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2017步步高大一轮复习讲义数学3.2.2


课时 2
题型一

导数与函数的极值、最值
用导数解决函数极值问题

命题点 1 根据函数图象判断极值 例 1 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示, 则下列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 由题图可知,当 x<-2 时,f′(x)>0; 当-2<x<1 时,f′(x)<0; 当 1<x<2 时,f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0. 由此可以得到函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值,在 x=2 处取得极小值. 命题点 2 求函数的极值 3 例 2 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1- (a∈R 且 a≠0),求函数 f(x)的极大值与极小值. a 2? 解 由题设知 a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3ax? ?x-a?. 2 令 f′(x)=0 得 x=0 或 . a 当 a>0 时,随着 x 的变化,f′(x)与 f(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,0) + ↗? 0 0 极大值 2 (0, ) a - ↘? 2 a 0 极小值 2 ( ,+∞) a + ?↗

3 ∴f(x)极大值=f(0)=1- , a

2? 4 3 f(x)极小值=f? ?a?=-a2-a+1. 当 a<0 时,随着 x 的变化,f′(x)与 f(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) 2 (-∞, ) a - ?↘ 2 a 0 极小值 2 ( ,0) a + ?↗ 0 0 极大值 (0,+∞) - ?↘

3 ∴f(x)极大值=f(0)=1- , a 2? 4 3 f(x)极小值=f? ?a?=-a2-a+1. 3 综上,f(x)极大值=f(0)=1- , a 2? 4 3 f(x)极小值=f? ?a?=-a2-a+1. 命题点 3 已知极值求参数 例3 (1)已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 时有极值 0,则 a-b=________. ) x3 a 1 (2)若函数 f(x)= - x2+x+1 在区间( ,3)上有极值点,则实数 a 的取值范围是( 3 2 2 5 A.(2, ) 2 10 C.(2, ) 3 答案 (1)-7 (2)C 解析 (1)由题意得 f′(x)=3x2+6ax+b,则
?a2+3a-b-1=0, ?a=1, ?a=2, ? ? ? ? 解得? 或? ? ? ? ?b-6a+3=0, ?b=3 ?b=9,

5 B.[2, ) 2 10 D.[2, ) 3

经检验当 a=1,b=3 时,函数 f(x)在 x=-1 处无法取得极值,而 a=2,b=9 满足题意,故 a-b=-7. 1 (2)若函数 f(x)在区间( ,3)上无极值, 2 1 1 则当 x∈( ,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0 恒成立或当 x∈( ,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0 恒成 2 2 立. 1 1 10 当 x∈( ,3)时,y=x+ 的值域是[2, ); 2 x 3 1 当 x∈( ,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0, 2 1 即 a≤x+ 恒成立,a≤2; x

1 当 x∈( ,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0, 2 1 10 即 a≥x+ 恒成立,a≥ . x 3 1 因此要使函数 f(x)在( ,3)上有极值点, 2 10 实数 a 的取值范围是(2, ). 3 思维升华 (1)求函数 f(x)极值的步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数 f′(x); ③解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; ④列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0 处取 极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值. (2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区 间上单调函数没有极值. 1 (1)函数 y=2x- 2的极大值是________. x (2)设 f(x)=ln(1+x)-x-ax2,若 f(x)在 x=1 处取得极值,则 a 的值为________. 1 答案 (1)-3 (2)- 4 2 解析 (1)y′=2+ 3,令 y′=0,得 x=-1. x 当 x<-1 时,y′>0;当 x>-1 时,y′<0. ∴当 x=-1 时,y 取极大值-3. (2)由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞), -2ax2-?2a+1?x 1 且 f′(x)= -2ax-1= , 1+x 1+x 由题意得:f′(1)=0,则-2a-2a-1=0, 1 1 得 a=- ,又当 a=- 时, 4 4 1 2 1 1 x - x x?x-1? 2 2 2 f′(x)= = , 1+x 1+x 当 0<x<1 时,f′(x)<0; 当 x>1 时,f′(x)>0, 所以 f(1)是函数 f(x)的极小值, 1 所以 a=- . 4

题型二

用导数求函数的最值

a 例 4 已知 a∈R,函数 f(x)= +lnx-1. x (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求 f(x)在区间(0,e]上的最小值. 1 解 (1)当 a=1 时,f(x)= +lnx-1,x∈(0,+∞), x 1 1 x-1 所以 f′(x)=- 2+ = 2 ,x∈(0,+∞). x x x 1 1 因此 f′(2)= ,即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 . 4 4 1 又 f(2)=ln2- , 2 1 1 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln2- )= (x-2),即 x-4y+4ln2-4=0. 2 4 a (2)因为 f(x)= +lnx-1, x a 1 x-a 所以 f′(x)=- 2+ = 2 . x x x 令 f′(x)=0,得 x=a. ①若 a≤0,则 f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数 f(x)无最小值. ②若 0<a<e,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数 f(x)在区间(0,a)上单调递减,当 x∈(a,e]时, f′(x)>0,函数 f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当 x=a 时,函数 f(x)取得最小值 lna. ③若 a≥e,则当 x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数 f(x)在区间(0,e]上单调递减, a 所以当 x=e 时,函数 f(x)取得最小值 . e 综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当 0<a<e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 lna; a 当 a≥e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 . e 思维升华 求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b); (3)将函数 f(x)的极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 1 已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax (a> ),当 x∈(-2,0)时,f(x) 2 的最小值为 1,则 a 的值等于( )

1 1 1 A. B. C. D.1 4 3 2 答案 D 解析 由题意知,当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 1 1 令 f′(x)= -a=0,得 x= , x a 1 当 0<x< 时,f′(x)>0; a 1 当 x> 时,f′(x)<0. a 1? ∴f(x)max=f? ?a?=-lna-1=-1,解得 a=1.

题型三

函数极值和最值的综合问题

ax2+bx+c 例 5 已知函数 f(x)= (a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为-3 和 0. ex (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为-e3,求 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. ?2ax+b?ex-?ax2+bx+c?ex 解 (1)f′(x)= ?ex?2 = -ax2+?2a-b?x+b-c . ex

令 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为 ex>0,所以 y=f′(x)的零点就是 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c 的零点,且 f′(x)与 g(x) 符号相同. 又因为 a>0,所以-3<x<0 时,g(x)>0,即 f′(x)>0, 当 x<-3 或 x>0 时,g(x)<0,即 f′(x)<0, 所以 f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由(1)知,x=-3 是 f(x)的极小值点, 9a-3b+c ? ? e =-e , 所以有? g?0?=b-c=0, ? ?g?-3?=-9a-3?2a-b?+b-c=0,
-3

3

解得 a=1,b=5,c=5, x2+5x+5 所以 f(x)= . ex 因为 f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以 f(0)=5 为函数 f(x)的极大值,

5 故 f(x)在区间[-5, +∞)上的最大值取 f(-5)和 f(0)中的最大者, 而 f(-5)= -5=5e5>5=f(0), e 所以函数 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是 5e5. 思维升华 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单

调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值. 已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值, 若 m、 n∈[-1,1], 则 f(m)+f′(n) 的最小值是( A.-13 C.10 答案 A 解析 对函数 f(x)求导得 f′(x)=-3x2+2ax, 由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x, 易知 f(x)在[-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增, ∴当 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 又∵f′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下, 且对称轴为 x=1,∴当 n∈[-1,1]时, f′(n)min=f′(-1)=-9. 故 f(m)+f′(n)的最小值为-13. ) B.-15 D.15

3.利用导数求函数的最值问题 典例 (12 分)已知函数 f(x)=lnx-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f′(x)>0,f′(x)<0 的解区间,并注 意定义域.(2)先研究 f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中, 由于解析式中含有参数 a,要对参数 a 进行分类讨论. 规范解答 1 解 (1)f′(x)= -a (x>0), x 1 ①当 a≤0 时,f′(x)= -a>0,即函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞).[2 分] x 1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)= -a=0,可得 x= , x a

1-ax 1 当 0<x< 时,f′(x)= >0; a x 1-ax 1 当 x> 时,f′(x)= <0, a x 1? 故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,a?, 1 ? 单调递减区间为? ?a,+∞?.[4 分] 综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 1? ?1 ? 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,a?,单调递减区间为?a,+∞?.[5 分] 1 (2)①当 ≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以 f(x)的最小值是 f(2)=ln2- a 2a.[6 分] 1 1 ②当 ≥2,即 0<a≤ 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以 f(x)的最小值是 f(1)=-a.[7 a 2 分] 1? 1 1 ?1 ? ③当 1< <2,即 <a<1 时,函数 f(x)在? ?1,a?上是增函数,在?a,2?上是减函数.又 f(2)-f(1) a 2 =ln2-a, 1 所以当 <a<ln2 时,最小值是 f(1)=-a; 2 当 ln2≤a<1 时,最小值为 f(2)=ln2-2a.[11 分] 综上可知, 当 0<a<ln2 时,函数 f(x)的最小值是-a; 当 a≥ln2 时,函数 f(x)的最小值是 ln2-2a.[12 分]

用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用 以下几步答题 第一步:(求导数)求函数 f(x)的导数 f′(x); 第二步:(求极值)求 f(x)在给定区间上的单调性和 极值; 第三步:(求端点值)求 f(x)在给定区间上的端点值; 第四步:(求最值)将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进 行比较,确定 f(x)的最大值与最小值; 第五步:(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.

温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间,求函数在给定区间[1,2]上的最值,属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面,不准确的情况. (3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题.

[方法与技巧] 1.如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小 值. 2.求闭区间上可导函数的最值时,对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断,直接与端 点的函数值比较即可. 3.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值. 4.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全,含参数时,要讨论参数的大小. [失误与防范] 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可 能. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3.函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟) 1.当函数 y=x· 2x 取极小值时,x 等于( 1 A. ln2 C.-ln2 答案 B 解析 令 y′=2x+x· 2xln2=0, 1 ∴x=- . ln2 1 经验证,- 为函数 y=x· 2x 的极小值点. ln2 2.函数 y=lnx-x 在 x∈(0,e]上的最大值为( A.eB.1C.-1D.-e 答案 C ) 1 B.- ln2 D.ln2 )

解析 函数 y=lnx-x 的定义域为(0,+∞). 1-x 1 又 y′= -1= ,令 y′=0 得 x=1, x x 当 x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增; 当 x∈(1,e]时,y′<0,函数单调递减. 当 x=1 时,函数取得最大值-1. 3.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

答案 C 解析 由函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,可得 f′(-2)=0,且当 x∈(a,-2)(a<-2)时, f(x)单调递减,即 f′(x)<0;当 x∈(-2,b)(b>-2)时,f(x)单调递增,即 f′(x)>0. 所以函数 y=xf′(x)在区间(a,-2)(a<-2)内的函数值为正,在区间(-2,b)(-2<b<0)内的函 数值为负,由此可排除选项 A,B,D. 4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 C.18 答案 C 解析 ∵函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10, ∴f(1)=10,且 f′(1)=0,
?1+a+b+a2=10, ?a=-3, ?a=4, ? ? ? 即? 解得? 或? ?3+2a+b=0, ?b=3 ?b=-11. ? ? ? ? ?a=-3, 而当? 时,函数在 x=1 处无极值,故舍去. ? ?b=3

)

B.11 D.17 或 18

∴f(x)=x3+4x2-11x+16, ∴f(2)=18.

5.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,2) C.(-3,6) 答案 B 解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6), 由已知可得 f′(x)=0 有两个不相等的实根. ∴Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即 a2-3a-18>0. ∴a>6 或 a<-3. x3 6.函数 f(x)= +x2-3x-4 在[0,2]上的最小值是________. 3 17 答案 - 3 解析 f′(x)=x2+2x-3,f′(x)=0,x∈[0,2], 得 x=1. 17 比较 f(0)=-4,f(1)=- , 3 10 17 f(2)=- ,可知最小值为- . 3 3 7.设 a∈R,若函数 y=ex+ax 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-1) 解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a. ∵函数 y=ex+ax 有大于零的极值点, 则方程 y′=ex+a=0 有大于零的解, ∵x>0 时,-ex<-1,∴a=-ex<-1. B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

)

8. 函数 f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值是正数, 极小值是负数, 则 a 的取值范围是________. 答案 ( 2 ,+∞) 2

解析 f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a), 由 f′(x)=0 得 x=± a, 当-a<x<a 时,f′(x)<0,函数递减; 当 x>a 或 x<-a 时,f′(x)>0,函数递增. ∴f(-a)=-a3+3a3+a>0 且 f(a)=a3-3a3+a<0, 解得 a> 2 . 2 2 ,+∞). 2

∴a 的取值范围是(

9. 设 f(x)=a(x-5)2+6lnx, 其中 a∈R, 曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6).

(1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解 (1)因为 f(x)=a(x-5)2+6lnx, 6 所以 f′(x)=2a(x-5)+ . x 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1), 1 由点(0,6)在切线上,可得 6-16a=8a-6,故 a= . 2 1 (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6lnx(x>0), 2 6 ?x-2??x-3? f′(x)=x-5+ = . x x 令 f′(x)=0,解得 x=2 或 3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0, 故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数; 当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln3. 2 9 综上,f(x)的单调增区间为(0,2),(3,+∞),单调减区间为(2,3),f(x)的极大值为 +6ln2,极 2 小值为 2+6ln3. 10.已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 解 (1)由题意知 f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f′(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,k-1) - ?↘ k-1 0 -e
k -1

(k-1,+∞) + ?↗

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时,

f(x)在[0,k-1]上单调递减,在[k-1,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1;


当 k-1≥1,即 k≥2 时,f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 综上,当 k≤1 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 1<k<2 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1;


当 k≥2 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意的 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 ex· f(x)>ex+1 的解集是( A.{x|x>0} C.{x|x<-1 或 x>1} 答案 A 解析 构造函数 g(x)=ex· f(x)-ex-1, 求导得到 g′(x)=ex· f(x)+ex· f′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1]. 由已知 f(x)+f′(x)>1,可得到 g′(x)>0, 所以 g(x)为 R 上的增函数; 又 g(0)=e0· f(0)-e0-1=0, 所以 ex· f(x)>ex+1, 即 g(x)>0 的解集为{x|x>0}. 12.若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象可能为( ) ) B.{x|x<0} D.{x|x<-1 或 0<x<1}

答案 C 解析 根据 f′(x)的符号, f(x)图象应该是先下降后上升, 最后下降, 排除 A、 D; 从适合 f′(x) =0 的点可以排除 B. 13. 函数 f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为 6, 极小值为 2, 则 f(x)的单调递减区间是________. 答案 (-1,1) 解析 令 f′(x)=3x2-3a=0,得 x=± a,

则 f(x),f′(x)随 x 的变化情况如下表: x (-∞,- a) + ?↗
3

- a 0 极大值

(- a, a) - ?↘

a 0 极小值

( a,+∞) + ?↗

f′(x) f(x)

??- a? -3a?- a?+b=6, 从而? ?? a?3-3a a+b=2,
? ?a=1, 解得? ?b=4. ?

所以 f(x)的单调递减区间是(-1,1). 14.若函数 f(x)=x3-3x 在(a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是________. 答案 [-2,1) 解析 f′(x)=3x2-3=0,得 x=± 1,且 x=1 为函数的极小值点,x=-1 为函数的极大值点. 函数 f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,则函数 f(x)极小值点必在区间(a,6-a2)内, 即实数 a 满足 a<1<6-a2 且 f(a)=a3-3a≥f(1)=-2. 解 a<1<6-a2,得- 5<a<1. 不等式 a3-3a≥f(1)=-2, 即 a3-3a+2≥0,即 a3-1-3(a-1)≥0, 即(a-1)(a2+a-2)≥0, 即(a-1)2(a+2)≥0,即 a≥-2. 故实数 a 的取值范围是[-2,1). ex 15.设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 1+ax2-2ax 解 对 f(x)求导得 f′(x)=ex· .① ?1+ax2?2 4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= .结合①,可知 2 2 x f′(x) f(x)

?-∞,1? 2? ?
+ ?↗

1 2 0 极大值

?1,3? ?2 2?
- ↘?

3 2 0 极小值

?3,+∞? ?2 ?
+ ↗?

3 1 所以 x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数, 则 f′(x)在 R 上不变号, 结合①与条件 a>0, 知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立,即 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1.所以 a 的取值范 围为{a|0<a≤1}. 16.已知函数 f(x)=ae2x-be
-2x

-cx(a,b,c∈R)的导函数 f′(x)为偶函数,且曲线 y=f(x)在

点(0,f(0))处的切线的斜率为 4-c. (1)确定 a,b 的值; (2)若 c=3,判断 f(x)的单调性; (3)若 f(x)有极值,求 c 的取值范围. 解 (1)对 f(x)求导,得 f′(x)=2ae2x+2be
-2x

-c,

由 f′(x)为偶函数,知 f′(-x)=f′(x)恒成立, 即 2(a-b)(e2x-e
-2x

)=0,所以 a=b.

又 f′(0)=2a+2b-c=4-c,故 a=1,b=1. (2)当 c=3 时,f(x)=e2x-e f′(x)=2e2x+2e
-2x -2x

-3x,那么
-2x

-3≥2 2e2x· 2e

-3=1>0,

当且仅当 2e2x=2e

-2x

,即 x=0 时,“=”成立.

故 f(x)在 R 上为增函数. (3)由(1)知 f′(x)=2e2x+2e 而 2e2x+2e
-2x -2x

-c,

≥2 2e2x· 2e

-2x

=4,

当 x=0 时等号成立. 下面分三种情况进行讨论: 当 c<4 时,对任意 x∈R,f′(x)=2e2x+2e
-2x

-c>0,此时 f(x)无极值; -4>0,此时 f(x)无极值;

当 c=4 时,对任意 x≠0,f′(x)=2e2x+2e

-2x

c- c2-16 c+ c2-16 2 当 c>4 时,令 e2x=t,注意到方程 2t+ -c=0 有两根 t1= >0,t2= >0, t 4 4 1 1 即 f′(x)=0 有两个根 x1= lnt1,x2= lnt2. 2 2 当 x1<x<x2 时,f′(x)<0; 又当 x>x2 时,f′(x)>0, 当 x<x1 时,f′(x)>0, 从而 f(x)在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值. 综上,若 f(x)有极值,则 c 的取值范围为(4,+∞).


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