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上海交通大学2011级数学分析第1学期第1次测验解答


上海交通大学 数学分析 (Ⅰ ) 测验 2011.10
班级_______学号________姓名_______成绩___ 题 号 满 分 得 分 一、填空题 (每小题 3 分,共 12 分) 1. 给出[0,1]到[0,1]的函数,使得它是双射,并且在[0,1]的任一子区间上都不是 一 12 二 12 三 12 四 10 五 36 六 10 七 8 总 分 100

? ? x, x ? Q? [0,1] . 单调函数: f ( x)= ? c ? ?? x, x ? Q ? [0,1]
2. “数列 {xn } 不满足 Cauchy 收敛准则”的肯定叙述为:

?? ? 0, ?N ? N,?n, m ? N :| xn ? xm |? ? .
3. “ 函数 f ( x) 当 x ? ? 不是无穷大量”的肯定叙述为:

?G ? 0, ?X ? 0,?x(| x |? X ) :| f ( x) |? G .
4. 设 xn ?

1 n? 6 ? cos ,则 inf{xn } ? ?1 , sup{xn } ? . n +1 2 5

二、单项选择题 (每小题 3 分,共 12 分) 5. 下列语句可以作为 lim x n ? a 的等价定义的语句有
n ??

…… ( C

)

(I) ?? ? 0, ?N ? Ν, ?n ? N :| x n ? a |? M?(M ? 0) . (II) ?? ? 0, ?N ? ?, ?n ? N :| x n ? a |? ? 3 . (III) ?? (0 ? ? ? 1), ?N ? ?, ?n ? N :| x n ? a |? ? . (IV) ?? ? 0, ?N ? ?, ?n ? N : x n ? a ? ? . (A)1 句 6. 考虑下列语句 I.
ο

(B)2 句.

(C)3 句.

(D)4 句. …… ( A )

设 lim f ( x) ? A ,若 ?? ? 0, 使得 ?x ? U (a, ? ) ,有 f ( x) ? 0 ,则 A ? 0
x?a

共 3 张 6 页,第 1页

II.

设 lim f ( x) ? A ,若 A ? 0 ,则 ?? ? 0, 使得 ?x ? U (a, ? ) ,都有 f ( x) ? 0 .
x?a

ο

(A) I 正确 II 不正确. (C) I 和 II 均正确.
n ??

(B) I 不正确 II 正确. (D) I 和 II 均不正确. …… ( A )

7. . 若 lim x n ? a , 且 x n ? 0, ?n ? ? 。 则下列结论错误的是: (A) lim (B) (C) (D)

x n ?1 ? 1. n ?? x n lim | x n |?| a | .
n ??

lim
n ??

x1 ? x 2 ? ? ? x n ?a. n

lim n x1 x 2 ? x n ? a .
n ??

8. 当 x ? 0 时,与 x 2 等价的无穷小量是( C A 三、



e2 x

2

? x3

?1;

B cos x 2 ? 1 ;

C

1 ? 2x2 ?1 ;

D

ln( x 2 ? x ? 1) .

(每小题 6 分,共 12 分)判断下列命题是否正确。正确的请简单说明,

错误的请给出反例。

9. 若 {x n } 的任一子列均为无界数列,则 {x n } 必为无穷大量. 正确:…………………..3’ 若 {x n } 不是无穷大量,则必存在 {x n } 的子列为有界量,导致矛盾。…..6’ 10. 若函数 f ( x) 在 x ? x0 处左右极限均存在,则 f ( x) 在 x ? x0 处的极限存在。 错误: ………………………………………..3’

给出正确反例…………………………………..6’

四、

(本题共 10 分)

x ?1 1 ? . x ?3 x ? 1 2 x ?1 1 x ?3 ? |?| |? ? , 证明: ?? ? 0 ,欲使 | x ? 1 2 2( x ? 1)
11.用“ ? ? ? ”定义验证: lim

共 3 张 6 页,第 2页

不妨设 | x ? 3 |? 1 , 即 2 ? x ? 4 ,从而有 | 故只须要: |

x ?1 1 x ?3 | x ?3| ,……4’ ? |?| |? x ? 1 2 2( x ? 1) 6

x ?1 1 x ?3 | x ?3| ? |?| |? ? ? ,即 | x ? 3 |? 6? 。 x ? 1 2 2( x ? 1) 6 x ?1 1 ? |? ? 。故 x ?1 2

取 ? ? min{6? ,1} ? 0 。……………………………………………………………8’
从而有

?? ? 0 , ?? ? min{6? , 2} ? 0 , ?x(0 ?| x ? 3 |? ? ) : |

lim
x ?3

x ?1 1 ? 。………………………………………………………………..10’ x ?1 2
计算下列极限 (每小题 9 分,共 36 分)

五、 12.

lim

1 ? cos x x ? 0 ln(1 ? 3 x 2 ) 1 ? cos x ? lim .........3' x ? 0 ln(1 ? 3 x 2 )(1 ? cos x ) . 1 2 x ? lim 2 2 .....................7 ' x ? 0 3 x (1 ? cos x ) 1 ? ...............................................9 ' 12

13.

? x 2 ? x2 lim ? cos x ? ? x ?0 2? ?
ln(cos x ?

1

? e x?0 ? e x?0 ?e
lim

lim

x2 cos x ?
2

x2 ) 2

...................3' .....................6 ' .

x2

x ?1 2

cos x ?1 1 lim ? x?0 2 x2

? e ?1.................................9 '
14. 设 a ? 0 ,计算

共 3 张 6 页,第 3页

lim n
n ??

?

n

a ?1

?

ln a ................6 ' . n ? ln a..........................9 ' ? lim n
n ??

15. 设 k ? 1 常数, lim a n ? a . 计算
n ??

lim

k n an ? k n ?1an ?1 ? ? ? a0 n ?? kn k na ? lim n nn ?1 .........................5' n ?? k ? k . kan ? lim n ?? k ? 1 ka ? .....................................9 ' k ?1 1 (n ? N ) ,证明:数列 ? xn ? 收敛,并求极限值. 2 ? xn

六、(本题共 10 分) 16. 设 x1 ? 2, xn ?1 ? 解:

| xn ?1 ? ( 2 ? 1) | ?| ?| 1 1 1 ? ( 2 ? 1) |?| ? | 2 ? xn 2 ? xn 2 ?1 xn ? ( 2 ? 1) 1 |? | xn ? ( 2 ? 1) | (2 ? xn )( 2 ? 1) 2 ?1

? ............. 1 n 1 n ?( ) | x1 ? ( 2 ? 1) |? ( ) ..............4 ' 2 ?1 2 ?1 1 n 由于 lim( ) ? 0 ………………………..7’ n ?? 2 ?1
从而得到 lim xn ? 2 ? 1 ………………….10’
n ??

七、(本题共 8 分) 17. 设数列 ? xn ? 满足 2 xn ? xn ?1 ? xn ?1,?n ? 2 . 证明: (1) 若 x2 ? x1 ,则数列 ? xn ? 是无界数列. (2) 若数列 ? xn ? 是有界数列,则 lim( xn ? xn ?1 ) ? 0 .
n ??

证明: (1) (4 分)由题意得 从而有: x3 ? x2 ? x2 ? x1,

xn +1 ? xn ? xn ? xn ?1,?n ? 2

x4 ? x3 ? x3 ? x2,
共 3 张 6 页,第 4页

…….

xn ? xn ?1 ? xn ?1 ? xn ? 2,
相加得到: xn ? x2 ? xn ?1 ? x1,?n ? 3 故有 xn ? xn ?1 ? x2 ? x1 ? xn ? 2 ? 2( x2 ? x1 )...... ? x1 ? (n ? 1)( x2 ? x1 ) 。所以数列

? xn ? 是无界数列。
(2) (4 分)先证明数列 ? xn ? 是单调减少数列。反证,假设数列 ? xn ? 不是 单调减少数列,则存在 N 0 ? N ,使得 xN0 ?1 ? xN0 。于是由(1)知:

xn ? xN0 ? (n ? N 0 )( xN0 ?1 ? xN0 ), ?n ? N 0 ,
从而得到 ? xn ? 是无界数列,得到矛盾。 由 于 数 列 ? xn ? 是 单 调 减 少 有 界 , 故 收 敛 , 记 极 限 为 A 。 而

lim( xn ? xn ?1 ) ? A ? A ? 0 。
n ??

共 3 张 6 页,第 5页


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