般方程的特点,并会运用待定系数法和数形结合思想求圆的方 程.

教学 重点 教学 难点 教学 方法 教学 手段

1.圆的一般方程的认知过程

2.掌握圆的一般方程及初步应用.
形如 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的方程在什么条件下表示圆及方程的应用.

探究应用

导学案 课题 一.圆的一般方程 结构特征 二. 例题

板书 设计



页 教 师 教 学 活 动 设 计 学生活动 估时

一、问题情境
思考 1: 指出下列方程表示什么图形? (1)

x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0

思考回答

(2) x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 (3) x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 6 ? 0 思考 2:方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示什么图形?

二、学生活动与建构数学 将 方 程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 配 方 , 得
D E 1 ( x ? )2 ? ( y ? ) 2 ? ( D 2 ? E 2 ? 4 F ) 与圆的标准方程进行比较得 2 2 4 到:



1. 当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, 方程表示以 (?

D E 配方 , ? ) 为圆心, 2 2



D2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆; 2
2.当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示一个点 (?
D E ,? ) ; 2 2

讨论



3.当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程无实数解,即方程不表示 程 任何图形; 方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2 ? E 2 ? 4F ? 0) 叫做圆的 一般方程. 结构特征: (1)二次项系数相等,且不为零(2)没有 xy 项 思考:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
2 ? ?? 2 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ? ?? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

回答 三.数学运用 例 1.已知圆 x2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ? 0 ,当该圆的面积最大时,圆心
坐标为

讨论完成

(0, ?1)

例 2.求过三点 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程; 分析:由于 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 不在同一条直线上,因此 经过 O, M1 , M 2 三点有唯一的圆. 解:法一:设圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ∵ O, M1 , M 2 三点都在圆上, ∴ O, M1 , M 2 三 点 坐 标 都 满 足 所 设 方 程 , 把

独立完成

O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 代入所设方程,
?F ? 0 ? 得 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ? 4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ? ? D ? ?8 ? 解得 ? E ? 6 ?F ? 0 ?

所以,所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 . 法二:也可以求 OM 1 和 OM 2 中垂线的交点即为圆心,圆心到 O 的距离就是半径也可以求的圆的方程: x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 .

法三:也可以设圆的标准方程:( x ? a) ? ( y ? b) ? r 将点的坐
2 2 2

标代入后解方程组也可以解得 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

第 教 师 教 学 活 动 设 计 注:1.待定系数法求圆的方程步骤: (1). 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式; (2). 根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程; (3). 解方程组,求出 a、b、r 或 D、E、F 的值,代入所设 方程,就得要求的方程. 2.何时选用圆的标准方程或一般方程? 四.课堂小结 1.对方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什 教 么时候可以表示圆); 2.与标准方程的互化; 定系数法求圆的方程。 五. 【课后练习】 3.用待 学生活动 学生总结 估时



1.方程 x2 ? y 2 ? 2ax ? by ? c ? 0 表示圆心为 C(2,2) ,半径 为 2 的圆,则 a、b、c 的值依次为( ) (A)2、4、4; (B)-2、4、4; (C)2、-4、4; (D)2、-4、-4
2.求出圆心坐标和半径长.





(1)

x2 ? y 2 ? 6x ? 0
2 2

(2) 4 x ? 4 y ? 4 x ? 12y ? 11 ? 0 (3) x ? y ? 2ay ? 0 ? a ? 0?
2 2

3. 已知方程 x 2 ? y 2 ? kx ? (1 ? k ) y ? 范围 (
A.

13 ? 0 表示圆, 则 k 的取值 4
D. k ? 3 或 k ? ?2

)
B . k ? ?2 C.

k ?3

?2 ? k ? 3

【布置作业】朝目 30-31 页《圆的一般方程》

课 后 反 思


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