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2018版高中数学第2章数列2.2.2第2课时等差数列前n项和的综合应用课件新人教B版必修5_图文

阶 段 一 阶 段 三 第 2 课时 阶 段 二 等差数列前 n 项和的综合应用 学 业 分 层 测 评 1.掌握等差数列前 n 项和的性质及应用.?重点? 2.会求等差数列前 n 项和的最值.?重点、易错点? 3.能用裂项相消法求和.?难点? [基础· 初探] 教材整理 等差数列前 n 项和的性质 阅读教材 P40~P41,完成下列问题. 1.Sn 与 an 的关系 ? S1 ,?n=1? ?___ an=? S -S ? n n-1 ,?n≥2? ?________ 2.等差数列前 n 项和的性质 (1)等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,则{an}中连续的 n 项和构成的数列 S2n-Sn ,S3n-S2n,__________ S4n-S3n ,…构成等差数列. Sn,_______ (2)数列{an}是等差数列?Sn=an2+bn(a,b 为常数). 3.等差数列前 n 项和 Sn 的最值 (1)若 a1<0,d>0,则数列的前面若干项为____ 负数项(或 0),所以将这些项相加 即得{Sn}的最___ 小 值. 正数项(或 0),所以将这些项相加 (2)若 a1>0,d<0,则数列的前面若干项为____ 即得{Sn}的最___ 大 值. S1 是{Sn}的最___ S1是{Sn} 特别地,若 a1>0,d>0,则___ 小 值;若 a1<0,d<0,则__ 的最大值. 1.下列说法中正确的有________.(填序号) (1)若 Sn 为等差数列{an} 的前 n ?Sn? 项和,则数列? n ?也是等差数列; ? ? (2)在等差数列{an}中,当项数 m 为偶数 2n 时,则 S 偶-S 奇=an+1; (3)若 a1>0,d<0,则等差数列中所有正项之和最大; (4)在等差数列中,Sn 是其前 n 项和,则有 S2n-1=(2n-1)an. 【解析】 1 Sn d (1)正确.因为由等差数列前 n 项和公式知 n =2n+a1-2d,所以 Sn 数列 n 为等差数列. (2)错误.当项数 m 为偶数 2n 时,则 S 偶-S 奇=nd. (3)正确.由实数的运算可知该说法正确. ?a1+a2n-1??2n-1? (4)正确.因为 S2n-1= 2 2n-1 = 2 [an+(1-n)d+an+(n-1)d]=(2n-1)an. 【答案】 (1)(3)(4) 2.一个有 11 项的等差数列,奇数项之和为 30,则它的中间项为________. 【解析】 由条件知 a1+a3+a5+a7+a9+a11=30, 又∵a1+a11=a3+a9=a5+a7,∴a5+a7=2a6=10, ∴中间项 a6=5. 【答案】 5 3.等差数列{an}中,S2=4,S4=9,则 S6=________. 【解析】 由 S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列, ∴4+(S6-9)=2×5,∴S6=15. 【答案】 15 4.已知数列{an}的通项公式是 an=2n-48, 则 Sn 取得最小值时, n 为________. 【解析】 由 an≤0 得,2n-48≤0,n≤24. ∴当 n=23 或 24 时,Sn 最小. 【答案】 23 或 24 [小组合作型] 由数列的前n项和Sn求an 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +2n,求这个数列的通项公式. 2 这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 【精彩点拨】 【自主解答】 1(n>1), 根据 Sn=a1+a2+…+an-1+an 与 Sn-1=a1+a2+…+an- 1 1 1 2 可知,当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=n +2n-(n-1) +2(n-1)=2n-2,① 2 1 3 当 n=1 时,a1=S1=1 +2×1=2, 2 也满足①式. 1 ∴数列{an}的通项公式为 an=2n-2. 3 由此可知:数列{an}是以2为首项,以 2 为公差的等差数列. 1.已知前 n 项和 Sn 求通项 an,先由 n=1 时,a1=S1 求得 a1,再由 n≥2 时, an=Sn-Sn-1 求 an,最后验证 a1 是否符合 an,若符合则统一用一个解析式表示. 2.由数列的前 n 项和 Sn 求 an 的方法,不仅适用于等差数列,它也适用于其 他数列. [再练一题] 1.已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 【解】 (1)当 n=1 时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当 n≥2 时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则 an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2n2+7n-5 =4n-5. 此时若 n=1,an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故 an=4n-5. (2)当 n=1 时,a1=S1=31-2=1; 当 n≥2 时,Sn-1=3n-1-2, 则 an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1 =3· 3n-1-3n-1=2· 3n-1. 此时若 n=1,an=2· 3n 1=2· 31 1=2≠a1, - - 故 ? ? an=? ? ? 1,n=1, 2· 3n-1,n≥2. 等差数列前 n项和的性质应用 XXX (1)在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20 的值 为( ) 【导学号:18082028】 A.9 C.16 B.12 D.17 (2)等差数列{an}共有 2n+1 项,所有的奇数项之和为 132,所有的偶数项之 和为 120,则 n 等于________. 【精彩点拨】 (1)解决本题关键是能发现 S4,S8-S4,S12-S8,