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2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目c

2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
C 题 地面搜索
5.12 汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。救灾指挥部紧急派 出多支小分队,到各个指定区域执行搜索任务,以确定需要救助的人员的准确位 置。在其它场合也常有类似的搜索任务。在这种紧急情况下需要解决的重要问题 之一是:制定搜索队伍的行进路线,对预定区域进行快速的全面搜索。通常,每 个搜索人员都带有 GPS 定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。队伍中还 GPS 可以让搜索人员知道自己的方位。 步话机可以相互 有一定数量的卫星电话。 进行通讯。卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。 下面是一个简化的搜索问题。有一个平地矩形目标区域,大小为 11200 米 ×7200 米,需要进行全境搜索。假设:出发点在区域中心;搜索完成后需要进行 集结,集结点(结束点)在左侧短边中点;每个人搜索时的可探测半径为 20 米, 搜索时平均行进速度为 0.6 米/秒;不需搜索而只是行进时,平均速度为 1.2 米/秒。 每个人带有 GPS 定位仪、步话机,步话机通讯半径为 1000 米。搜索队伍若干人 为一组,有一个组长,组长还拥有卫星电话。每个人搜索到目标,需要用步话机 及时向组长报告,组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。 现在有如下问题需要解决: 1.假定有一支 20 人一组的搜索队伍, 拥有 1 台卫星电话。请设计一种你认 为耗时最短的搜索方式。按照你的方式,搜索完整个区域的时间是多少? 能否在 48 小时内完成搜索任务? 如果不能完成,需要增加到多少人才可以完成。 2.为了加快速度,搜索队伍有 50 人,拥有 3 台卫星电话,分成 3 组进行搜 索。每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。请设计一种你认为耗时最短的搜索 方式。按照你的搜索方式,搜索完整个区域的时间是多少?

地面搜索问题分析与评述
摘要:本文介绍 2008 年高教杯全国大学生数模竞赛 C 题“地面搜索”题的评卷情况, 首先概括地介绍了这个问题的背景、评卷要点、问题的解决方法和答卷中存在的问题。最后 给出了解决这个问题的一种优化路线和计算结果。 关键词:地面搜索;一笔画;横向搜索;纵向搜索 分类号:AMS(2000)90C05 中图分类号:O221.1 文献标识码:A

1 地面搜索问题的综合评述 1.1 问题的背景 1.2 评卷的基本要点

对问题 1,为了使搜索时间短,可以综合考虑三个因素:按一定笔划原则尽 量不过户重复路;尽量不空走;尽量少改变队形(每次改变队形要空走) 。解题 中应交待清楚具体的搜索方式 (如一字并排前进, 每人搜索宽度为 2*20=40 米) 、 具体的行进路线、算出完成的时间(空走与改变先进队形均需要时间) 。 行进路线的选择可以不同。对自己的方案是否是好方案,应进行可信的讨论 人。应有明确的计算,说明方案的可行。最好对不同的方案进行比较。对问题 2,在问题 1 的基础上适当分配人员,分区搜索。要看分区及行进路线是否合理。 应有明确计算,并给出解答。 两个问题在解答过程中要注意讨论的完善性,数学表达的清晰性。 1.3 问题的解决方法概述 做法千奇百怪,搜索方式多。 1.4 存在的问题 把人分开独自搜索,不能保证发现目标后立刻向队长报告;把区域分成几个 村庄,有违题意;用小圆覆盖,亦不可。 2 地面搜索问题的优化路线 2.1 问题分析与假设 从实际中的搜索问题出发,我们需要假定队伍排成一排进行搜索,每次搜索 形成一个矩形区域。搜索方式不采用斜向方式 2.2 问题解答概要 问题 1 队伍排成一排搜索,20 人搜索的区域宽度为 20*40=800m。 搜索完的最少人数估计:k=总面积/(搜索宽度*搜索速度*总时间) 11200 *7200 k= = 19.4 ≈ 20 40* 0.6* 48*3600 20 人搜索完的最少时间:T=总面积/(总人数*搜索宽度*搜索速度) 11200 *7200 T= = 46.67(h) 20 * 40* 0.6*3600 3 原则:少走重复路;尽量不空走;尽量少拐弯。 20 人的一种最佳搜索路线见下图。

5 4 3 6

2 B (12) A 开始点 1->(11) 10 9 8 7
队伍所花时间:搜索时间、拐弯时间、空走时间。 横向搜索的矩形为 7200/800=9 个,矩形长度为 11200-800=10400.纵向搜 索一个矩形区域,长度为 7200.矩形的宽度均为队长 800. 搜索时间:T1=9*(11200-800)/0.6/3600+7200/0.6/3600=46.667 拐弯 10 次:T2=10*800/1.2/3600=1.852 空走时间:T3=(11200/2-800)/1.2/3600=1.1111 总时间:T=T1+T2+T3=46.667+1.852+1.1111=49.6301 队伍打开或收拢时间均为半队长时间:400/1.2/3600=0.0926, 可忽略。 21 人在 48 小时内不能完成搜索任务。22 人的采用图 2 的搜索方式,在 48 小时内可完成任务。 纵向搜索矩形为 7200/880=13 个, 矩形长度为 7200-880=6320,宽度为 880. 最后一个矩形的宽度为 11200-12*880=640. 在搜索完第 11 号进入 12 时需要行走的距离为 7200/2-880*4=80,刚好与 空走 18 时抵消。 搜索距离:11200+7*(7200-880)+3*(11200-7*880)+6*(7200-880*4)=92640 搜索时间:T1=92640/0.6/3600=42.899 拐弯 17 次:T2=17*880/1.2/3600=3.463 空走时间:T3=7200/2/1.2/3600=0.8333 总时间:T=T1+T2+T3=42.889+3.463+0.833=47.19 因此 22 人在 48 小时内可完成任务。

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11 10 9 8 问题 2 将 50 人分成 3 组,3 组人数为 20:10:20,3 组搜索路线如图 3 <-I4 I5 I3-> <-I2 6-> <-7 5 (8)-> 3-> <-4 <-S2 S5 S3-> <-S4 第 1 组 20 人,队长 800 米,搜索的距离为 1-> <-2 S1-> I1-> 1->

d1=11200/2+3*(11200-800)+7200/2=40400 搜索时间:T1=d1/0.6/3600=18.7 拐弯 4 次:T2=4*800/1.2/3600=0.74 空走时间:T3=1200/1.2/3600=0.28 总时间:T=T1+T2+T3=18.7+0.74+0.28=19.72 第 3 组与第 1 组完全相同。 第 2 组 10 人,队长 400,搜索距离为 d2=5600*2+6*(5600-1200)+2400=40000 搜索时间:T1=d2/0.6/3600=18.52 拐弯 7 次:T2=7*400/1.2/3600=0.648 空走时间:T3=5600/1.2/3600=1.296 总时间:T=T1+T2+T3=18.52+0.648+1.296=20.464 因此,搜索完整个区域所花时间为 20.464 另外,第 2 组比第 1 组多花 0.744 小时,还可优化。可将中间第 2 组 6 个矩 形区域的右线左移一段距离,使三个小组同时完成搜索。可解其为 230 米,则三 个小组搜索时间都为 19.82.这样三个小组分工搜索后, 可在 20 小时内完成搜索。


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