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立体几何文科专题复习A4


常规几何图形的立体几何问题
1.如图,在长方体 ABCD ? A B1 C1 D1 中,点 E 在棱 CC1 的 1 延长线上,且 CC1 ? C1 E ? BC ?

1 AB ? 1 . 2

E

(Ⅰ)求证: D1 E ∥平面 ACB1 ; (Ⅱ)求证:平面 D1 B1E ? 平面 DCB1 ; (Ⅲ)求四面体 D1 B1 AC 的体积. A

D1

C1 B1

A1
D

C B

2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,△PAD 是等边 三角形,已知 BD ? 2 AD ? 4 , AB ? 2DC ? 2 5 . (1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积. A P

D

C B

? ? 3. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 为矩形, PAD 为等腰三角形, APD ? 90 ,
?

平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 AB ? 1, AD ? 2, E 、 F 分 别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明: EF / / 平面 PAD ; (2)证明:平面 PDC ? 平面 PAD ; (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P E D F A B C

1

4.如图,一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四 边形,且 DC ? 平面 ABC. (1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE ; (2)若 AB ? 2 , BC ? 1 , tan ?EAB ? 该几何体的体积 V.

3 ,试求 2

5.在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? BC ? 1, AA ? 2 , 1 1 (1) 求证: AD ∥面 D1 BC ;(2) 证明: AC ? BD1 ;
A1

D1 C1

B1

(3) 一只蜜蜂在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中飞行,求它飞 1 入三棱锥 D1 ? ABC 内的概率.
D C

A

B

6.在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 DD1 、DB 的中点。 (1)求证:EF//平面 ABC1 D1 ; (2)求证:EF ? B1C ; (3)求三棱锥 B1 ? EFC 的体积 V。

2

7. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E , F , G, H 分别是棱 AB, CC1 , D1 A1 , BB1 的中点. (1)证明: FH // 平面 A1 EG ; (2)证明: AH ? EG ; (3)求三棱锥 A1 ? EFG 的体积.
D H C A1 D1 G B1 F C1

A

E

B

? 8. 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形,AB // DC ,?ABC ? 45 ,

DC ? 1 ,
AB ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 . (1)求证: AB // 平面 PCD ;[来源:Z.xx.k.Com]
(2)求证: BC ? 平面 PAC ; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M—ACD 的体积. D A P

M

B

C

9.如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD , AE ? 平面 CDE , 且 AE ? 3 , AB ? 6 . B (1)求证: AB ? 平面 ADE ; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积. A

C D

E

3

10.如图:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC=AA1=2,∠ACB=90?.E 为 BB1 的中点,D 点 在 AB 上且 DE= 3 . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)求三棱锥 A1-CDE 的体积.

11.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是矩形, E 、 F 分别 是 AB 、 PD 的中点.若 PA ? AD ? 3 , CD ? 6 . (Ⅰ)求证: AF // 平面 PCE ; (Ⅱ) 求点 F 到平面 PCE 的距离;

12.如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SA ? 底面 ABCD , E 是 SC 上一点 (1)求证:平面 EBD ? 平面 SAC ; (2)设 SA ? 4 , AB ? 2 ,求点 A 到平面 SBD 的距 离;
E A D C S

B

4

13. 如 图 所 示 ,

四 棱 锥

P

? ABCD

底 面 是 直 角 梯 形 ,

BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD, E 为 PC 的中点, PA=AD=AB=1.
(1)证明: EB // 平面PAD ; (2)证明: BE ? 平面PDC ; (3)求三棱锥 B ? PDC 的体积 V.

14.已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

立体几何中的三视图问题
1.已知某几何体的直观图与它的三视图,其中俯 视图为正三角形, 其它两个视图是矩形.已知 D 是 这个几何体的棱 A1C1 上的中点。 (1)求出该几何体的体积; (2)求证:直线 BC1 / /平面AB1D ; 3 _ 3 _

5

(3)求证:平面 AB1 D ? 平面AA D . 1 D A1

C1 B1

C A B

2.右图为一简单集合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,

EC // PD ,且 PD ? AD ? 2 EC =2 .
(1)画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B-CEPD 的体积; (3)求证: BE // 平面 PDA .

P

E

D

C

A

B

3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD 垂直于底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,

DC / / AB, ?BAD ? 90? ,且 AB ? 2 AD ? 2 DC ? 2 PD ? 4 (单位: cm ), E 为 PA 的
中点。 (1)如图,若正视方向与 AD 平行,作出该几何体的正视图并求出正视图面积; (2)证明: DE / / 平面 PBC ; (3)证明: DE ? 平面 PAB ;
E D A C B P

6

4.如图 5(1) 是一个水平放置的正三棱柱 ABC? A1 B1C1 ,D 是棱 BC 的中点. 正三棱柱的正 (主)视图如图 5(2) . ⑴求正三棱柱 ABC? A1 B1C1 的体积; ⑵证明: A1 B // 平面ADC1 ; ⑶图 5(1) 中垂直于平面 BCC1 B1 的平面有哪几个?(直接写出符合要求的平面即可,不 必说明或证明)

A1

A

A1

A

3
C1 B1
图 5(1)

C
D B

B 1 (C 1 )

3
图 5(2)

B (C )

5. 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下图所示,其中 主视图、 侧视图是直角三角形, 俯视图是有一条对角线 的正方形. E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求证: BD ? AE (2)若五点 A, B, C , D, P 在同一球面上,求该球 的体积.
1 _ 1 _ 1 _ 2 _ 2 _

1 _

主视图

侧视图

俯视图

P

E D C B

A

7

6.一个三棱柱 ABC ? A1 B1C1 直观图和三视图如图所示, 设 E 、 F 分别为 AA1 和 B1C1 的中点. (Ⅰ)求几何体 E ? B1C1CB 的体积; (Ⅱ)证明: A1 F // 平面 EBC1 ; (Ⅲ)证明:平面 EBC ? 平面 EB1C1 . 主视图

3

1
左视图

2
俯视图 视图
C

C1

F
B A E
A1

B1

7.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下图所示, E 是侧棱 PC 上的动点. (1) 求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2) 是否不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE ?证明你的结论; P

E
2 2 1

D

C

1 正视图

1 侧视图

1 俯视图

A

B

8

立体几何中的动点问题
1.已知四边形 ABCD 为矩形,AD ? 4, AB ? 2, E 、F 分别是线段 AB 、BC 的中点,PA ? 平面 ABCD. (1)求证: PF ? FD ; (2)设点 G 在 PA 上,且 EG / / 平面 PFD ,试确定点 G 的位置.
E B P

A

D

·
F C

2.如图,己知 ?BCD 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1, AB ? 平面BCD ,
0

且 ?ADB ? 600 , E, F分别是AC,AD上的动点,

AE AF = =? ,(0<? <1) AC AD

(1)求证:不论 ? 为何值,总有 EF ? 平面ABC; (2)若 ? =

1 , 求三棱锥 A-BEF 的体积. 2

9

3.如图,已知△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形,DC ? 平面 ABC , AB ? 2 ,

tan ?EAB ?

3 . 2

(1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE ; (2)记 AC ? x , V ( x) 表示三棱锥 A-CBE 的体积,求

V ( x) 的表达式;
(3)当 V ( x) 取得最大值时,求证:AD=CE.

4.如图,在底面是菱形的四棱锥 S—ABCD 中,SA=AB=2, SB ? SD ? 2 2. (1)证明: BD ? 平面 SAC; (2)问:侧棱 SD 上是否存在点 E,使得 SB//平面 ACD?请证明你的结论; (3)若 ?BAD ? 120 ,求几何体 A—SBD 的体积。
0

10

立体几何中的翻折问题
1. 如 图 1, 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 . 将

?ADE 沿 AC 折起,使平面 ADE ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图2所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; D (Ⅱ) 求几何体 D ? ABC 的体积.
D C C

A 图1

B

A 图2

B

2. 如图 6,在直角梯形 ABCP 中,AP//BC,AP ? AB,

B

G

C

1 AP ? 2 ,D 是 AP 的中点,E,F,G 分别 2 为 PC、PD、CB 的中点,将 ?PCD 沿 CD 折起,使
AB=BC= 得 PD ? 平面 ABCD,如图 7. (Ⅰ)求证:AP//平面 EFG; (Ⅲ)求三棱椎 D ? PAB 的体积.
B G F A P
A D

E

F

P

图6

E C

D

图7

11

不规则图形的立体几何问题
1.如图, 已知 ?ABC 内接于圆 O ,AB 是圆 O 的直径, 四边形 DBCE 为平行四边形,EC ? 平面 ABC , AB ? 2 AC ? 2 , tan?DAB ?

3 . 2 ⑴设 F 是 CD 的中点,证明: OF // 平面 ADE ;
⑵求点 B 到平面 ADE 的距离; ⑶画出四棱锥 A ? BCED 的正视图 (圆 O 在水平面,

E
D

C

ABD 在正面, 要求标明垂直关系与至少一边的长) . A

O

B

12


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