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2014广西壮族自治区南宁市中考数学试题及答案(Word解析版)


2014 广西壮族自治区南宁市中考数学试卷
满 分 120 分, 考试时间 120 分钟 。

一 、选 择题 (本大题 共 12 小 题,每 小题 3 分,共 36 分)
1 . 如果 水位升 高 3m 时 水位变 化记作 +3m,那 么水位 下降 3m 时水位 变化记 作 (A)-3m 答 案: A 考 点:正 数和负 数(初 一上学 期 -有理 数) 。 2 . 下列 图形中 ,是 轴对称 图形的 是 ( ) (B)3 m (C)6 m (D) -6 m ( )

( A) 答 案: D

( B)

( C)

(D )

考 点:轴 对称图 形(初 二上学 期 -轴对 称图形 ) 。 3 . 南宁 东高铁 火车 站位于 南宁市 青秀区 凤岭北 路,火车 站总建 筑面积 约为 267000 平 方米,其中 数 据 267000 用科 学记数 法表示 为 (A)26.7×10 4 答案: C 考 点:科 学计数 法(初 一上学 期 -有理 数) 4. 要 使 二次根 式 (A ) 答案: D 考 点:二 次根式 的双重 非负性 和不等 式(初 二上 -二 次根式 ,初一 下 -一元 一次不 等式 ) 5. 下 列 运算正 确的是
3 (A ) a · a = a 2 6

( ( C)2.67× 10 5 (D)0.267 ×10 6

)

(B)2.67× 10 4

x ? 2 在实 数范围 内有意 义,则 实数 x 的 取值范 围是
(B )

(

)

x>2

x≥2

( C) x > ? 2

(D ) x ≥ ? 2

( (B ) x 2

)

? ? =x
3

6

( C) m ÷ m = m

6

2

3

(D)6 a -4 a =2

答案: B 考 点:整 式的加 减乘除 (初一 上 -整式 的加减 ,初二 上 -整式 的乘除 和因式 分解) 6. 在 直 径为 200cm 的圆柱 形油槽 内装入 一些油 以后, 截面如 图 1 所示, 若油面 的宽 AB =160cm , 则 油的最 大深度 为 (A )40cm 答案: A 考 点:垂 径定理 、勾股 定理( 初三上 - 圆,初 二下 -勾 股定理 ) 【 海壁分析】关 键是 过圆心 O 作半 径垂 直弦 AB,并 连结 OA 形成直 角三角 形 (B)60cm (C )80cm ( )

(D) 100cm

7. 数 据 1, 2, 4, 0 , 5 , 3 , 5 的中位 数和众 数分别 是 (A )3 和 2 答案: D 考 点:中 位数和 众数( 初一上 - 统计) (B)3 和 3 (C )0 和 5 (D)3 和 5

(

)

8. 如 图 2 所 示把一 张长方 形纸片 对折, 折痕 为 AB ,再 以 AB 的中点 O 为顶点 ,把平 角 ∠AOB 三等 分 ,沿平 角的三 等分线 折叠, 将折叠 后的图 形剪出 一个 以 O 为顶 点的直 角三角 形,那 么剪出 的 直角三 角形全 部展开 铺平后 得到的 平面图 形一定 是 ( )

图2

(A)正三角形 答案: A 考 点:轴 对称图 形

(B)正方形

( C)正五边形

(D)正六边形

【 海壁分析】这道 题非 常新 颖, 让人 眼前 一亮 。其 实, 在考 场里 面拿 张草 稿纸 试一 试, 是最 简单 的 方法。这 个题目 告诉我 们,实 践出真 知。数学 不仅仅 需要动 脑,也很 需要动 手。海壁 教育 向出 题 人致敬 ! 9. “ 黄 金 1 号”玉 米种子 的价格 为 5 元 /千 克,如 果一次 购买 2 千克 以上的 种子, 超过 2 千 克部 分 的种子 的价格 打 6 折,设购买 种子数 量为 x 千 克,付款 金额 y 为 元,则 y 与 x 的 函数 关系 的 图像大 致是 ( )

(A) 答案: B

(B )

(C )

(D)

考 点:一 次函数 :函数 图像与 分段函 数(初 二下 -一 次函数 ) 10. 如 图 3, 已知 二次函 数 y = ? x ? 2 x ,当 ? 1 < x < a 时 , y 随
2

x 的增 大
)

而 增大, 则实数 a 的取值 范围是 (A) a > 1 (C ) a >0 答案: B 考 点:二 次函数 :对称 轴和增 减性( 初三下 - 二次函 数) 11. 如 图 4, 在 (B ) ? 1 < a ≤ 1 (D ) ? 1 < a < 1

(

ABCD 中,点 E 是 AD 的中 点,延 长 BC 到点 F ,使 CF : BC =1 : 2 ,连接 DF ,

EC .若 AB= 5, AD =8 , sinB = ( A) 10 答案: C (B) 15

4 ,则 DF 的长等 于 5
( C) 17

(

)

(D ) 2 5

考 点:平行四 边形的 性质 ,勾 股定理 ,三 角函数(初 二下 -四 边形 ,勾股 定理 ,初 三下 -三角 函数 ) 【 海壁分析】关 键是 过点 D 作△ DCF 的 高,形 成直角 三角形 。再通 过平行 四边形 的性质 、勾 股定 理 和三角 函数求 解。这 道题稍 有综合 性,但 不算难 。 12. 已 知 点 A 在双曲 线 y ? ?

2 上,点 B 在直 线 y ? x ? 4 上,且 A, B 两点关 于 y 轴对 称,设点 A x m n 的 坐标为 ( m , n ) ,则 + 的 值是 ( ) n m
(A)-10 (B )-8 (C )6 ( D )4

答案: A 考 点: 对称 点,反 比例 函数 和一 次函数 的性 质, 配方法 (初 二上 - 对称 ,初二 下 -一 次函 数和 反比 例 函数, 初二上 - 整式的 乘除和 因式分 解) 【 海壁分析】 此题 相较以 往的南 宁中考 压轴题 ,并不 算难。 解题的 关键在 于将 A、 B 点 的坐 标通 过 m 和 n 表示 出来, 代入各 自的解 析式中 ,再得 到 m 和 n 的关 系式, 然后, 对 以 配合刚 才得到 的关系 式。变 形的时 候运用 到了非 常常 用的配 方的技 巧。 解 答:∵ A 点 的作标 为( m , n ) , A , B 两 点关于 y 轴 对称。 ∴点 B 的坐标 为 (- m , n ) ∵ 点 A 在 双曲线 y ? ?

m n + 进 行变 形 n m

2 2 上 ∴ n=? ∴ m n=? 2 m x

∵ 点 B 在直 线 y ? x ? 4 上 ∴ n =- m -4 ∴ n + m =-4



m n m 2 ? n 2 (m ? n) 2 ? 2nm + = = = - 10 n m nm nm

二、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
13. 比 较 大小 : ? 5 答案: < 考 点:有 理数大 小的比 较(初 一上 -有 理数) 14. 如 图 5, 已知 直线 a ∥ b , ∠ 1=120°,则∠ 2 的 度数 是 答案: 60° 考 点:平 行线的 性质; 邻补角 (初一 下 -平行 于相交 ) 15. 因 式 分解 : 2a 2 ? 6a = 答案: 2a(a ? 3) 考 点:因 式分解 (初二 上 -整式 的乘除 和因式 分解) 16. 第 45 届世界 体操锦 标赛将 于 2014 年 10 月 3 日至 12 日在 南宁市 隆重举 行,届时某 校将 从小 记 者 团内负责体育赛事报 道 的 3 名 同学 (2 男 1 女)中任 选 2 名前 往采访 ,那么 选出的 2 名 同 学 恰好是 一男一 女的概 率是 . . °.

3 (填 “ > ” “ <” 或“ =” ).

答案:

2 3

考 点:概 率(初 三上 -概 率) 【 海壁分析】男 男, 女男( 一) ,女男 (二 ) ,三 选二, so easy! 17. 如 图 6 ,一 渔船由 西往东 航行 ,在 A 点 测得海岛 C 位于北 偏东 60 ° 的方 向 ,前进 20 海里 到达 B 点 ,此时 ,测 得海岛 C 位 于北偏东 30 ° 的 方向 ,则 海岛 C 到航 线 AB 的距离 CD 等于 答案: 10 3 解 答: BD 设为 海里.

x , 因为 C 位于 北偏东 30 °,所 以∠ BCD = 30 ° x , CD= 3x ,

在 R T△ BCD 中, BD=

又 ∵∠ CAD = 30 °,在 RT△ ADC 中 , AB= 20, AD= 20+ x ,

AD CD ? BD , 又 ∵△ ADC≌ △ CDB ,所以 CD
即:

? 3x ? = x(20 ? x) , 求出 x = 10,故 CD= 10
2

3。

考 点:三 角函数 和相似 ; 【 海壁分析】这是 一道 典型的“解直 角三角 形”题 ,在 2012 年南 宁中考 出现在 解答题 中。关 键是 : 作 高, 设 x ,利用 特殊三 角形三 边关系 用 x 表 示出其 它边, 再根据 三角函 数、勾 股定理 或相 似比 等 数量关 系列出 方程。 这道题 的方法 非常多 样。 18. 如 图 7 ,△ ABC 是等 腰直角 三角形 ,AC= BC= a ,以 斜边 AB 上 的点 O 为圆 心的圆 分别与 AC ,BC 相切 与点 E ,F , 与 AB 分别交 于点 G , H ,且 EH 的延 长线和 CB 的 延长 线交于点 D,则 CD 的长 为 答案: .

(1 ? 2 )a 2

解 答:连 结 OE, OF。 ∵ AC 、 BC 与圆 O 相 切与点 E ,F,∴ ∠ OEA=90 °,∠ OFC =90 ° 又 ∵△ ABC 是 等腰直 角三角 形,∴ ∠ ACB =90 °, ∠ CBA= ∠ CAB =45 °, AB = 2a ∵ ∠ CBA= ∠ CAB =45 °,且 ∠ OEA= ∠ OFC =90°, OE =OF ∴ △ AOE 和△ BOF 都 是等腰 直角三 角形, 且△ AOE≌△ BOF。∴ AE= OE, AO =BO ∵ OE= OF ,∠ OEC =∠ OFC= ∠ ACB =90°∴四边形 OEFC 是正 方形。 ∴ OE =EC= AE=

a 2

∵ OE= OF ,∴ OA = OB =

1 a 2a ( 2 - 1)a AB= 。 OH = , BH= 2 2 2 2

∵ ∠ ACB=∠ OEA =90 °。 ∴ OE∥ DC,∴ ∠ OED =∠ EDC

∵ OE= OH,∠ OHE =∠ OED = ∠ DHB =∠ EDC ,∴ BD=BH=

( 2 - 1)a 2

∴ CD = BC+BH=

(1 ? 2 )a 2

考 点: 等腰 直角三 角形 ,圆 与直 线相切 ,半 径相 等,三 角形 相似 (初二 上 -对 称, 初三 上 -圆 ,初 三 下 -相似 ) 【 海壁分析】 原 题可转 化为求 DB 的长 度。DB 所在 的△ BDH( BD =BH) (或 证明△ OEH∽ △ BDH 亦可 ) 是 解题的 突破口 。所以 ,辅助 线 OE 成为 解题 的入口 。 2013 年,南 宁中考 的填空 压轴题 是等 边三 角 形与内 切圆, 2014 年,又 出此题 。是否 意味着 “圆与 直角三 角形” 已经取 代“找 规律 ” , 成为 南 宁中考 填空压 轴首选 ?

三、 ( 本大 题共 2 小题 ,每小 题满分 6 分, 共 12 分 )
19. 计算: ?? 1? ? 4 sin 45 ?
2

? ?3 ? 8

原式=1-4×

2 +3+ 2 2 = 4 2

考 点: 负数 的乘方 ;特 殊角 的三 角函数 值; 绝对 值;实 数( 初一 上 -有 理数, 初二 上 -二 次根 式, 初 三下 -三 角函数 ) 20. 解方程:

x 2 ?1 ? 2 x?2 x ?4

答案:去分母得: x( x ? 2) ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 2) 化简得:2 x =-2,求得 x =-1 经检验: x =-1是原方程的解 ∴ 原方程的解是 X=-1 考 点:分 式方程 (初二 下 -分式 ) 【 海壁分析】以前较常考的是分式的化简。

四、 (本大题共 2 小题,每小题满分 8 分,共 16 分)
21. 如图 8 ,△ ABC 三个 顶点的 坐标 分别为 A( 1, 1 ) , B (4,2) , C ( 3, 4) . (1) 请 画出△ ABC 向左平移 5 个 单位长 度后得 到 的 △A 1 B 1 C 1 ; (2) 请 画出△ ABC 关于原 点对称 的△ A 2 B 2 C 2 ; (3) 在

x 轴 上求 作一点 P, 使△ PAB 的 周长最 小,请 画出△ PAB ,并 直接写 出 ... . P 的坐 标 .

答案: ( 1) △ A 1 B 1 C 1 如 图 所 示 ; ( 2) △ A 2 B 2 C 2 如 图 所 示 ; ( 3) △ PAB 如 图 所 示 , 点 P 的坐标为: ( 2, 0)

考点:平面直角坐标系,图形的变化(平移、对称) (初一下-平面直角坐标系,初二上-对称) 【 海壁分析】要 使 △ PAB 的 周 长 最 小 ,因 为 AB 的 长 是 固 定 的 ,一 般 转 化 为 求“ 两 条 直 线 之 和 最 小值” 。这 是 海 壁 总 结 的 三 种 最 常 见 最 值 问 题 其 中 之 一 。主 要 方 法 是 作 线 段 某 点 关 于 该 直 线 的 对称点,然后连接对称点与线段另一点。 22. 考 试 前 ,同 学们总 会采用 各种方 式缓 解考试 压力 ,以 最佳状 态迎接 考试 . 某 校对该 校九 年级 的 部分同 学做了 一次内 容为“最 适合自 己的考 前减压 方式”的 调查活 动,学校将 减压方 式分 为五 类, 同学们 可根据 自己的 情况必 选且只 选其中 一类, 学 校收集 整理数 据后, 绘 制了图 9 ? 1 和 图 9 ? 2 两 幅不 完整的统计 图,请 根据统 计图中 的信息 解答 下列问 题 : (1) 这 次 抽样 调查中 ,一共 抽查 了多少 名学生 ? (2) 请 补 全条 形统计 图; (3) 请 计 算扇 形统计 图中“ 享受 美食” 所对应 扇形的 圆心角 的度数 ; (4) 根 据 调查 结果, 估计该 校九 年级 500 名学 生中 采用“ 听音乐 ”的减 压方式 的人数 .

答案

(1)8÷ 16%= 50(名) (2) 体育活动人数: 50-8-10-12-5=15(名) (补全条形统计图如图所示) (3) 360°×( 10÷ 50) =72° (4) 500×( 12÷ 50) =120(名) 答: 500 名学生中估计采用“听音乐”的减压方式的学生人数为 120 名

考点:条 形 统 计 图 ,扇 形 统 计 图 ; 抽 样 统 计 (初一下-统计) 【 海壁分析】统计是南宁市中考数学的必考点。2012 年统计里还包括概率的内容。

五、 (本大题满分 8 分)
23. 如 图 10, AB ∥ FC, D 是 AB 上 一点 , DF 交 AC 于点 E , DE = FE,分 别延长 FD 和 CB 交于点 G . (1) 求 证 : △ ADE ≌△ CFE ; (2) 若 GB =2, BC =4, BD=1, 求 AB 的长 .
图 10

答案: (1) ∵ AB ∥FC,∴∠ADE=∠CFE

又∵∠AED=∠CEF,DE=FE ∴ △ADE ≌ △ CFE ( ASA) (2) ∵ △ADE≌ △ CFE ,∴ AD=CF ∵ AB∥FC,∴∠GBD =∠GCF,∠GDB =∠GFC ∴ △ GBD ∽ △GCF(AA) ∴

GB BD ? GC CF

又因为 GB=2,BC=4,BD =1,代入得:CF=3 = AD ∴ AB =AD+BD = 3+1 =

4

考点:平行线,三角形全等,相似(初一下-相交与平行,初二上-全等三角形,初三下-相似) 【 海壁分析】简单的几何证明题每年都有,一般会以四边形为基础,利用三角形全等和相似的知识证明和 计算。第一小题一般为证明题,第二小题一般为计算题。这类题相对简单,必须拿分。

六、 (本大题满分 10 分)
24.“保护好环境,拒绝冒黑烟”. 某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划 购买 A 型和 B 型两种环保节能公交车共 10 辆. 若购买 A 型公交车 1 辆,B 型公交车 2 辆,共需 400 万元;若购买 A 型公交车 2 辆,B 型公交车 1 辆,共需 350 万元. (1) 求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元? (2) 预 计 在 该 线 路 上 A 型 和 B 型公 交 车 每 辆 年 均 载 客 量 分 别 为 60 万人 次和 100 万人次 . 若 该 公司购买 A 型和 B 型公交 车的总 费用不 超过 1200 万元 ,且确 保这 10 辆 公交车 在该线 路 的年均 载客量 总和不 少于 680 万 人次, 则该公 司有哪 几种购 车方案 ?哪种 购车方 案的总 费 用最少 ?最少 总费用 是多少 ? 答案: (1)设购买每辆 A 型公交车 x 万元,购买每辆 B 型公交车每辆 y 万元,依题意列方程得,

? x ? 2 y ? 400 ,解得 ? x ? 100 ?2 x ? y ? 350 ? y ? 150 ? ?
(2)设购买 x 辆 A 型公交车,则购买(10- x )辆 B 型公交车,依题意列不等式组得,

?100 x ? 150 (10 ? x) ? 1200 ?60 x ? 80(10 ? x) ? 680 ? 解得 6 ? x ? 8
有三种方案 (一) 购买 A 型公交车 6 辆,B 型公交车 4 辆 (二) 购买 A 型公交车 7 辆,B 型公交车 3 辆 (三) 购买 A 型公交车 8 辆,B 型公交车 2 辆 因 A 型公交车较便宜,故购买 A 型车数量最多时,总费用最少,即第三种购车方案 最少费用为:8 100+150 2=1100 (万元) 答: (1)购买 A 型和 B 型公交车每辆各需 100 万元、150 万元 (2)该公司有 3 种购车方案,第 3 种购车方案的总费用最少,最少总费用是 1100 万元。

考点:二元一次方程组和一元一次不等式组。 (初一下-二元一次方程组,初一下-一元一次不等式组) 【 海壁分析】南宁中考数学每年都会有一道与实际结合的应用题,相较 2010 年(二元一次方程组和不等 式) ,2011 年(反比例函数和不等式) ,2012 年(反比例函数和分式方程) ,2013 年(含图像的一次函数及 不等式) 。今年的题目更加简单。海壁老师拿给备战期考的初一学生做,都能轻易做出来。

七、 (本大题满分 10 分)
25. 如图 11 ? 1,四边形 ABCD 是正方形, 点 E 是边 BC 上一点, 点 F 在射线 CM 上,∠ AEF =90°, AE= EF, 过 点 F 作射线 BC 的垂线 ,垂足 为 H, 连接 AC . (1) 试判断 BE 与 FH 的数量关系,并说明理由; (2) 求证:∠ ACF =90°; (3) 连接 AF ,过 A ,E ,F 三点作圆,如图 11 ? 2 . 若 EC =4,∠ CEF =15°,求 AE 的长. 答案: (1)BE=FH。理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ∴ ∠ B=90 , ∵ FH BC ∴ ∠ FHE=90 又∵ ∠ AEF=90° ∴ ∠ AEB+∠ HEF=90° 且∠ BAE+∠ AEB=90° ∴ ∠ HEF=∠ BAE ∴ ∠ AEB=∠ EFH 又∵ AE=EF ∴ △ABE≌ △EHF(SAS)

∴ BE=FH
(2)∵ △ABE≌ △EHF ∴ BC=EH,BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴ BE=CH ∴ CH=FH ∴∠ FCH=45°,∴∠FCM=45° ∵ AC 是正方形对角线,∴ ∠ ACD=45°

∴ ∠ ACF=∠FCM +∠ ACD =90°
(3)∵AE=EF,∴△AEF 是等腰直角三角形 △AEF 外接圆的圆心在斜边 AF 的中点上。设该中点为 O。连结 EO,得∠AOE=90° 过 E 作 EN⊥ AC 于点 N RT △ENC 中,EC=4,∠ECA=45° ,∴EN=NC= 2 2 RT △ENA 中, EN = 2 2 又∵∠EAF=45° ∠ CAF=∠ CEF=15° (等弧对等角)∴ ∠ EAC=30° ∴AE= 4 2 RT △AFE 中, AE= 4 2 = EF,∴AF=8 AE 所在的圆 O 半径为 4,其所对的圆心角为∠AOE=90° AE=2π · 4 · ( 90 °÷ 360 °) =



考点:正方形;等腰直角三角形;三角形全等;三角形的外接圆;等弧对等角,三角函数;弧长的计算。 (初二上-全等三角形,轴对称,初二下-四边形,勾股定理;初三上-圆;初三下-三角函数)

【 海壁分析】这道题前两小问考到了一个非常常见的几何模型“倒挂的直角” (在 2012 年压轴题中也出现 过) ,在海壁的课堂中,给参加中考的学生讲过不下 5 次,这个模型经常用于全等和相似的证明。在这里, 用到了三角形全等中。 第三小问有一定的难度和综合性,关键是找出弧 AE 所对应的圆的半径和圆心角。结合第一、二小题 的结论(在难题中,第一二小题的结论或次生结论往往是第三小题最重要的条件) ,所对应的圆是等腰直 角△AEF 的外接圆。圆心角不难找出,关键就是如何让 EC=4 与圆的半径结合起来,在这里,我们做了 EN 这条辅助线。 (海壁教育认为,几何的难点无外乎两点:1、做辅助线,2、设 x 列方程)

八、 (本大题满分 10 分)

26. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 抛 物 线 y ? x 2 + ?k ? 1?x ? k 与 直 线 y ? kx ? 1 交 于 A , B 两 点 , 点 A 在点 B 的 左侧 . (1) 如 图 12 ? 1,当 k ? 1 时 ,直接写出 .... A ,B 两点 的坐标 ; (2) 在 (1) 的 条件 下 ,点 P 为 抛物线 上的一 个动点 ,且在 直线 AB 下方 ,试求 出 △ABP 面 积的最 大 值及此 时点 P 的坐标; (3) 如 图 12 ? 2 ,抛 物线 y ? x 2 + ?k ? 1?x ? k ?k ? 0? 与 x 轴 交于 C ,D 两 点(点 C 在点 D 的左 侧 ). 在 直线 y ? kx ? 1 上 是 否 存 在 唯 一 一 点 Q ,使 得 ∠OQC =90°?若存 在,请 求出此 时 k 的 值;若 不存在 ,请说 明理由 .

答案: (1)A(-1,0)

,B(2,3)
?y ? x2 ?1 ,解可得 ?y ? x ?1


【解答,无需写】当 k=1 时,列 ?

(2)平移直线 AB 得到直线 L,当 L 与抛物线只有一个交点时,△ ABP 面 最大【如图 12-1( 1) 】 设直线 L 解析式为: y ? x ? k , 根据 ?

?y ? x2 ?1 2 (k + 1 ) =0 ,得 x - x ?y ? x ? k
5 4

判别式△ ? 1 ? 4(k ? 1) ? 0 ,解得, k ? ? 代入原方程中,得 x ? x ?
2

1 1 3 ? 0 ;解得, x ? , y ? ? 4 2 4

∴P( 1 , ? 3 )
2 4
易求,AB 交 y 轴于 M(0,1) ,直线 L 交轴 y 于 G(0, ?

5 ) 4

过 M 作 MN⊥直线 L 于 N,∵OM=1,OA=1,∴∠AMO=45° ∵∠AMN=90,∴∠NMO=45°

在 RT△MNE 中,∠NMO=45°,MG= ∴ MN=

9 , 【如图 12-1(2) 】 4

9 2 ,MN 即为△ABP 的高 8 由两点间距离公式,求得:AB= 3 2 1 9 27 故△ABP 最大面积 s = ×3 2 × 2 = 2 8 8
(3)设在直线 y ? kx ? 1 上存在唯一一点 Q 使得∠OQC =90° 则点 Q 为以 OC 的中点 E 为圆心, OC 为直径形成的圆 E 与直线 】 y ? kx ? 1相切时的切点【如图 12-2(1) 由解析式可知:C( ? k ,0) ,OC= k ,则圆 E 的半径:OE=CE= 设直线 y ? kx ? 1与 x 、 y 轴交于 H 点和 F 点,与, 则 F(0,1) ,∴ OF=1 ∴ EH= 则 H( ?

k =QE 2

1 1 , 0) , ∴OH = k k

1 k ? k 2
∴EQ⊥AB,∠EQH=90°

∵AB 为切线

在△FOH 和△EQH 中 ∴△FOH∽△EQH ∴

??FHO ? ?EHQ ??FOH ? ?EQH ? 90 ? ?
1 k 1 = :QH,∴QH = k 2 2

FO EQ ? HO HQ

∴ 1:

在 RT△EQH 中,EH=
2 2

1 k 1 k ? ,QH = ,QE = ,根据勾股定理得, 2 2 k 2
2

?k ? ?1? ?1 k? ? ? +? ? =? ? ? ? 2? ? 2? ?k 2?
求得 k ?

2 5 5

考点:一次函数、二次函数、简单的二元二次方程组、一元二次方程根的判别式、平面直角坐标系中的平 行与垂直,直角三角形,圆(相切、圆心角) (初一下-平面直角坐标系,初二下-勾股定理,一次函数, 初三上-一元二次方程,圆,初三下-二次函、相似三角形) 【 海壁分析】延续了南宁市一贯的出题风格,本次考试的压轴题选择了二次函数综合题。 第一小题考查了二次函数与一次函数的交点(以前一般是求解析式) ,并不难,数学等级在 B 以上的 都应该拿分,而且这个分比拿选择、填空最后一题的分要容易的多,看到很多同学不做,我们感到十分可 惜。 第二小题也没有出乎我们的预料,命题者选择了三种最值问题中的第二种,重点考察是否了解通过平 行线求最值的思路。在海壁的课堂上,这种题型我们做过专题的分析,我相信参加中考的海壁同学都能拿

分。其实,求出 P 点以后,用点线距公式来解更加简单。 最后一小题,据我们了解,得分的不多,跪的多,第一难在理解, “是 否 存 在 唯 一 一 点 Q ,使得 ∠ OQC =90°” ,这句话让很多人彻底凌乱,很少人能联想到圆的切点。第二,这个题和其他的“存在问题” 又有不同,一般的存在问题是通过设点的坐标来表示线段的长度,而这道题却是用已经存在的参数 k 来 表示线段的长度,这又是一点区别,第三,答案的得数是一个无理数,含有根号,这样就会让计算难度 增大极多。综上,海壁教育认为,第三小问在南宁能答对的人不会超过千分之一。海壁预测,2015 年, 整套试卷的题目难度会降低,最后一题重点复习“动点问题” 。

2014 广西南宁市中考数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 1. (3 分) (2014?南宁)如果水位升高 3m 时水位变化记作+3m,那么水位下降 3m 时水位变化记作( A. ﹣3m B. 3m C. 6m ) D. D. ﹣6m )

2. (3 分) (2014?南宁)下列图形中,是轴对称图形的是( A. B. C.

3. (3 分) (2014?南宁)南宁东高铁火车站位于南宁青秀区凤岭北路,火车站总建筑面积约为 267000 平方 米,其中数据 267000 用科学记数法表示为( ) A. 26.7×104 B. 2.67×104 C. 2.67×105 D. 0.267×106 )

4. (3 分) (2014?南宁)要使二次根式 A. x>2 B. x≥2

在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是( C. x>﹣2 D. x≥﹣2 ) C. m6 ÷m2 =m3 D. 6a﹣4a=2

5. (3 分) (2014?南宁)下列运算正确的是( A. a ?a =a
2 3 6

B. (x ) =x

2

3

6

6. (3 分) (2014?南宁) 在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后, 截面如图. 若油面的宽 AB=160cm, 则油的最大深度为( )

A. 40cm

B. 60cm

C. 80cm

D. 100cm

7. (3 分) (2014?南宁)数据 1,2,3,0,5,3,5 的中位数和众数分别是( ) A. 3 和 2 B. 3 和 3 C. 0 和 5 D. 3 和 5 8. (3 分) (2014?南宁)如图所示,把一张长方形纸片对折,折痕为 AB,再以 AB 的中点 O 为顶点,把 平角∠ AOB 三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的直角三角形,那么剪 出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( )

A. 正三角形

B. 正方形

C. 正五边形

D. 正六边形

9. (3 分) (2014?南宁)“黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/千克,如果一次购买 2 千克以上的种子,超过 2 千克部分的种子价格打 6 折,设购买种子数量为 x 千克,付款金额为 y 元,则 y 与 x 的函数关系的图象 大致是( A. ) B. C. D.

10. (3 分) (2014?南宁)如图,已知二次函数 y=﹣x +2x,当﹣1<x<a 时,y 随 x 的增大而增大,则实 数 a 的取值范围是( )

2

A. a>1

B. ﹣1<a≤1

C. a>0

D. ﹣1<a<2

11. (3 分) (2014?南宁)如图,在?ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,延长 BC 到点 F,使 CF:BC=1:2, 连接 DF,EC.若 AB=5, AD=8,s inB= ,则 DF 的长等于( )

A.

B.

C.

D. 2

12. (3 分) (2014?南宁)已知点 A 在双曲线 y=﹣ 上,点 B 在直线 y=x﹣4 上,且 A,B 两点关于 y 轴对 称.设点 A 的坐标为(m,n) ,则 + 的值是( A. ﹣10 B. ﹣8 ) C. 6 D. 4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13. (3 分) (2014?南宁)比较大小:﹣5 _________ 3(填>,<或=) . 14. (3 分) (2014?南宁)如图,已知直线 a∥ b,∠ 1=120°,则∠ 2 的度数是 _________ °.

15. (3 分) (2014?南宁)分解因式:2a ﹣6a=

2

_________



16. (3 分) (2014?南宁)第 45 届世界体操锦标赛将于 2014 年 10 月 3 日至 12 日在南宁隆重举行,届时某 校将从小记者团内负责体育赛事报道的 3 名同学(2 男 1 女)中任选 2 名前往采访,那么选出的 2 名同学 恰好是一男一女的概率是 _________ . 17. (3 分) (2014?南宁)如图,一渔船由西往东航行,在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 40°的方向,前进 20 海里到达 B 点, 此时, 测得海岛 C 位于北偏东 30°的方向, 则海岛 C 到航线 AB 的距离 CD 等于 _________ 海里.

18. (3 分) (2014?南宁)如图,△ ABC 是等腰直角三角形, AC=BC=a,以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆 分别与 AC, BC 相切于点 E,F,与 AB 分别交于点 G,H,且 EH 的延长线和 CB 的延长线交于点 D,则 CD 的长为 _________ .

三、解答题: (本大题共 2 小题,每小题满分 12 分,共 12 分)要求写出解答过程.如果运算结果含有根 号,请保留根号. 19. (6 分) (2014?南宁)计算: (﹣1) ﹣4sin45°+|﹣3|+
2



20. (6 分) (2014?南宁)解方程:



=1.

四、解答题: (本大题共 2 小题,每小题满分 16 分,共 16 分)要求写出解答过程.如果运算结果含有根 号,请保留根号. 21. (8 分) (2014?南宁)如图,△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1) , B(4,2) ,C(3,4) . (1)请画出△ ABC 向左平移 5 个单位长度后得到的△A1 B1 C1 ; (2)请画出△ ABC 关于原点对称的 △A2 B2 C2 ; (3)在 x 轴上求作一点 P,使△ PAB 的周小最小,请画出△ PAB,并直接写出 P 的坐标.

22. (8 分) (2014?南宁)考试前,同学们总会采用各种方式缓解考试压力,以最佳状态迎接考试.某校对 该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,学校将减压方式分为五 类,同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类.学校收集整理数据后,绘制了图 1 和图 2 两幅不完整 的统计图,请根据统计图中信息解答下列问题: (1)这次抽样调查中,一共抽查了多少名学生? (2)请补全条形统计图; (3)请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数; (4)根据调查结果,估计该校九年级 500 名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数.

五、解答题: (本大题满分 8 分)要求写出解答过程.如果运算结果含有根号,请保留根号. 23. (8 分) (2014?南宁)如图,AB∥ FC,D 是 AB 上一点,DF 交 AC 于点 E,DE=FE,分别延长 FD 和 CB 交于点 G.

(1)求证:△ ADE≌ △ CFE; (2)若 GB=2, BC=4, BD=1,求 AB 的长.

六、解答题: (本大题满分 10 分)要求写出解答过程.如果运算结果含有根号,请保留根号. 24. (10 分) (2014?南宁)“保护好环境,拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严 重的公交车,计划购买 A 型和 B 型两种环保节能公交车共 10 辆,若购买 A 型公交车 1 辆,B 型公交车 2 辆,共需 400 万元;若购买 A 型公交车 2 辆,B 型公交车 1 辆,共需 350 万元. (1)求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元? (2) 预计在该线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次. 若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1200 万元, 且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万 人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 七、解答题: (本大题满分 10 分)要求写出解答过程.如果运算结果含有根号,请保留根号. 25. (10 分) (2014?南宁) 如图 1, 四边形 ABCD 是正方形, 点 E 是边 BC 上一点, 点 F 在射线 CM 上, ∠ AEF=90°, AE=EF,过点 F 作射线 BC 的垂线,垂足为 H,连接 AC. (1)试判断 BE 与 FH 的数量关系,并说明理由; (2)求证:∠ ACF=90°; (3)连接 AF,过 A、 E、F 三点作圆,如图 2,若 EC=4,∠ CEF=15°,求 的长.

八、解答题: (本大题满分 10 分)要求写出解答过程.如果运算结果含有根号,请保留根号. 26. (10 分) (2014?南宁)在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2 +(k﹣1)x﹣k 与直线 y=kx+1 交于 A,B 两 点,点 A 在点 B 的左侧. (1)如图 1,当 k=1 时,直接写出 A,B 两点的坐标; (2)在(1)的条件下,点 P 为抛物线上的一个动点,且在直线 AB 下方,试求出 △ABP 面积的最大值及 此时点 P 的坐标; (3)如图 2,抛物线 y=x2 +(k﹣1)x﹣k(k>0)与 x 轴交于点 C、D 两点(点 C 在点 D 的左侧) ,在直 线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q, 使得∠ OQC=90°?若存在, 请求出此时 k 的值; 若不存在, 请说明理由.

2014 广西南宁市中考数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 1. (3 分) (2014?南宁)如果水位升高 3m 时水位变化记作+3m,那么水位下降 3m 时水位变化记作( A. ﹣3m 考点: 正数和负数. B. 3m C. 6m D. ﹣6m )

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分析: 首先审清题意,明确“正”和“负”所表示的意义,再根据题意作答. 解答: 解:因为上升记为+,所以下降记为﹣, 所以水位下降 3m 时水位变化记作﹣3m. 故选:A. 点评: 考查了正数和负数,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在 一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示. 2. (3 分) (2014?南宁)下列图形中,是轴对称图形的是( A. B. C. ) D.

考点: 轴对称图形. 分析: 根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形
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叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称, 进而得出答案. 解答: 解:A、不是轴对称图形,故本选项错误; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,故本选项正确. 故选:D. 点评: 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合. 3. (3 分) (2014?南宁)南宁东高铁火车站位于南宁青秀区凤岭北路,火车站总建筑面积约为 267000 平方 米,其中数据 267000 用科学记数法表示为( ) A. 26.7×104 B. 2.67×104 C. 2.67×105 D. 0.267×106

考点: 科学记数法—表示较大的数.

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分析: 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式, 其中 1≤|a|<10, n 为整数. 确定 n 的值是易错点, 由于 267000 有 6 位,所以可以确定 n=6﹣1=5. 解答: 解:267 000=2.67×105 . 故选 C. 点评: 此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定 a 与 n 值是关键. 4. (3 分) (2014?南宁)要使二次根式 A. x>2 B. x≥2 考点: 二次根式有意义的条件. 在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是( C. x>﹣2 D. x≥﹣2 )

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分析: 直接利用二次根式的概念.形如 解答: 解:∵ 二次根式 ∴ x+2≥0, 解得:x≥﹣2,

(a≥0)的式子叫做二次根式,进而得出答案.

在实数范围内有意义,

则实数 x 的取值范围是:x≥﹣2. 故选:D. 点评: 此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握二次根式的定义是解题关键. 5. (3 分) (2014?南宁)下列运算正确的是( 2 3 6 A. a ?a =a B. (x2 )3 =x6 ) C. m6 ÷m2 =m3 D. 6a﹣4a=2

考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 分析: 运用同底数幂的乘法法则,幂的乘方法则,同底数幂的除法法则和合并同类项的方法计算.对各选
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项分析判断后利用排除法求解. 解答: 解:A、a2 ?a3 =a5 ≠a6 错误, B、 (x2 )3 =x6 ,正确, C、m6 ÷m2 =m4 ≠m3 ,错误 D、6a﹣4a=2a≠2,错误 故选:B. 点评: 本题主要考查了同底数幂的乘法法则,幂的乘方法则,同底数幂的除法法则和合并同类项,是基础 题,熟记各性质是解题的关键. 6. (3 分) (2014?南宁) 在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后, 截面如图. 若油面的宽 AB=160cm, 则油的最大深度为( )

A. 40cm

B. 60cm

C. 80cm

D. 100cm

考点: 垂径定理的应用;勾股定理.

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分析: 连接 OA, 过点 O 作 OE⊥ AB, 交 AB 于点 M , 由垂径定理求出 AM 的长, 再根据勾股定理求出 OM 的长,进而可得出 ME 的长. 解答: 解:连接 OA,过点 O 作 OE⊥ AB,交 AB 于点 M, ∵ 直径为 200cm,AB=160cm, ∴ OA=OE=100cm,AM=80cm, ∴ OM= = =60cm,

∴ ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm. 故选 A.

点评: 本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 7. (3 分) (2014?南宁)数据 1,2,3,0,5,3,5 的中位数和众数分别是( ) A. 3 和 2 B. 3 和 3 C. 0 和 5 D. 3 和 5 考点: 众数;中位数. 分析: 根据中位数:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处
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于中间位置的数就是这组数据的中位数;一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得答案. 解答: 解:把所有数据从小到大排列:0,1,2,3,3,5,5,位置处于中间的是 3,故中位数为 3; 出现次数最多的是 3 和 5,故众数为 3 和 5, 故选:D. 点评: 此题主要考查了众数和中位数,关键是掌握两种数的概念. 8. (3 分) (2014?南宁)如图所示,把一张长方形纸片对折,折痕为 AB,再以 AB 的中点 O 为顶点,把 平角∠ AOB 三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的直角三角形,那么剪 出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( )

A. 正三角形 考点: 剪纸问题.

B. 正方形

C. 正五边形

D. 正六边形

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专题: 操作型. 分析: 先求出∠ O=60°,再根据直角三角形两锐角互余沿折痕展开依次进行判断即可得解. 解答: 解:∵ 平角∠ AOB 三等分, ∴ ∠ O=60°, ∵ 90°﹣60°=30°, ∴ 剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是 30°的等腰三角形, 再沿另一折痕展开得到有一个角是 30°的直角三角形, 最后沿折痕 AB 展开得到等边三角形, 即正三角形. 故选 A. 点评: 本题考查了剪纸问题,难点在于根据折痕逐层展开,动手操作会更简便. 9. (3 分) (2014?南宁)“黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/千克,如果一次购买 2 千克以上的种子,超过 2 千克部分的种子价格打 6 折,设购买种子数量为 x 千克,付款金额为 y 元,则 y 与 x 的函数关系的图象 大致是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象.

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分析: 根据玉米种子的价格为 5 元/千克,如果一次购买 2 千克以上种子,超过 2 千克的部分的种子的价 格打 6 折,可知 2 千克以下付款金额为 y 元随购买种子数量为 x 千克增大而增大,超过 2 千克的部 分打 6 折,y 仍随 x 的增大而增大,不过增加的慢了选择即可. 解答: 解:可知 2 千克以下付款金额为 y 元随购买种子数量为 x 千克增大而增大, 超过 2 千克的部分打 6 折,y 仍随 x 的增大而增大,不过增加的慢了, 故选:B. 点评: 本题主要考查了函数的图象, 关键是分析出分两段, 每段 y 都随 x 的增大而增大, 只不过快慢不同. 10. (3 分) (2014?南宁)如图,已知二次函数 y=﹣x2 +2x,当﹣1<x<a 时,y 随 x 的增大而增大,则实 数 a 的取值范围是( )

A. a>1

B. ﹣1<a≤1

C. a>0

D. ﹣1<a<2

考点: 二次函数与不等式(组) . 分析: 先求出二次函数的对称轴,再根据二次函数的增减性列式即可.
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解答: 解:二次函数 y=﹣x2 +2x 的对称轴为直线 x=1, ∵ ﹣1<x<a 时,y 随 x 的增大而增大, ∴ a≤1, ∴ ﹣1<a≤1. 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数与不等式,求出对称轴解析式并准确识图是解题的关键. 11. (3 分) (2014?南宁)如图,在?ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,延长 BC 到点 F,使 CF:BC=1:2, 连接 DF,EC.若 AB=5, AD=8,s inB= ,则 DF 的长等于( )

A.

B.

C.

D. 2

考点: 平行四边形的判定与性质;勾股定理;解直角三角形.

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分析: 由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知 AD∥ BC,且 AD=BC;然后根据中点的定义、结合已 知条件推知四边形 CFDE 的对边平行且相等 (DE=CF, 且 DE∥ CF) , 即四边形 CFDE 是平行四边形. 如 图,过点 C 作 CH⊥ AD 于点 H.利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得 CH=4, DH=1,则在直角△EHC 中利用勾股定理求得 CE 的长度,即 DF 的长度. 解答: 证明:如图,在?ABCD 中,∠ B=∠ D, AB=CD=5, AD∥ BC,且 AD=BC=8. ∵ E 是 AD 的中点, ∴ DE= AD. 又∵ CF: BC=1:2, ∴ DE=CF,且 DE∥ CF, ∴ 四边形 CFDE 是平行四边形. ∴ CE=DF. 过点 C 作 CH⊥ AD 于点 H. 又∵ sinB= , ∴ sinD= ∴ CH=4. 在 Rt△ CDH 中,由勾股定理得到:DH= ∴ 在 Rt△ CEH 中,由勾股定理得到:EC= 则 DF=EC= 故选:C. . =3,则 EH=4﹣3=1, = = , = = ,

点评: 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形.凡是可以用平行四边形知识证明 的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题.

12. (3 分) (2014?南宁)已知点 A 在双曲线 y=﹣ 上,点 B 在直线 y=x﹣4 上,且 A,B 两点关于 y 轴对 称.设点 A 的坐标为(m,n) ,则 + 的值是( A. ﹣10 B. ﹣8 ) C. 6 D. 4

考点: 反比例函数图象上点的坐标特征; 一次函数图象上点的坐标特征; 关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标.
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分析:

先根据 A、B 两点关于 y 轴对称用 m、n 表示出点 B 的坐标,再根据点 A 在双曲线 y=﹣ 上,点 B 在直线 y=x﹣4 上得出 mn 与 m+n 的值,代入代数式进行计算即可.

解答: 解:∵ 点 A 的坐标为(m,n) ,A、 B 两点关于 y 轴对称, ∴ B(﹣m,n) , ∵ 点 A 在双曲线 y=﹣ 上,点 B 在直线 y=x﹣4 上,

∴ n=﹣ ,﹣m﹣4=n,即 mn=﹣2,m+n=﹣4,

∴ 原式= 故选 A.

=

=﹣10.

点评: 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点, 熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数 的解析式是解答此题的关键. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13. (3 分) (2014?南宁)比较大小:﹣5 < 3(填>,<或=) . 考点: 有理数大小比较.

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专题: 计算题. 分析: 根据正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数,可解答; 解答: 解:∵ ﹣5 是负数,3 是正数; ∴ ﹣5<3; 故答案为<. 点评: 本题考查了有理数大小的比较,牢记正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数. 14. (3 分) (2014?南宁)如图,已知直线 a∥ b,∠ 1=120°,则∠ 2 的度数是 60 °.

考点: 平行线的性质. 分析: 求出∠ 3 的度数,根据平行线的性质得出∠ 2=∠ 3,代入求出即可.
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解答:

解: ∵ ∠ 1=120°, ∴ ∠ 3=180°﹣120°=60°, ∵ a∥ b, ∴ ∠ 2=∠ 3=60°, 故答案为:60. 点评: 本题考查了平行线的性质的应用,注意:两直线平行,同位角相等. 15. (3 分) (2014?南宁)分解因式:2a2 ﹣6a= 2a(a﹣3) .

考点: 因式分解-提公因式法. 分析: 观察原式,找到公因式 2a,提出即可得出答案.
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解答: 解:2a2 ﹣6a=2a(a﹣3) . 故答案为:2a(a﹣3) .

点评: 此题主要考查了因式分解的基本方法一﹣﹣﹣提公因式法. 本题只要将原式的公因式 2a 提出即可. 16. (3 分) (2014?南宁)第 45 届世界体操锦标赛将于 2014 年 10 月 3 日至 12 日在南宁隆重举行,届时某 校将从小记者团内负责体育赛事报道的 3 名同学(2 男 1 女)中任选 2 名前往采访,那么选出的 2 名同学 恰好是一男一女的概率是 .

考点: 列表法与树状图法.

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专题: 计算题. 分析: 列表得出所有等可能的情况数,找出选出的 2 名同学恰好是一男一女的情况数,即可求出所求的概 率. 解答: 解:列表得: 男 男 男 ﹣﹣﹣ (男,男) 男 (男,男) ﹣﹣﹣ 女 (女,男) (女,男)

女 (男,女) (男,女) ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有 6 种,其中选出的 2 名同学恰好是一男一女的情况有 4 种, 则 P= = , 故答案为: 点评: 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 17. (3 分) (2014?南宁)如图,一渔船由西往东航行,在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 40°的方向,前进 20 海里到达 B 点, 此时, 测得海岛 C 位于北偏东 30°的方向, 则海岛 C 到航线 AB 的距离 CD 等于 海里. 10

考点: 解直角三角形的应用-方向角问题. 分析: 根据方向角的定义及余角的性质求出∠ CAD=30°,∠ CBD=60°,再由三角形外角的性质得到
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∠ CAD=30°=∠ ACB,根据等角对等边得出 AB=BC=20,然后解 Rt△BCD,求出 CD 即可. 解答: 解:根据题意可知∠ CAD=30°,∠ CBD=60°, ∵ ∠ CBD=∠ CAD+∠ ACB, ∴ ∠ CAD=30°=∠ ACB, ∴ AB=BC=20 海里, 在 Rt△ CBD 中,∠ BDC=90°,∠ DBC=60°,sin∠ DBC= ∴ sin60°= , =10 海里, ,

∴ CD=12×sin60°=20×

故答案为:10



点评: 本题考查了解直角三角形的应用,难度适中.解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转 化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线. 18. (3 分) (2014?南宁)如图,△ ABC 是等腰直角三角形, AC=BC=a,以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆 分别与 AC, BC 相切于点 E,F,与 AB 分别交于点 G,H,且 EH 的延长线和 CB 的延长线交于点 D,则 CD 的长为 a .

考点: 切线的性质.

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分析: 连接 OE、OF,由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形 OECF,并且可求出⊙ O 的半径为 0.5a,则 BF=a﹣0.5a=0.5a,再由切割线定理可得 BF2 =BH? BG,利用方程即可求出 BH,然后又因 OE∥ DB,OE=OH,利用相似三角形的性质即可求出 BH=BD ,最终由 CD=BC+BD ,即可求出答案. 解答: 解:如图,连接 OE、OF,由切线的性质可得 OE=OF=⊙ O 的半径,∠ OEC=∠ OFC=∠ C=90°

∴ OECF 是正方形 ∵ 由△ ABC 的面积可知 ×AC× BC= ×AC×OE+ ×BC×OF

∴ OE=OF= a=EC=CF, BF=BC﹣ CF=0.5a,GH=2OE=a ∵ 由切割线定理可得 BF =BH? BG ∴ a2 =BH( BH+a) ∴ BH= a 或 BH= a(舍去)
2

∵ OE∥ DB,OE=OH ∴ △ OEH∽ △ BDH ∴ =

∴ BH=BD,CD=BC+BD=a+ 故答案为 a

a=

a.

点评: 考查了切线的性质,本题需仔细分析题意,结合图形,利用相似三角形的性质及切线的性质即可解 决问题. 三、解答题: (本大题共 2 小题,每小题满分 12 分,共 12 分) . 2 19. (6 分) (2014?南宁)计算: (﹣1) ﹣4sin45°+|﹣3|+ . 考点: 实数的运算;特殊角的三角函数值.
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分析: 本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.针对每个考点分别进行 计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答: 解:原式=1﹣2 +3+2 =4. 点评: 本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊 角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.

20. (6 分) (2014?南宁)解方程:



=1.

考点: 解分式方程.

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专题: 计算题. 分析: 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方程的解. 解答: 解:去分母得:x(x+2)﹣2=x2 ﹣4, 去括号得:x2 +2x﹣2=x2 ﹣4, 解得:x=﹣1, 经检验 x=﹣1 是分式方程的解. 点评: 此题考查了解分式方程, 解分式方程的基本思想是“转化思想”, 把分式方程转化为整式方程求解. 解 分式方程一定注意要验根. 四、解答题: (本大题共 2 小题,每小题满分 16 分,共 16 分) . 21. (8 分) (2014?南宁)如图,△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1) , B(4,2) ,C(3,4) . (1)请画出△ ABC 向左平移 5 个单位长度后得到的△A1 B1 C1 ; (2)请画出△ ABC 关于原点对称的 △A2 B2 C2 ; (3)在 x 轴上求作一点 P,使△ PAB 的周小最小,请画出△ PAB,并直接写出 P 的坐标.

考点: 作图-旋转变换;轴对称-最短路线问题;作图-平移变换.

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专题: 作图题. 分析: (1)根据网格结构找出点 A、 B、C 平移后的对应点 A1 、B1 、C1 的位置,然后顺次连接即可; (2)根据网格结构找出点 A、 B、C 关于原点的对称点 A2 、B2 、C2 的位置,然后顺次连接即可; (3)找出点 A 关于 x 轴的对称点 A′ ,连接 A′ B 与 x 轴相交于一点,根据轴对称确定最短路线问 题,交点即为所求的点 P 的位置,然后连接 AP、 BP 并根据图象写出点 P 的坐标即可. 解答: 解: ( 1) △ A1 B1 C1 如图所示; (2)△ A2 B2 C2 如图所示; (3)△ PAB 如图所示,P(2,0) .

点评: 本题考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,轴对称确定最短路线问题,熟练掌握网格结构 准确找出对应点的位置是解题的关键. 22. (8 分) (2014?南宁)考试前,同学们总会采用各种方式缓解考试压力,以最佳状态迎接考试.某校对 该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,学校将减压方式分为五 类,同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类.学校收集整理数据后,绘制了图 1 和图 2 两幅不完整 的统计图,请根据统计图中信息解答下列问题: (1)这次抽样调查中,一共抽查了多少名学生? (2)请补全条形统计图; (3)请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数; (4)根据调查结果,估计该校九年级 500 名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数.

考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 专题: 图表型.

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分析: (1)利用 A“流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可得解; (2)用总人数乘以 B“体育活动”所占的百分比计算求出体育活动的人数,然后补全统计图即可; (3)用 360°乘以“享受美食”所占的百分比计算即可得解; (4)用总人数乘以“听音乐”所占的百分比计算即可得解. 解答: 解: (1)一共抽查的学生:8÷16%=50 人; (2)参加“体育活动”的人数为:50×30%=15, 补全统计图如图所示:

(3)“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为:360°×

=72°;

(4)该校九年级 500 名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为:500×

=120 人.

点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信 息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小. 五、解答题: (本大题满分 8 分) . 23. (8 分) (2014?南宁)如图,AB∥ FC,D 是 AB 上一点,DF 交 AC 于点 E,DE=FE,分别延长 FD 和 CB 交于点 G. (1)求证:△ ADE≌ △ CFE; (2)若 GB=2, BC=4, BD=1,求 AB 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

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分析: (1)由平行线的性质可得:∠ A=∠ FCE,再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明: △ ADE≌ △ CFE; (2)由 AB∥ FC ,可证明△ GBD ∽ △ FCF,根据给出的已知数据可求出 CF 的长,即 AD 的长,进而可 求出 AB 的长. 解答: (1)证明:∵ AB∥ FC, ∴ ∠ A=∠ FCE, 在△ ADE 和 △ CFE 中, , ∴ △ ADE≌ △ CFE( AAS) ; (2)解:∵ AB∥ FC, ∴ △ GBD∽ △ FCF, ∴ GB:GC=BD: CF, ∵ GB=2, BC=4, BD=1, ∴ 2:6=1:CF, ∴ CF=3, ∵ AD=CF, ∴ AB=AD+BD=4. 点评: 本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质,题目的设计很 好,难度一般. 六、解答题: (本大题满分 10 分) . 24. (10 分) (2014?南宁)“保护好环境,拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严 重的公交车,计划购买 A 型和 B 型两种环保节能公交车共 10 辆,若购买 A 型公交车 1 辆,B 型公交车 2 辆,共需 400 万元;若购买 A 型公交车 2 辆,B 型公交车 1 辆,共需 350 万元. (1)求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元? (2) 预计在该线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次. 若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1200 万元, 且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万 人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 考点: 一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用. 分析: (1)设购买 A 型公交车每辆需 x 万元,购买 B 型公交车每辆需 y 万元,根据“A 型公交车 1 辆,B
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型公交车 2 辆,共需 400 万元;A 型公交车 2 辆,B 型公交车 1 辆,共需 350 万元”列出方程组解 决问题; (2)设购买 A 型公交车 a 辆,则 B 型公交车(10﹣a)辆,由“购买 A 型和 B 型公交车的总费用不 超过 1200 万元,”和“10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次,”列出不等式组探讨

得出答案即可. 解答: 解: (1)设购买 A 型公交车每辆需 x 万元,购买 B 型公交车每辆需 y 万元,由题意得 , 解得 答:设购买 A 型公交车每辆需 100 万元,购买 B 型公交车每辆需 150 万元. (2)设购买 A 型公交车 a 辆,则 B 型公交车(10﹣a)辆,由题意得 , 解得:6≤a≤8, 所以 a=6,7,8; 则 10﹣a=4,3,2; 三种方案: ① 购买 A 型公交车 6 辆,则 B 型公交车 4 辆:100×6+150×4=1200 万元; ② 购买 A 型公交车 7 辆,则 B 型公交车 3 辆:100×7+150×3=1150 万元; ③ 购买 A 型公交车 8 辆,则 B 型公交车 2 辆:100×8+150×2=1100 万元; 购买 A 型公交车 8 辆,则 B 型公交车 2 辆费用最少,最少总费用为 1100 万元. 点评: 此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,注意理解题意,找出题目蕴含的数量关系, 列出方程组或不等式组解决问题. 七、解答题: (本大题满分 10 分) . 25. (10 分) (2014?南宁) 如图 1, 四边形 ABCD 是正方形, 点 E 是边 BC 上一点, 点 F 在射线 CM 上, ∠ AEF=90°, AE=EF,过点 F 作射线 BC 的垂线,垂足为 H,连接 AC. (1)试判断 BE 与 FH 的数量关系,并说明理由; (2)求证:∠ ACF=90°; (3)连接 AF,过 A、 E、F 三点作圆,如图 2,若 EC=4,∠ CEF=15°,求 的长.

考点: 圆的综合题.

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分析: (1)利用 ABE≌ △ EHF 求证 BE=FH, (2) 由 BE=FH, AB=EH, 推出 CH=FH, 得到∠ HCF=45°, 由四边形 ABCD 是正方形, 所 以∠ ACB=45°, 得出∠ ACF=90°, (3)作 CP⊥ EF 于 P,利用相似三角形△ CPE∽ △ FHE,求出 EF,利用公式求出 解答: 解: (1)BE=FH. 的长.

证明:∵ ∠ AEF=90°,∠ ABC=90°, ∴ ∠ HEF+∠ AEB=90°,∠ BAE+∠ AEB=90°, ∴ ∠ HEF=∠ BAE, 在△ ABE 和△ EHF 中, , ∴ △ ABE≌ △ EHF( AAS) ∴ BE=FH. (2)由(1)得 BE=FH, AB=EH, ∵ BC=AB, ∴ BE=CH, ∴ CH=FH, ∴ ∠ HCF=45°, ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ ACB=45°, ∴ ∠ ACF=180°﹣∠ HCF﹣∠ ACB=90°. (3)由(2)知∠ HCF=45°,∴ CF= FH. ∠ CFE=∠ HCF﹣∠ CEF=45°﹣15°=30°. 如图 2,过点 C 作 CP⊥ EF 于 P,则 CP= CF= FH.

∵ ∠ CEP=∠ FEH,∠ CPE=∠ FHE=90°, ∴ △ CPE∽ △ FHE.



,即



∴ EF=4 . ∵ △ AEF 为等腰直角三角形,∴ AF=8. 取 AF 中点 O,连接 OE,则 OE=OA=4,∠ AOE=90°, ∴ 的弧长为: =2π.

点评: 本题主要考查圆的综合题,解题的关键是直角三角形中三角函数的灵活运用. 八、解答题: (本大题满分 10 分) . 26. (10 分) (2014?南宁)在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2 +(k﹣1)x﹣k 与直线 y=kx+1 交于 A,B 两 点,点 A 在点 B 的左侧.

(1)如图 1,当 k=1 时,直接写出 A,B 两点的坐标; (2)在(1)的条件下,点 P 为抛物线上的一个动点,且在直线 AB 下方,试求出 △ABP 面积的最大值及 此时点 P 的坐标; (3)如图 2,抛物线 y=x2 +(k﹣1)x﹣k(k>0)与 x 轴交于点 C、D 两点(点 C 在点 D 的左侧) ,在直 线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q, 使得∠ OQC=90°?若存在, 请求出此时 k 的值; 若不存在, 请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)当 k=1 时,联立抛物线与直线的解析式,解方程求得点 A、B 的坐标; (2)如答图 2,作辅助线,求出△ ABP 面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出最大值及点 P
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的坐标; (3)“存在唯一一点 Q,使得∠ OQC=90°”的含义是,以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q,由 圆周角定理可知,此时∠ OQC=90°且点 Q 为唯一.以此为基础,构造相似三角形,利用比例式列出 方程,求得 k 的值. 解答: 解: (1)当 k=1 时,抛物线解析式为 y=x2 ﹣1,直线解析式为 y=x+1. 联立两个解析式,得:x2 ﹣1=x+1, 解得:x=﹣1 或 x=2, 当 x=﹣1 时,y=x+1=0;当 x=2 时,y=x+1=3, ∴ A(﹣1,0) , B(2,3) . (2)设 P(x,x ﹣1) . 如答图 2 所示,过点 P 作 PF∥ y 轴,交直线 AB 于点 F,则 F(x,x+1) .
2

∴ PF=yF﹣yP =(x+1)﹣(x2 ﹣1)=﹣x2 +x+2. S△ABP =S△ PFA+S△ PFB= PF(xF﹣xA)+ PF(xB﹣xF)= PF(xB﹣xA)= PF ∴ S△ ABP= (﹣x2 +x+2)=﹣ (x﹣ )2 + 当 x= 时,yP=x2 ﹣1=﹣ .

∴ △ ABP 面积最大值为

,此时点 P 坐标为( ,﹣ ) .

(3)设直线 AB:y=kx+1 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F, 则 E(﹣ ,0) ,F(0,1) ,OE= ,OF=1.

在 Rt△ EOF 中,由勾股定理得:EF=
2

=



令 y=x +(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k) (x﹣1)=0,解得:x=﹣k 或 x=1. ∴ C(﹣k,0) ,OC=k. 假设存在唯一一点 Q,使得∠ OQC=90°,如答图 3 所示, 则以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q,根据圆周角定理,此时∠ OQC=90°.

设点 N 为 OC 中点,连接 NQ,则 NQ⊥ EF,NQ=CN=ON= . ∴ EN=OE﹣ON= ﹣ . ∵ ∠ NEQ=∠ FEO,∠ EQN=∠ EOF=90°, ∴ △ EQN∽ △ EOF,



,即:



解得:k=± ∵ k>0, ∴ k= .



∴ 存在唯一一点 Q,使得∠ OQC=90°,此时 k=



点评: 本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线 与圆的位置关系、相似等重要知识点,有一定的难度.第(2)问中,注意图形面积的计算方法; 第(3)问中,解题关键是理解“存在唯一一点 Q,使得∠ OQC=90°”的含义.

2014 广西南宁市中考数学试题
满分:120 分,考试时间:120 分钟。

八、 (本题满分 10 分) 26. 在平面直角坐标系中, 抛物线 y=x +(k―1)x―k 与直线 y=kx+1 交于 A、 B 两点, 点 A 在点 B 的左侧. (1)如图 1,当 k=1 时,直接写出 A、B 两点的坐标; (2)在(1)的条件下,点 P 为抛物线上的一个动点,且在直线 AB 下方,试求出△ABP 面积的最大 值及此时点 P 的坐标; (3)如图 2,抛物线 y=x2 +(k―1)x―k(k>0 )与 x 轴交于 C、D 两点(点 C 在点 D 的左侧) .在直线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q,使得∠OQC=90??若存在,请求出些时 k 的值;若不存在,请说明 理由.
2

2014 南宁市初中毕业升学数学答案

本 试卷分 第Ⅰ卷 和第Ⅱ 卷,满 分 120 分, 考试时 间 120 分钟 。

一 、选 择题 (本大题 共 12 小 题,每 小题 3 分,共 36 分) ADCDB ADABB 二、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
13. 答案: <; 14. 答案: 60°; 15. 答案: 2a(a ? 3) ;

CA

16. 答案:

2 (1 ? 2 )a ; 17. 答案: 10 3 ; 18. 答案: 3 2

三、 ( 本大 题共 2 小题 ,每小 题满分 6 分, 共 12 分 )
19. 计算: ?? 1? ? 4 sin 45 ?
2

? ?3 ? 8

原式=1-4×

2 +3+ 2 2 = 4 2

20. 答案:去分母得: x( x ? 2) ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 2) 化简得:2 x =-2,求得 x =-1 经检验: x =-1是原方程的解 ∴ 原方程的解是 X=-1

四、 (本大题共 2 小题,每小题满分 8 分,共 16 分)
21. 如图 8 ,△ ABC 三个 顶点的 坐标 分别为 A( 1, 1 ) , B (4,2) , C ( 3, 4) . (1) 请 画出△ ABC 向 左平移 5 个单位 长度 后 得到 的 △A 1 B 1 C 1 ; (2) 请 画 出 △ ABC 关 于 原 点 对 称 的 △ A2B2C2; (3) 在

x 轴 上求 作一点 P, 使△ PAB 的 周长

最 小,请 画出△ PAB ,并 直接写 出 ... . P 的 坐标 . 答案: ( 1) △ A 1 B 1 C 1 如 图 所 示 ; ( 2) △ A 2 B 2 C 2 如 图 所 示 ; ( 3) △ PAB 如 图 所 示 , 点 P 的坐标为: ( 2, 0)

22. 答案 (1)8÷ 16%= 50(名) (2) 体育活动人数: 50-8-10-12-5=15(名) (补全条形统计图如图所示) (3) 360°×( 10÷ 50) =72° (4) 500×( 12÷ 50) =120( 名) 答: 500 名学生中估计采 用“听音乐”的减压方式的学生人数为 120 名

五、 (本大题满分 8 分)
23. 答案: (1) ∵ AB∥FC,∴∠ADE=∠CFE

又∵∠AED=∠CEF,DE=FE ∴ △ADE ≌ △ CFE ( ASA) (2) ∵ △ADE≌ △ CFE ,∴ AD=CF ∵ AB∥FC,∴∠GBD =∠GCF,∠GDB =∠GFC ∴ △ GBD ∽ △GCF(AA) ∴

GB BD ? GC CF

又因为 GB=2,BC=4,BD =1,代入得:CF=3 = AD ∴ AB =AD +BD = 3+1 =

4

六、 (本大题满分 10 分)
24.答案: (1)设购买每辆 A 型公交车 x 万元,购买每辆 B 型公交车每辆 y 万元,依题意列方程得,

? x ? 2 y ? 400 ,解得 ? x ? 100 ?2 x ? y ? 350 ? y ? 150 ? ?
(2)设购买 x 辆 A 型公交车,则购买(10- x )辆 B 型公交车,依题意列不等式组得,

?100 x ? 150 (10 ? x) ? 1200 ?60 x ? 80(10 ? x) ? 680 ?
解得 6 ? x ? 8 有三种方案 (一) 购买 A 型公交车 6 辆,B 型公交车 4 辆

(二) 购买 A 型公交车 7 辆,B 型公交车 3 辆 (三) 购买 A 型公交车 8 辆,B 型公交车 2 辆 因 A 型公交车较便宜,故购买 A 型车数量最多时,总费用最少,即第三种购车方案 最少费用为:8 100+150 2=1100 (万元) 答: (1)购买 A 型和 B 型公交车每辆各需 100 万元、150 万元 (2)该公司有 3 种购车方案,第 3 种购车方案的总费用最少,最少总费用是 1100 万元。

七、 (本大题满分 10 分)
25. 答案: (1)BE=FH。理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ∴ ∠ B=90 , 且∠ BAE+∠ AEB=90° 又∵ AE=EF

∵ FH BC ∴ ∠ FHE=90 又∵ ∠ AEF=90° ∴ ∠ AEB+∠ HEF=90° ∴ ∠ HEF=∠ BAE ∴ ∠ AEB= ∠ EFH ∴ △ABE≌ △EHF(SAS)

∴ BE=FH
(2)∵ △ABE≌ △EHF ∴ BC=EH,BE=FH ∴ CH=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴ BE=CH

∴∠ FCH=45°,∴∠FCM=45° ∵ AC 是正方形对角线,∴ ∠ ACD=45°

∴ ∠ ACF=∠FCM +∠ ACD =90°
(3)∵AE=EF,∴△AEF 是等腰直角三角形 △AEF 外接圆的圆心在斜边 AF 的中点上。设该中点为 O。连结 EO,得∠AOE=90° 过 E 作 EN⊥ AC 于点 N RT △ENC 中,EC=4,∠ECA=45° ,∴EN=NC= 2 2 RT △ENA 中, EN = 2 2 又 ∵ ∠ EAF=45° ∴ ∠ EAC=30° ∴AE= 4 2 RT △AFE 中, A E= 4 2 = EF,∴AF=8 AE 所在的圆 O 半径为 4,其所对的圆心角为∠AOE=90° AE=2π · 4 · ( 90 °÷ 360 °) = ∠ CAF =∠ CEF=15° (等弧对等角)



八、 (本大题满分 10 分)
26. 答案: (1)A(-1,0)

,B(2,3)
?y ? x2 ?1 ,解可得 ?y ? x ?1

【解答,无需写】当 k=1 时,列 ?

(2)平移直线 AB 得到直线 L,当 L 与抛物线只有一个交点时,△ ABP 面积最大【如图 12-1( 1) 】 设直线 L 解析式为: y ? x ? k ,

? 根据 ? y ? x ? 1 ,得 x 2 - x (k + 1 ) =0
2

?y ? x ? k

判别式△ ? 1 ? 4(k ? 1) ? 0 ,解得, k ? ? 代入原方程中,得 x 2 ? x ?

5 4

1 1 3 ? 0 ;解得, x ? , y ? ? 4 2 4

∴P( 1 , ? 3 )
2 4
易求,AB 交 y 轴于 M(0,1) ,直线 L 交轴 y 于 G(0, ?

5 ) 4

过 M 作 MN⊥直线 L 于 N,∵OM=1,OA=1,∴∠AMO=45° ∵∠AMN=90,∴∠NMO=45° 在 RT△MNE 中,∠NMO=45°,MG= ∴ MN=

9 , 【如图 12-1(2) 】 4

9 2 ,MN 即为△ABP 的高 8 由两点间距离公式,求得:AB= 3 2 1 9 27 故△ABP 最大面积 s = ×3 2 × 2 = 2 8 8

(3)设在直线 y ? kx ? 1 上存在唯一一点 Q 使得∠OQC =90° 则点 Q 为以 OC 的中点 E 为圆心, OC 为直径形成的圆 E 与直线 】 y ? kx ? 1相切时的切点【如图 12-2(1) 由解析式可知:C( ? k ,0) ,OC= k ,则圆 E 的半径:OE=CE= 设直线 y ? kx ? 1与 x 、 y 轴交于 H 点和 F 点,与, 则F (0,1) , ∴ OF=1 ∴ EH= 则H (?

k =QE 2

1 1 , 0) , ∴OH = k k

1 k ? k 2
∴EQ⊥AB,∠EQH=90°

∵AB 为切线

在△FOH 和△EQH 中 ∴△FOH∽△EQH ∴

??FHO ? ?EHQ ??FOH ? ?EQH ? 90 ? ?
1 k 1 = :QH,∴QH = k 2 2

FO EQ ? HO HQ

∴ 1:

在 RT△EQH 中,EH=
2 2

1 k 1 k ? ,QH = ,QE = ,根据勾股定理得, 2 2 k 2
2

? k ? +? 1 ? =? 1 k ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? ?k 2?
求得 k ?

2 5 5


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