浙江省嘉兴市高三9月学科基础知识测试数学理试题(WORD版)

嘉兴市 2015 届高三学科基础测试

理科数学 2014.9

一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符和题目要求的

1.设集合 A=,R 为实数,Z 为整数集,则

A. B. C. D.

2.已知函数,则在

A.上单调递增 C.上单调递减

B.上单调递增 D.上单调递减

3.在中,已知 M 是 BC 中点,设则

A. B. C. D.

4.是的 A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.已知函数 y ? loga x, y ? logb x, y ? logc x 的图像如图,则

A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.c>a>b
6.已知函数 f (x) ? cos 2x ? 4sin x, 则函数的最大值是

A.4 B.3 C.5 D.

7.对于空间的一条直线 m 和两个平面,下列命题中的真命题是 A.若则 B. .若则

C.若则 D. 若则 8.等比数列中,已知,则前 5 项和

A. B. C. D. 9.已知中,BC=3,AC=4,AB=5 点 P 是三边上的任意一点,m=,则 m 的最小值是

A.-25 B. C.

D.0

10.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线与A,B两点,交双曲线的渐近线于P,

Q两点,若|PQ|=2|AB|,则双曲线的离心率是

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)

12.已知是钝角,,则

.

13.垂直于直线 x+2y-3=0 且经过点(2,1)的直线的方程

.

14.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

.

?x ? y ? 2 ? 0

15.已知 ??3x ? y ? 2 ? 0 ,则的最小值是

.

??x ? 3y ? 2 ? 0

16.已知正实数 a,b 满足,则的最小值是

.

17.若圆C与圆关于直线 x+y-1=0 对称,则圆 C 的方程是

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本题 14 分)

在中,已知 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin A ? sin B.

(1)求角 C; (Ⅱ)若 c ? 4 ,求 a ? b 的最大值.

19 已知数列满足: (1) 求数列的通项公式; (2) 若,求数列的前 n 项和.
20.(本题 15 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC,是正三角形,AB=4,PA=3,M 是 AB 的中点. (1)求证:平面 PAB; (2)设二面角 A-PB-C 的大小为,求的值.

21.(本题 15 分) 如图,已知抛物线,点是 x 轴上的一点,经过点 P 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 A,B 两点.
(1) 当点 P 在 x 轴上时,求证线段 AB 的中点轨迹方程; (2) 若 (O 为坐标原点),求 a 的值.

22.(本题 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ( x ? 0 ). x
(1)若 a ? 0 ,试用定义证明: f (x) 在 (0,??) 上单调递增;
(2)若 a ? 0 ,当 x ?[1,3] 时不等式 f (x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

2014 年高中学科基础测试

理科数学 评分参考

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分)

1.D;

2.B;

3.A;

4.D;

5.C;

6.B;

7.C;

8.A;

9.B;

10.D.

二、填空题:本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分

11.1007; 15. ? 4;

12. ? 7 2 ; 10
16. 50 ; 9

13. 2x ? y ? 3 ? 0 ;

14.32;

17. x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ;

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本题 14 分)

在△ ABC 中,已知 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin AsinB .

(Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)若 c ? 4 ,求 a ? b 的最大值.

解:(Ⅰ)由 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin AsinB ,得 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab .

所以, cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ,角 C ? ? .

2ab

2

3

(Ⅱ)因为 c ? 4 ,所以 16 ? a 2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab .

┅4 分 ┅8 分 ┅10 分

又 ab ? ( a ? b )2 ,所以 16 ? 1 (a ? b)2 ,从而 a ? b ? 8 ,其中 a ? b 时等号成立.

2

4

故, a ? b 的最大值为 8.

┅14 分

19.(本题 14 分)

已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若 bn ? anan?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和.

解:(Ⅰ)由 an?1 ? 2an ? 1 ,得 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) .

所以, {an ? 1} 成等比,公比 q ? 2 ,首项 a1 ? 1 ? 2 . P

┅4 分

所以, an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ? 1 .

┅8 分 D

(Ⅱ) bn ? anan?1 ? (2n ? 1)(2n?1 ? 1) ? 2 ? 4n ? 3 ? 2n ? 1 ,

┅10 分

所以,数列 {bn } 的前 n 项和

M

A

B

C Sn ? 2(41 ? 42 ? ? ? 4n ) ? 3(21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? n(第 20 题)

┅12 分

? 2 ? 4(4n ? 1) ? 3 ? 2(2n ? 1) ? n ? 8 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 10 .

4?1

2?1

3

3

20.(本题 15 分)

┅14 分

如图,三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC ,△ ABC 是正三角形, AB ? 4 , PA ? 3 , M 是

AB 的中点.

(Ⅰ)求证: CM ? 平面 PAB ;

(Ⅱ)设二面角 A ? PC ? B 的大小为? ,求 cos? 的值.

解:(Ⅰ)因为 PA ? 底面 ABC ,所以 PA ? CM .

┅3 分

因为△ ABC 是正三角形, M 是 AB 的中点,所以 CM ? AB .

┅6 分

所以, CM ? 平面 PAB .

┅7 分

(Ⅱ)(几何法)

由对称性可知,二面角 A ? PB ? C 的大小也为? .

作 MD ? PB 于 D ,连 CD ,则 CD ? PB .

所以, ?CDM 是二面角 A ? PB ? C 的平面角. ┅11 分 因为 AB ? 4 , PA ? 3 ,所以 CM ? 2 3 , DM ? 6 .
5

从而 CD ? 4 21 ,故 cos? ? DM ? 21 .

5

CD 14

(向量法)

┅15 分

以 M 为原点, MC 为 x 轴, MB 为 y 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图.

AP ? (0,0,3) , AC ? (2 3,2,0) .

设 n ? ( x, y, z) 是平面 APC 的法向量,



? ??2

3z ? 0 3x ? 2y

?

0

,取法向量

n1

?

(1,?

3 ,0) .┅10 分

BP ? (0,?4,3) , BC ? (2 3 ,?2,0) .

设 n ? ( x, y, z) 是平面 BPC 的法向量,



?? ??2

4y ? 3z ? 0 3x ? 2y ? 0

,取法向量

n2

?

(

3,3,4) .┅13 分

故 cos? ? | n1 ? n2 | ? 2 3 ? 21 . | n1 || n2 | 2 ? 2 7 14
21.(本题 15 分)

┅15 分

如图,已知抛物线 y2 ? 4x ,点 P(a,0) 是 x 轴上的一点,经过点 P 且斜率为 1 的直线 l 与抛物

线相交于 A , B 两点. (Ⅰ)当点 P 在 x 轴上运动时,求线段 AB 的中点轨迹的方程; (Ⅱ)若 | AB |? 4 | OP | (O 为坐标原点),求 a 的值.

解:(Ⅰ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 中点为 M( x0 , y0 ) . y

l



?? ? ??

y12 y22

? 4x1 ? 4x2

? ( y1 ?

y2 )( y1 ?

y2 ) ? 4( x1 ?

x2 ) ,

┅2 分

B



y1 x1

? ?

y2 x2

? 1,

y1

?

y2

? 2y0 ,

OP

x

A

所以 2 y0 ? 4 ,从而 y0 ? 2 .

┅6 分

故,线段 AB 的中点轨迹的方程是: y ? 2 ( x ? 1). ┅7 分

(第 21 题)

(Ⅱ)直线 l : x ? y ? a ,



? ? ?

x? y2

y?a ? 4x

?

y2

? 4 y ? 4a

?

0.

┅9 分

? ? 16(a ? 1) , | AB |? 2 | y1 ? y2 | ? 4 2(a ? 1) .

┅12 分

若 | AB |? 4 | OP | ,则 4 2(a ? 1) ? 4 | a | ,即 a 2 ? 2a ? 2 ? 0 .

解得: a ? 1 ? 3 .

┅15 分

22.(本题 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ( x ? 0 ). x (Ⅰ)若 a ? 0 ,试用定义证明: f (x) 在 (0,??) 上单调递增; (Ⅱ)若 a ? 0 ,当 x ?[1,3] 时不等式 f (x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

解:(Ⅰ)若 a ? 0 ,设 0 ? x1 ? x2 ? ? ?,则

f (x1 ) ?

f (x2 ) ? (x1

?

x2 )(1 ?

a ). x1 x2

┅2 分

因为 x1

?

x2

? 0,1?

a x1 x2

? 0 ,所以

f (x1 ) ?

f ( x2 ) ? 0 ,即

f (x1 ) ?

f (x2 ) ,

故, f (x) 在 (0,??) 上单调递增.

┅6 分

(Ⅱ)若 a ? 0 ,则 f (x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a ,? ?) 上单调递增.

①若 0 ? a ? 1,则 f ( x) 在 [1,3] 上单调递增, f ( x)min ? f (1) ? 1 ? a . 所以, 1 ? a ? 2 ,即 a ? 1,所以 a ? 1 . ②若 1 ? a ? 9 ,则 f (x) 在 [1, a ] 上单调递减,在[ a ,3]上单调递增,

┅8 分

f ( x)min ? f ( a ) ? 2 a .所以, 2 a ? 2 ,即 a ? 1,所以 1 ? a ? 9 .

③若 a ? 9 ,则

f (x) 在[1,3] 上单调递减,

f ( x)min

?

f (3) ? 3 ?

a. 3

所以, 3 ? a ? 2 ,即 a ? ?3 ,所以 a ? 9 . 3

综合①②③, a ? 1.

┅10 分
┅12 分 ┅14 分


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