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2015-2016学年浙江省余姚中学高一下学期期中考试数学(实验班)试卷

2015-2016 学年浙江省余姚中学高一下学期期中考试数学(实验班)试卷

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. 关于直线 l : x ? 1 ? 0 ,以下说法正确的是( ) A.直线 l 倾斜角为 0 B. 直线 l 倾斜角不存在 C.直线 l 斜率为 0 D. 直线 l 斜率不存在 2. 设 a, b, c 是 ?ABC 中角 A,B,C 的对边,则直线 sin A ? x ? ay ? c ? 0 和直线

bx ? sin B ? y ? sin C ? 0 的位置关系是(
A.平行 B.重合 C.垂直



D.斜交 )

3. 已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( A. 若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 B. 若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C. 若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 D. 若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面

4. 在直角坐标系中,已知两点 M (4, 2), N (1, ?3), 沿 x 轴把直角坐标平面折成直二面角后, M , N 两点 的距离为( A. 22 ) B. 10 C. 38 D.

34

5. 若动点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0, l2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动, 则 AB 中点 M 到原点 的最小距离为( A. 3 2 ) B. 2 3 C. 3 3 D. 4 2 )

6. 在 ?ABC 中, a , b, c 分别为 A, B, C 的对边,若 sin A 、 sin B 、 sin C 依次成等比数列,则( A. a , b, c 依次成等差数列 C. a , c, b 依次成等差数列 B. a , b, c 依次成等比数列 D.

a, c, b 依次成等比数列
P

7 . 如 图 , 三 棱 锥 P ? ABC , 已 知 PA ? 面 ABC , AD ? BC 于 D ,

BC ? CD ? AD ? 1,设 PD ? x , ?BPC ? ? ,记函数 f ( x) ? tan ? ,则
确的是( )
B C
-1-

下列表述正

A. f ( x ) 是关于 x 的增函数 B. f ( x ) 是关于 x 的减函数

A

D

C. f ( x ) 关于 x 先递增后递减 D.关于 x 先递减后递增
?? ? ? 8. 正四面体 ABCD 的棱长为 2 ,棱 AD 与平面 ? 所成的角 ? ? ? , ? ,且顶点 A 在平面 ? 内,B , C , D 均 ?3 2?

在平面 ? 外,则棱 BC 的中点 E 到平面 ? 的距离的取值范围是(



? 3 ? A. ? , 1? ? ? 2 ? ?
? 3? 2 3 ? 2? C. ? , ? 2 2 ? ? ? ?

? 3? 2 ? B. ? , 1? 2 ? ? ? ? ? 3? 2 ? D. ? , 3? 2 ? ? ? ?
?

D

B
E?
C

A

(第 8 题) 二. 填空题:本大题共 7 小题,共 36 分 9.已知圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 ,则圆心 C 的坐标为 为 .
1 1 1 侧视图 正视图

;过点 (3,5) 的最短弦的长度

10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体

积为

cm3,表面积为

cm2.

俯视图

(第 10 题)

?x ? 1 ? 11 .已知 x, y ? R 且满足不等式组 ? 2 x ? y ? 5 ? 0 ,当 k ? 1 时,不等式组所表示的平面区域的面积 ? kx ? y ? k ? 1 ? 0 ?



,若目标函数 z ? 3 x ? y 的最大值为 7,则 k 的值为



12. 若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三个数可适当排
2

序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于

;点 A 坐标 ( p, q) ,

曲线 C 方程: y ? 1 ? x 2 ,直线 l 过 A 点,且和曲线 C 只有一个交点,则直线 l 的斜率取值范围 为 .

-2-

13. 已知三个球的半径 R1 、 R2 、 R3 满足 R1 ? R3 ? 2R2 ,记它们的表面积分别为 S1 、 S 2 、 S 3 ,若

S1 ? 1,S3 ? 9 ,则 S2 ?

4 . .

14. 已知函数 f(x)=|x2-2x-3|,若 a<b<1,且 f(a)=f(b),则 u=2a+b 的最小值为 15.设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命题: ①. M 中所有直线均经过一个定点 ②.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 ③.对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 ④. M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

三. 解答题:本大题共 5 小题,总共 74 分. 16. (本题满分 14 分)已知圆 M: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4, 直线 l 过点 P(2,3)且与圆 M 交于 A,B 两点, 且 AB ? 2 3 . (Ⅰ)求直线 l 方程; (Ⅱ)设 Q( x0 , y0 ) 为圆 M 上的点,求 x02 ? y02 的取值范围.

17. ( 本 题 满 分 15 分 ) 在 △ ABC 中 , 设 边 a , b , c 所 对 的 角 为 A, B , C , 且 A, B , C 都 不 是 直 角 ,

(bc ? 8) cos A ? ac cos B ? a 2 ? b2 .
(Ⅰ)若 b ? c ? 5 ,求 b , c 的值; (Ⅱ)若 a ? 5 ,求△ ABC 面积的最大值.

18.(本题满分 15 分)设常数 a ? R ,函数 f ( x) ? (a ? x) | x | . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调减区间; (Ⅱ)若 f ( x) 是奇函数,且关于 x 的不等式 mx ? m ? f [ f ( x)] 对所有的 x ? [?2,2] 恒成立,求实数 m 的
2

取值范围.

-3-

19.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, AB ? 1 , AE ? 平面 CDE ,

AE ? DE ? 6 , F 为线段 DE 上的一点. (Ⅰ)求证:平面 AED ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若二面角 E ? BC ? F 与二面角 F ? BC ? D 的大小相等,求 DF 的长.

第 19 题

20.(本题满分 15 分)已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, a 2 ? 列 {a n } 的通项公式;
2 2 (Ⅱ)求证:对一切 n ? N * ,有 a12 ? a2 ? ? ? an ?

(n ? 1)an 1 ,且 an ?1 ? n ? an 4

(n ? 2,3, 4,?), (Ⅰ)求数

7 6

余姚中学

2015学年度 第二学期

高一数学期中检测(10,11,12 班)试卷 班级 姓名

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. 关于直线 l : x ? 1 ? 0 ,以下说法正确的是( D ) A.直线 l 倾斜角为 0 B. 直线 l 倾斜角不存在 C.直线 l 斜率为 0 D. 直线 l 斜率不存在 2. 设 a, b, c 是 ?ABC 中角 A,B,C 的对边,则直线 sin A ? x ? ay ? c ? 0 和直线

bx ? sin B ? y ? sin C ? 0 的位置关系是( C
A.平行 B.重合 C.垂直 D.斜交



-4-

3. 已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( D ) A. 若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 B. 若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C. 若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 D. 若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 4. 在直角坐标系中,已知两点 M (4, 2), N (1, ?3), 沿 x 轴把直角坐标平面折成直二面角后, M , N 两点 的距离为( A ) A. 22 B. 10 C. 38 D.

34

5. 若动点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0, l2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动, 则 AB 中点 M 到原点 的最小距离为( A ) A. 3 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 2

6. 在 ?ABC 中, a , b, c 分别为 A, B, C 的对边,若 sin A 、 sin B 、 sin C 依次成等比数列,则( B ) A. a , b, c 依次成等差数列 C. a , c, b 依次成等差数列 B. a , b, c 依次成等比数列 D.

a, c, b 依次成等比数列
P

7 . 如 图 , 三 棱 锥 P ? ABC , 已 知 PA ? 面 ABC , AD ? BC 于 D ,

BC ? CD ? AD ? 1,设 PD ? x , ?BPC ? ? ,记函数 f ( x) ? tan ? ,则
确的是( C ) A. f ( x ) 是关于 x 的增函数 B. f ( x ) 是关于 x 的减函数 C. f ( x ) 关于 x 先递增后递减 D.关于 x 先递减后递增
B C D A

下列表述正

?? ? ? 8. 正四面体 ABCD 的棱长为 2 ,棱 AD 与平面 ? 所成的角 ? ? ? , ? ,且顶点 A 在平面 ? 内,B , C , D 均 ?3 2?

在平面 ? 外,则棱 BC 的中点 E 到平面 ? 的距离的取值范围是( C )

? 3 ? A. ? , 1? ? ? 2 ? ?
? 3? 2 3 ? 2? C. ? , ? 2 2 ? ? ? ?

? 3? 2 ? B. ? , 1? 2 ? ? ? ? ? 3? 2 ? D. ? , 3? 2 ? ? ? ?
-5-

D

B
E?
C
?

A

(第 8 题)

二. 填空题:本大题共 7 小题,共 36 分 9.已知圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 ,则圆心 C 的坐标为

(3, 4)

;过点 (3,5) 的最短弦的长度为

4 6


1 1 正视图 1 侧视图

10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体





? 2

cm3,表面积为

11? 4

cm2.

俯视图

(第 10 题)

?x ? 1 ? 11. 已知 x, y ? R 且满足不等式组 ? 2 x ? y ? 5 ? 0 , 当 k ? 1 时, ? kx ? y ? k ? 1 ? 0 ?

不等式

组所表示的平面区域的面积为
2

8 3

,若目标函数 z ? 3 x ? y 的最大值为 7,则 k 的值为 2



12. 若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三个数可适当排 序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于 9 ;点 A 坐标 ( p, q) ,曲线

C 方程: y ? 1 ? x 2 ,直线 l 过 A 点,且和曲线 C 只有一个交点,则直线 l 的斜率取值范围 为 .

13. 已知三个球的半径 R1 、 R2 、 R3 满足 R1 ? R3 ? 2R2 ,记它们的表面积分别为 S1 、 S 2 、 S 3 ,若

S1 ? 1,S3 ? 9 ,则 S2 ?

4 .

14. 已知函数 f(x)=|x2-2x-3|,若 a<b<1,且 f(a)=f(b),则 u=2a+b 的最小值为 3-2 10 .

15.设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命题: ①. M 中所有直线均经过一个定点 ②.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 ③.对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 ④. M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 ② ③ (写出所有真命题的代号) .
-6-

三. 解答题:本大题共 5 小题,总共 74 分. 16. (本题满分 14 分)已知圆 M: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4, 直线 l 过点 P(2,3)且与圆 M 交于 A,B 两点, 且 AB ? 2 3 . (Ⅰ)求直线 l 方程; (Ⅱ)设 Q( x0 , y0 ) 为圆 M 上的点,求 x02 ? y02 的取值范围.

17. ( 本 题 满 分 15 分 ) 在 △ ABC 中 , 设 边 a , b , c 所 对 的 角 为 A, B , C , 且 A, B , C 都 不 是 直 角 ,

(bc ? 8) cos A ? ac cos B ? a 2 ? b2 .
(Ⅰ)若 b ? c ? 5 ,求 b , c 的值; (Ⅱ)若 a ? 5 ,求△ ABC 面积的最大值. 解: (Ⅰ) (bc ? 8) ?
b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 ? ac ? ? a2 ? b2 2bc 2ac

b2 ? c2 ? a 2 b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? 8? ? ? a2 ? b2 2 2bc 2 b2 ? c2 ? a 2 ? 8 ? b2 ? c2 ? a 2 ?0, 2bc

∵△ ABC 不是直角三角形,∴ bc ? 4 ? 0

?b ? 1 ? b ? 4 故 bc ? 4 ,又∵ b ? c ? 5 ,解得 ? 或? ?c ? 4 ? c ? 1

(Ⅱ)∵ a ? 5 ,由余弦定理可得
5 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2bc ? 2bc cos A ? 8 ? 8 cos A ,所以 cos A ?

3 , 8

所以 sin A ?

1 55 55 ,所以 S ?ABC ? bc sin A ? . 2 4 8

所以△ ABC 面积的最大值是

55 3 ,当 cos A ? 时取到. 4 8

18.(本题满分 15 分)设常数 a ? R ,函数 f ( x) ? (a ? x) | x | . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调减区间; (Ⅱ)若 f ( x) 是奇函数,且关于 x 的不等式 mx ? m ? f [ f ( x)] 对所有的 x ? [?2,2] 恒成立,求实数 m 的
2

取值范围.

-7-

?(1 ? x) x, x ? 0 18. (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? (1 ? x) x ? ? , ?( x ? 1) x, x ? 0
当 x ? 0 时, f ( x) ? (1 ? x) x ? ?( x ? ) ?
2

1 2

1 1 1 ,所以 f ( x ) 在 (0, ) 内是增函数,在 ( ,?? ) 内是减函数; 4 2 2

1 ,所以 f ( x ) 在 (??,0) 内是减函数. 4 1 综上可知, f ( x ) 单调减区间为 (??,0) 、 ( ,?? ) . 2
当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? 1) x ? ( x ? ) ?
2

1 2

(Ⅱ)? f ( x) 是奇函数,? f (0) ? 0 ,解得 a ? 0 .? f ( x) ? ? x x , f [ f ( x)] ? x3 x .

?mx2 ? m ? f [ f ( x)]=x3 x
m? x3 x x2 ?1
,而

x3 x x2 ?1

?

x4 x4 ?1 ? 1 1 16 ? ? x2 ?1? 2 ?2? . 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 5

所以 m ?

16 . 5

19.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, AB ? 1 , AE ? 平面 CDE ,

AE ? DE ? 6 , F 为线段 DE 上的一点. (Ⅰ)求证:平面 AED ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若二面角 E ? BC ? F 与二面角 F ? BC ? D 的大小相等,求 DF 的长.

第 19 题

(Ⅰ) Q AE ? 面 CDE

CD ? 面 CDE

? AE ? CD

又 Q ABCD 是矩形 ? AD ? CD 又 Q CD ? 面 ABCD

? CD ? 面 AED

?平面 AED ? 平面 ABCD

-8-

( Ⅱ ) 解 法 一 : 取 AD, BC 的 中 点 G , H 连 结

EG, GH , EH ,过 F 作 FM || EG 交 AD 于 M ,
作 NM || HG 交 BC 于 N , 连 结 FN

过 M

Q AE ? DE ? 6 ? EG ? 3 且 EG ? AD
Q 平面 AED ? 平面 ABCD ? EG ? 面 ABCD G H ? B EC H ? B C ? ? ?EHG 就是二面角 E ? BC ? D 的平面角 同理 ?FNM 就是二面角 F ? BC ? D 的平面角 由题意得 ?EHG ? 2?FNM
而 tan ?EHG ? 易 知

EG 3 FM FM ? 3 ? tan ?FNM ? ? ? GH 3 MN 1

? FM ?

3 6 ? DF ? 3 3

20.(本题满分 15 分)已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, a 2 ? 列 {a n } 的通项公式;
2 2 (Ⅱ)求证: 对一切 n ? N * ,有 a12 ? a2 ? ? ? an ?

(n ? 1)an 1 ,且 an ?1 ? n ? an 4

(n ? 2,3, 4,?), (Ⅰ)求数

7 6

解: (Ⅰ)由已知,对 n ? 2 有

1 a n ?1

?

n ? an n 1 ? ? , (n ? 1)a n (n ? 1)a n n ? 1

两边同除以 n,得

1 1 1 , ? ? na n ?1 (n ? 1)a n n(n ? 1)



1 1 1 1 ? ? ?( ? ), na n ?1 (n ? 1)a n n ?1 n
n ?1 ? 1 ? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?(1 ? ), ? ? ? ? ? (k ? 1)a k ? k? n ?1 k ? 2 ? ka k ?1 k ?2 ? k ? 1 n ?1

于是,



1 1 1 ? ? ?(1 ? ), n ? 2 , (n ? 1)a n a 2 n ?1
-9-

所以

1 1 1 1 3n ? 2 , an ? ,n ? 2 . ? ? (1 ? )? 3n ? 2 (n ? 1)a n a 2 n ?1 n ?1
1 ,n? N*. 3n ? 2
2

又 n ? 1 时也成立,故 a n ?
2

(Ⅱ)(i) ? 1 / a n ?1 ? 1 / a n ? 1 /

?3(n ? 1) ? 2?

1

2

? 1/

?3n ? 2?2

1

? 18n ? 3 ? 0

?

1 a
2 n ?1

?

1 , 2 an 1 a
2 n ?1

即对一切 n ? N * ,都有

?

1 ; 2 an
2 2

(或证明 a n ?1 ? a n ? 0 ? a n ?1 ? a n ? a n ?1 ? a n ?

1 a
2 n ?1

?

1 , 2 an

即对一切 n ? N * ,都有

1 a
2 n ?1

?

1 ; ) 2 an
2 2

(或用数列转化为函数 ?3 x ? 2 ? ? 9n ? 12n ? 4 单调性证明对称轴为 x ? ? 增) (ii)当 k ? 2 ,有
2 ak ?

? 12 ? ? 12 ? ? ,在 ? ,?? ? 上单调递 ? 18 ? ? 18 ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), 2 (3k ? 4)(3k ? 1) 3 3k ? 4 3k ? 1 (3k ? 2)

所以 n ? 2 时,有

?a
k ?1

n

2 k

n 1? 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? ? ak ? 1 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3? 2 5 5 8 3n ? 4 3n ? 1 ? ? k ?2

1?1 1 ? 1 7 ? 1? ? ? ? ? 1? ? . 3 ? 2 3n ? 1 ? 6 6
又 n ? 1 时, a12 ? 1 ? 故对一切 n ? N * ,有

7 . 6
2 k

?a
k ?1

n

?

7 . 6

2 2 (对一切 n ? N * ,有 a12 ? a2 ? ? ? an ?

7 . ) 6

- 10 -

- 11 -


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