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三角函数的周期性


第十一课时 三角函数的周期性 教学目标: 掌握函数的周期性,会求简单函数的最小正周期,掌握正弦函数、余弦函数的周期及求 法;渗透数形结合思想,培养辩证唯物主义观点. 教学重点: 正、余弦函数的周期 教学难点: 函数的周期性 教学过程: 周期函数的定义: 根据上述定义,可知: 正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π . 以后如果不加特别说明,函数的周期一般都是指最小正周期 正切函数是周期函数,且周期 T=π 课本 P25 例 1、例 2 一般地,函数 y=Asin(ω x+ ? )及 y=Acos(ω x+ ? )(其中 A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0, 2π π ω >0)的周期 T= ,函数 y=Atan (ω x+ ? )的周期 T= ω ω 周期函数应注意以下几点: 1.式子 f(x+T)=f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何 x,式子都成立.而不能 是“一个 x”或“某些个 x” ,另一方面,判断一个函数不是周期函数,只需举一个反例就行 了. π 5π π 5π π 例如:由于 sin( + )=sin ,即 sin(x+ )=sinx.该式中 x 取 时等式成立,能 12 6 12 6 12 5π π 5π 否断定 是 sinx 的周期呢?不能, 因对于其他一些 x 值该式不一定成立.如 x= 时, sin(x+ ) 6 6 6 ≠sinx. [例]函数 y=cosx(x≠0)是周期函数吗? 2.式子 f(x+T)=f(T)是对“x”而言. 例如,由 cos( x x +2kπ )=cos 3 3 x (k∈Z),是否可以说 cos 的周期为 2kπ 呢? 3 3.一个函数是周期函数,但它不一定有最小正周期.例如,f(x)=a(常数),显然任何一个 正数 T 都是 f(x)的周期,由于正数中不存在最小的数,所以周期函数 f(x)=a 无最小正周期. 4.设 T 是 f(x)(x∈R)的周期,那么 kT(k∈Z,且 k≠0)也一定是 f(x)的周期,定义规定了 T 为一个实常数,而不是一个变数;同时也规定了 T 的取值范围,只要求不为零,不要误认为 T 一定是π 的倍数. 有许多周期函数的周期中是不含“π ”的,如下面几例: [例1] 函数 y=sinπ x 的周期是 [例2] [例 2]函数 y=tan2π x 的周期是 . [例 3]若对于函数 y=f(x)定义域内的任何 x 的值,都有 f(x+1)=f(x)成立,则由周期函 数的定义可知,函数 y=f(x)是周期函数,且 T=1 是其周期. [例 4]设 f(x)定义在 R 上,并且对任意的 x,有 f(x+2)=f(x+3)-f(x+4). 求证:f(x)是周期函数,并找出它的一个周期. 5.周期函数必须是函数,但一定要克服思维定势,认为周期性是三角函数所独有的,实质 上我们学过的非周期函数 f(x)(如 y=log2x,y=|x|,y=2x,y=x2 等等)将其定义域内限制在 一个半开半闭区间上,经左右平移,可以延拓变为周期函数,例如将非周期函数 y=x2(x∈R) 在其定义域 R 内限制在(-1,1] ,然后将 y=x2(-1<x≤1)的图象左、右平移,可以延拓为最 小正周期为 2 的周期函数 f(x)=(x-2k)2(2k-1<x≤2k+1),k∈Z,如图: [例]已知 f(x)=|x|,x∈(-1,1] ,求定义在 R 上的一个周期为 2 的函数 g(x),使 x ∈(-1,1]时,g

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