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反比例函数复习讲义


精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号_ 学员编号: 学员姓名: 课 题 年 级:九年级 辅导科目:数学 反比例函数复习 2013 年 9 月 13 日 17:30—19:30 复习反比例函数典型考点,要求学生能够熟悉掌握。 教学内容 课时数: 3 学科教师:

授课日期及时段 教学目的

一、知识点梳理
知识点一:反比例函数的概念 一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ? 是 x 的反比例函数. 注: (1)反比例函数 y ? 中 k≠0;

k (k 为常数, x

)的形式,那么称 y

k k k ?1 中的 是一个分式,自变量 x≠0, y ? 也可写成 y ? kx 或 xy ? k ,其 x x x
?1

5 ?1 也写成: y ? 5 x ; x k 1 (3)在反比例函数 y ? (k≠0)中要注意分母 x 的指数为 1,如 y ? 2 就不是反比例函数。 x x
(2)在反比例函数 y ? kx (k≠0)中,x 的指数是-1。如, y ? 知识点二:反比例函数的图象 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或 x

第二、四象限.它们关于原点对称,反比例函数的图象与 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支 无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交. 注: (1)观察反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的图象可得:x 和 y 的值都不能为 0,并且图象既是轴对称图 x k 的图象时,应注意自变量 x 的取值不能为 0,一般应从 1 或-1 x

形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,对称中心是坐标原点. (2)用描点法画反比例函数 y= 开始对称取点. (3)在一个反比例函数图象上任取两点 P,Q ,过点 P,Q 分别作 x 轴,y 轴的平行线,与两坐标 轴分别围成的矩形面积为 S1,S2 则 S1=S2. 知识点三:反比例函数的性质

1.图象位置与函数性质 当 k>0 时,x、y 同号,图象在第一、三象限,且在每个象限内,y 随 x 的增大而减小; 当 k<0 时,x、y 异号,图象在第二、四象限,且在每个象限内,y 随 x 的增大而增大. 2.若点(a,b)在反比例函数 y ? 的图象关于原点对称; 3.正比例函数与反比例函数的性质比较。 正比例函数 解析式 图 像 位 置 直线 k>0,一、三象限; k<0,二、四象限 k>0,y 随 x 的增大而增大 k<0,y 随 x 的增大而减小 有两个分支组成的曲线(双曲线) k>0,一、三象限 k<0,二、四象限 k>0,在每个象限,y 随 x 的增大而减小 k<0,在每个象限,y 随 x 的增大而增大 反比例函数

k (k ? 0) 的图象上,则点(-a,-b)也在此图象上,故反比例函数 x

增减性

1. 反比例函数 y=

k 中 k 的意义 x k k 反比例函数 y = (k≠0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲线 y = (k≠0)上任意一点引 x x

x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k│. 知识点四:反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式 y ?

k (k ? 0) 中,只有一个 x

待定系数 k,确定了 k 的值,也就确定了反比例函数,因此只需给出一组 x、y 的对应值或图象上点的 坐标,代入 y ?

k (k ? 0) 中即可求出 k 的值,从而确定反比例函数的解析式. x

知识点五:应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 1.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时,要注意将实际问 题转化为数学问题。 2.针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 3.列出函数关系式后,要注意自变量的取值范围。如,某三角形的面积是 2 时,底边长 y 与该底边上 的高 x 之间的关系式是 y ?

4 ( x ? 0) 。 x

规律方法指导 1.反比例函数的概念需注意的问题
(1)k 是常数,且 k 不为零; (2)自变量 x 的取值范围是 (3)自变量 y 的取值范围是 的一切实数; 的一切实数.

2.画反比例函数的图象时要注意的问题

(1)画反比例函数图象的方法是描点法; (2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是 ,因此不能把两个分支连接起来;

(3)由于在反比例函数中,x 和 y 的值都不能为 0,所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无 限的接近坐标轴,但永远不能达到 x 轴和 y 轴的变化趋势.

3.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤 k (1)设所求的反比例函数为: y ? ( ) ; x
(2)根据已知条件,列出含 k 的方程; (3)解出待定系数 k 的值.

二、典例精析
类型一:确定反比例函数的解析式
例 1. 已知函数 y=(m+1)x 是反比例函数,则 m 的值为_________.

举一反三: 【变式 1】已知 y=y1+y2, y1 与 x 成正比例,y2 与 x 成反比例,且 x=2 与 x=3 时,y 的值都等 于 10.求 y 与 x 间的函数关系式. 【变式 2】已知: y ? y1 ? y2 , y1 与 x 成反比例, y2 与 x ? 1 成正比例,且当 x ? 1 时 y ? 1 ;当 x ? 2
2

时y?

5 ,求 x ? ?1 时 y 的值. 4

2 【变式 3】 (1)已知 y ? y1 ? y2 ,而 y1 与 x ? 1 成反比例, y 2 与 x 成正比例,并且 x ? 1时, y ? 2 ;

x ? 0 时, y ? 2 ,求 y 与 x 的函数关系式;
(2)直线 l : y ? kx ? b 与 y ? 2 x 平行且过点(3,4) ,求 l 的解析式。

类型二:参数 k 与反比例函数图象
例 2. 函数 y ? kx ? b(k ? 0) 与 y ?

k (k ? 0) 在同一坐标系中的图象可能是( ). x

A

B

C

D

举一反三: 【变式 1】已知 a ? b ,且 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 0 则函数 y ? ax ? b 与 y ? 标系中的图象不可能是( ) .

a?b 在同一坐 x

A

B

C

D

【变式 2】如下图是三个反比例函数 y ?

k k1 k 、y? 2 、y? 3 x x x

在 x 轴上方的图象,由此观察得到 k1,k2,k3 的大小关系:( )

A.k1>k2>k3 C.k2>k3>k1

B.k3>k2>k1 D.k3>k1>k2

【变式 3】如下图是反比例函数 y ?

n?7 的图象的一支,根据图象回答下列问题: x

(1)图象的另一支在哪个象限?常数 n 的取值范围是什么? (2)在 y ? 系?

n?7 图象上任取两点 A(a,b)和 B(a',b',如果 a< a' ) ,那么 b 和 b'的大小关 x

类型三:参数 k 与比较大小
例 3.已知(1, y1 )(3, y2 )(-2, y3 )是反比例函数 y ? , , 的大小关系是 ______________. 举一反三: 【变式 1】知( ,则 )( , )( , )是反比例函数 y ? ?

5 的图象上的三个点,则 x

2 的图象上的三个点,并且 x

的大小关系是____________.

【变式 2】如图,点 A、B 在反比例函数的图象上,且点 A、B 的横坐标分别为 a,2a(a>0) ,AC ⊥x 轴,垂足为点 C,BD⊥x 轴,垂足为点 D,且△AOC 的面积为 2。 (1)求该反比例函数的解析式。 (2)若点(-a,y1)(-2a,y2)在该反比例函数的图象上,试比较 y1 与 y2 的大小。 ,

类型四:参数 k 与图形面积
如图所示,过双曲线上任一点 。 作 轴、 轴垂线段 PM、PN,所得矩形 PMON 的面积

结论 1:过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线,所得矩形的面积 S 为定值|k| 对于下列三个图形中的情形,利用三角形面积的计算方法和 性以及上述结论,可得出对应的面积的结论为: 图形的对称

结论 2:在直角三角形 ABO 中,面积 S= 结论 3:在直角三角形 ACB 中,面积为 S=2|k| 结论 4:在三角形 AMB 中,面积为 S=|k|

例 4.如图,过反比例函数 y ?

2 ( x ? 0) 的图象上任意两点 A、B,分别作 x 轴的垂线,垂足为 A’、 x

B’,连接 OA,OB,AA’与 OB 的交点为 P,记△AOP 与梯形 PA’B’B 的面积分别为 S1 、 S 2 ,试比较 S1 与 S 2 的

大小. 举一反三: 【变式】一次函数 y ? kx ? b 的图象与反比例函数 y ? (1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式; (2)求△AOB 的面积. 【变式】 函数 y ? ( ?) y ? ? 与 ?k k 0 x C,则 ? O 的面积为__________。 BC

m 的图象交于 A(-2,1),B(1,n)两点. x

4 的图象交于 A、B 两点,过点 A 作 AC 垂直于 y 轴,垂足为点 x

例 5 如图, 已知双曲线
中点 ,且四边形



) 经过矩形

的边 .



的面积为 2,则

举一反三:
两个反比例函数 y ?

k 1 和 y ? 在第一象限内的图象如图所示,点 P 在 x x k 1 y ? 的图象上,PC⊥x 轴于点 C,交 y ? 的图象于点 A,PD⊥y 轴于点 x x 1 k D,交 y ? 的图象于点 B,当点 P 在 y ? 的图象上运动时,以下结论: x x

y?

k x y? 1 x

①△ODB 与△OCA 的面积相等; ②四边形 PAOB 的面积不会发生变化; ③PA 与 PB 始终相等; ④当点 A 是 PC 的中点时,点 B 一定是 PD 的中点.其中一定正确的是 .

类型五:反比例函数的实际应用
例 6.在某一电路中,电源电压 U 保持不变,电流 I(A)与电阻 R(Ω )之间的函数图象如图所示: (1)I 与 R 的函数关系式为:_________; (2)结合图象回答:当电路中的电流不得超过 12 A 时, 电路中电阻 R 的取值范围是_________.

举一反三: 【变式 1】在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量 m 的某种气体,当改变容积 V 时,气 体的密度 ? 也随之改变。 与 V 在一定范围内满足 ? ? ?

m , 它的图象如图所示, V

则该气体的质量 m 为( ) A. 1.4kg B. 5kg C. 6.4kg D. 7kg 【变式 2】电压一定时,电流 I 与电阻 R 的函数图象大致是( ) .

把 k 值代入函数关系式 y ?

k (k ? 0) 中. x

例 7、制作一种产品,需先将材料加热达到 60℃后,再进行操作,设该材料温度为 y(℃) ,从加热开
始计算的时间为 x(分钟) ,据了解,该材料加热时,温度 y 与时间 x 成一次函数关系;停止加热进 行操作时,y 与时间 x 成反比例关系(如图) ,已知该材料操作加工前温度为 15℃,加热 5 分钟后 温度达到 60℃. (1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y 与 x 的函数关系式. (2)根据工艺要求,当材料的温度低于 15℃时,须停止操作,那么开始加热到停止操作,共经历了 多长时间?

类型五、反比例函数与一次函数综合问题

例 12. 函数 y=

k 与 y=kx+1(k≠0)在同一坐标系内的大致图象是 x





【解析】 列表分析如下:

举一反三: 1. 已知关于 x 的函数 y ? k ( x ? 1) 和 y ? ? (k≠0) ,它们在同一坐标系内的图象大致是
y x y x y x y x

k x

O A

O B

O C

O D

2.在同一坐标系中,正比例函数 y=(m-1)x 与反比例函数 y=

4m 的图象大致位置不可能是( x





【点拨】 没有明确告诉系数符号,而要求选择确定函数图象的大致位置的问题,在中考试题中 经常出现.不少同学对解答这类题感到困难.以上两例介绍一种简便易行的方法——列表分析法,即 通过对所供选择的图象中代表的函数系数的符号列表分析,排除某些结论,进而得到正确答案.

k ?5 例 15. 已知一次函数 y=2x-k 的图象与反比例函数 y= x 的图象相交,其中有一个交点的纵坐标为
-4,求这两个函数的解析式.

举一反三:

1. 已知反比例函数 y ? 点 B 的坐标为(

k 与直线 y ? ?2x 相交于 A、B 两点,A 点的横坐标为-1,则两函数图象另一个交 x ) k 与一次函数 y = 2x + k 的图象的一个交点的纵坐标是 ?4 ,则 k 的值 x

2. 已知反比例函数 y ? 为 .

3.已知一次函数 y=3x+m 与反比例函数 y=

m?3 的图像有两个交点. x

(1)当 m 为何值时,有一个交点的纵坐标为 6? (2)在(1)条件下,求两个交点的坐标.

点拨:这是关于一次函数和反比例函数的综合题,解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾, 它既在一次函数图象上,又在反比例函数图象上,从而转化为解二元一次方程组,问题得以解决.(1) 两个函数图像如果有交点,那么它们的交点坐标就是两个函数解析式联立方程组的解.(2)要求函数图 像的交点坐标,解方程组即可.

例 16.如图,一次函数 y ? kx ? b 的图象与反比例函数 y ?
A ? ?2,1? 、 B ?1, n ? 两点.

m 的图象交于 x

(1)求两个函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.

三、课后作业
基础达标
填空题 1.已知函数 2.在函数 y ? 是反比例函数,且图象在第一、三象限内,则 _______.

?k 2 ? 2 1 (k 为常数)的图象上有三个点(-2,y1) ,(-1,y2), ( ,y3) ,函数值 y1,y2, x 2

y3 的大小为____________. 3.如图 1,面积为 3 的矩形 OABC 的一个顶点 B 在反比例函数 y ? k=____________.

k 的图象上,另三点在坐标轴上,则 x

图1 选择题 1.平行四边形的面积不变,那么它的底与高的函数关系是( ). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 2.如图 2,在 y ?

1 (x>0)的图象上有三点 A,B,C,过这三点分别向 x 轴引垂线,交 x 轴于 A1,B1, x

C1 三点,连 OA,OB,OC,记△OAA1,△OBB1,△OCC1 的面积分别为 S1,S2,S3,则有( ).

A.S1=S2=S3

B.S1<S2<S3

图2 C.S3<S1<S2

D.S1>S2>S3

3.反比例函数 y ?

k (k>0)在第一象限的图象上有一点 P,PQ⊥x 轴,垂足为 Q,连 PO,设 Rt x k 2
C. S ? k D. S >k

△POQ 的面积为 S,则 S 的值与 k 之间的关系是( ). A. S ?

k 4

B. S ?

4.已知 a·b<0,点 P(a,b)在反比例函数 y ? A.第一象限 5.函数 y ? B.第二象限

a 的图象上,则直线 y ? ax ? b 不经过的象限是( ). x
D.第四象限

C.第三象限

k 与 y ? kx ? 1(k ? 0) 在同一坐标系中的图象大致是( ). x

6.若点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)都是反比例函数 y ? ? 、 、 则下列各式中正确的是( ). A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1
2

1 的图象上的点,并且 x1<0<x2<x3, x
D.y1<y3<y2

C.y3<y2<y1

7.若 P(2,2)和 Q(m,-m )是反比例函数 y ? A.第一、二、三象限

k 图象上的两点,则一次函数 y=kx+m 的图象经过( ). x
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象

B.第一、二、四象限



能力提升
解答题 图所示,已知一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y ? (1)求反比例函数及一次函数的解析式; (2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数值的 x 的取值范围. 1、如

m 的图象交于点 A(-3,1) B(1,n) , . x

2 如图,P1 是反比例函数 的一点,点 A1 的坐标为(2,0). (1)当点 P1 的横坐标逐渐增大时,△P1O A1 的面积 将如何变化? (2)若△P1O A1 与△P2 A1 A2 均为等边三角形,求 此反比例函数的解析式及 A2 点的坐标.

y?

k (k>0) x 在第一象限图像上

3.如图, 正比例函数 y ?

1 k 过 x 的图象与反比例函数 y ? (k ? 0) 在第一象限的图象交于 A 点, A 点作 x 2 x

轴的垂线,垂足为 M ,已知 ?OAM 的面积为 1. (1)求反比例函数的解析式; (2)如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点(点 B 与点 A 不重合) ,且 B 点的横坐标为 1,在 x 轴 上求一点 P ,使 PA ? PB 最小.

y

A
O

M

x

4.如图 5,直线 AB 过点 A(m,0) ,B(0,n)(m>0,n>0).反比例函数 y ? 点.P 为双曲线 y ?

m 的图象与 AB 交于 C,D 两 x

m 上任一点,过 P 作 PQ⊥x 轴于 Q,PR⊥y 轴于 R.若 S△AOC=S△COD=S△DOB,求 n 的值. x


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