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2016高考数学理科二轮复习课件:专题1第三讲 函数与方程及函数的实际应用


随堂讲义
专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第三讲 函数与方程及函数的实际应用

函数与方程部分大多数情况考小题,选择题填空 题都有可能,属于中等难度的题目,在大题中出现也 有可能,但如果考应用题应注意理解题意上容易造成 得分两极分化.高考命题组多次表示只要得到好的应 用题就会在高考中用,要做有函数应用大题的打算.

例 1 若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 当 x∈[0, 1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的零点个数是( A.多于 4 C.3 B.4 D.2 )

思路点拨:函数零点的个数?方程解的个数?函数 y=f(x)与 y= log3|x|的图象交点的个数.

解析:同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图 象,如图所示.

观察图象可以发现它们有 4 个交点,即函数 y=f(x)- log3|x|有 4 个零点.故选 B. 答案:B

解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种. (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就 有几个零点; (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上 是连续的曲线且 f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如 单调性)才能确定函数有多少个零点; (3)画两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点 的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

1.(2015· 北京卷)设函数 f(x)=
x ? 2 ? -a,x<1, ? ? ?4(x-a)(x-2a),x≥1.

①若 a=1,则 f(x)的最小值为________; ②若 f(x)恰有 2 个零点, 则实数 a 的取值范围是________.

解析: ①当 a=1

x ? ?2 -1,x<1, 时, f(x)=? ? ?4(x-1)(x-2),x≥1.

当 x<1 时,f(x)=2x-1∈(-1,1), 当 x≥1 时,f(x)=4(x2-3x+2)
?? ? 3? ?? ?2 1 ? =4??x- ? - ?≥-1, 2? 4? ??

∴ f(x)min=-1.

②由于 f(x)恰有 2 个零点,分两种情况讨论: 当 f(x)=2x-a,x<1 没有零点时,a≥2 或 a≤0. 当 a≥2 时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1 时,有 2 个零 点; 当 a≤0 时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1 时无零点. 因此 a≥2 满足题意.

当 f(x)=2x-a,x<1 有一个零点时,0<a<2. f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1 有一个零点,此时 a<1, 1 2a≥1,因此 ≤a<1. 2 1 综上知实数 a 的取值范围是{a| ≤a<1 或 a≥2}. 2 答案:①-1
? ? ? 1 ? ? ②?a| ≤a<1或a≥2? ? ? 2 ?

例 2 借助计算器或计算机用二分法求方程 ln x+x-3 =0 在(2,3)内的根(精确到 0.1). 思路点拨:本题可以利用二分法求函数零点的近似值,然 后确定函数的零点.

解析:令 f(x)=ln x+x-3,即求函数 f(x)=0 在 (2,3) 内的零点. ∵f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0. ∴f(x)在(2,3)上存在零点. ∴可取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下:

∵2.187 5≈2.2,2.218 75≈2.2, ∴所求方程的根为2.2(精确到0.1).

(1)二分法是求不熟悉方程近似解的重要方法,其实质 是通过不断地 “取中点 ”来逐步缩小零点所在范围的极限 思想.在求解中,初始区间的选取可以不同,但不影响求解 结果,不过应尽量使初始区间的长度小一些.另外要注意随 时根据题目给出的精确度要求进行检验, 看所得到的区间是 否符合精确度要求.若满足,则停止计算,便得到近似解.

(2)“精确度”与 “精确到”的不同:“精确度”是二 分法中的特有概念,它是指最终确定的区间长度应小于的一 个长度值,而 “ 精确到 ” 是数学计算中进位制的一种要 求. 如在二分法中的精确度为 0.01 时, 表示要求所求区间(a, b)的长度|b-a|<0.01,而精确到 0.01,则表示要求所求区间 (a,b)的端点 a,b 进位到百分位后为同一个数.

2.(1)若将例 2 中精确到 0.1 改为精确度为 0.1,那又如 何求解呢? (2)在用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时, 已经把根锁定在区间(1,2)内,则进一步可断定该根所在的 区间为________.

解析:(1)由例 2 解析中的表知|2.25-2.187 5|=0.062 5 <0.1, ∴函数在(2,3)上的零点是 2.187 5. 3 (2)在(1,2)内取中点 x0= ,令 f(x)=x3-2x-1. 2
?3? 27 ? ∵f? ?2? = 8 - 4< 0, f(2)= 8- 4- 1> 0,f(1)=- 2< 0, ? ? ?3 ? ? 根据零点存在定理,f(x)的零点在? ,2? ?内,∴方程 ?2 ?

x3-2x

-1=0

?3 ? ? 的根可进一步判定在? ,2? ?内. 2 ? ? ?3 ? ? (2)? ,2? ? ?2 ?

答案:(1)2.187 5

例 3 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的 销售量 y(单位: 千克)与销售价格 x(单位: 元/千克)满足关系 a 式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销 x-3 售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值. (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的 值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

思路点拨:认真审题,将文字语言抽象转化为建立函数模 型. (1)由 x=5,y=11,求得 a 的值. (2)构建利润函数关系,利用相关知识可求得. 解析:(1)因为 x=5 时,y=11, a 所以 +10=11,a=2. 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量为 2 y= +10(x-6)2. x-3

所以商场每日销售商品所获得的利润
? 2 ? 2? ? +10(x-6) ? f(x)=(x-3)? ?x- 3 ?

=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 从而 f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6), 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:

由表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大 值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值 等于 42. 所以,当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品 所获得的利润最大.

(1)解应用题首先要正确理解题意,将实际问题化 为数学问题,再利用数学知识:函数、导数、不等式解 决数学问题,再回归到实际问题来解决. (2)找函数关系是关键,一定要准确理解题目意思, 弄清题设条件,最终将之化为函数问题解决.

3.(2014· 北京卷)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的 百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单 位:分钟)满足的函数关系 p=at2+bt+c(a、b、c 是常数),下图记录了 三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时 间为(B)

A.3.50 分钟 C.4.00 分钟

B.3.75 分钟 D.4.25 分钟

解析:由图形可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都 在函数 p=at2+bt+c 的图象上, ?9a+3b+c=0.7, ? 所以?16a+4b+c=0.8,解得 a=-0.2, b=1.5, c=-2, ?25a+5b+c=0.5, ? 所以 p=-0.2t
2

? 15? ? ?2 13 +1.5t-2=-0.2?t- ? + ,因为 4 ? 16 ?

t>

15 0,所以当 t= =3.75 时,p 取最大值,故此时的 t=3.75 分 4 钟为最佳加工时间.故选 B.

例 4 关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0, 2]上有解,求实数 m 的取值范围.

思路点拨:设出二次方程对应的函数,画出相应的示意图, 然后用函数性质加以限制.

解析:设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)≤0, 3 即 f(2)=2 +(m-1)×2+1≤0,∴m≤- . 2
2

②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解(包括两根相等),则

? ?Δ≥0, ?(m-1)2-4≥0, ? ? m-1 ?0≤- ≤2,∴?-3≤m≤1, 2 ? ?4+(m-1)×2+1≥0. ? ? ?f(2)≥0, ? ?m≥3或m≤-1, ?-3≤m≤1, 3 ? ∴ ∴- ≤m≤-1. 2 3 ? m≥- . ? 2 ? 由①②可知 m 的取值范围为{m|m≤-1}.

二次方程根的分布问题关键在于等价转化,其步骤为: (1)画出符合题意的图形; (2)按图列出限制条件[不等式(组)]; (3)解不等式 (组)求出字母的取值范围.其中列出的不等 式(组)与所画的图形之间要能等价转换.

4.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根 在区间(1,2)内,求实数 m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求实数 m 的取值范 围.

解析: (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得 ? ?f(0)=2m+1<0, ?f(-1)=2>0, ? ?f(1)=4m+2<0, ? ?f(2)=6m+5>0,

? ?m<-1, 2 ? ?m∈R, ? ? 1 ?m<-2, ? 5 ? m>- . ? 6 ? 5 1 ∴- <m<- . 6 2 则实数 m
? ? ? 5 1? ? ? ? 的取值范围为 m?- <m<- ? . ? 6 2 ? ? ? ?

(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内, 列不等式 组 ? ?f(0)=2m+1>0, ?f(1)=4m+2>0, ? ? 2 ?Δ=4m -4(2m+1)≥0, ? ?0<-m<1

1 ? ?m>- , 2 ? ? 1 ?m>-2, ? ?m≥1+ 2或m≤1- 2, ?-1<m<0. ? 1 ∴- <m≤1- 2. 2 ∴实数 m
? ? 1 m|- <m≤1- 的取值范围为? ? 2 ? ? ? 2 ?. ? ?

1.要熟悉零点存在性定理:若函数 f(x)在闭区间[a,b] 上是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即 f(a)· f(b)<0, 则 f(x)在(a, b)内至少有一个零点, 即存在 c∈(a, b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 2. 方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交 点?函数 y=f(x)有零点.

3.函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的实 数根, 也就是函数 y=f(x)图象与函数 y=g(x)图象交点的横坐 标. 4.在研究函数与方程的问题时,经常用到数形结合法. 5.要注意应用问题的实际意义. 6.解决函数应用问题的基本方法是先建立函数关系式, 再利用二次函数、均值不等式、判别式法、换元法、导数法 或函数的单调性求函数的最值.


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