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山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编4:平面向量

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山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 4:平面向量
一、选择题 1 . (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)若 a, b, c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 ,则

? ? ?

? ?

? ? ? a?b?c 的
( )

最小值为 A. 2 ? 1
【答案】A

B.1

C. 2 ?1

D. 2

? ? ? ? ? 2 ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c ? 3 ? 2(a ? b) ? c , 因 为 a ? b ? 0 , 且

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 1 ,所以 a ? c ? 2 ,所以 (a ? b) ? c ? a ? b c cos ? a ? b, c ?? 2 cos ? a ? b, c ? ,所
以 a ? b ? c ? 3 ? 2 2 cos ? ( a ? b), c ? , 所 以 当 cos ? (a ? b ), c ?? 1 时 , a ? b ? c

? ? ?2

? ? ?

?

? ?

? ? ?2

最小为

? ? ?2 ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 , 所 以 a ? b ? c ? 2 ? 1 , 即 a ? b ? c 的 最 小 值 为 2 ? 1 . 选
( A. )

2 . (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理))若 e1 , e2 是平面内夹角为 60 的两个单位向

?? ?? ?

?

量,则向量 a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 的夹角为 A. 30?
【答案】D

?

?? ?? ? ?

??

?? ?

( D. 120?



B. 60?

C. 90?

【解析】 e1 ? 2 ? e1 e2 cos 60? ? e

?? ?? ? ?? ?? ? 1 ? ? 7 , a ? ? (2e1 ? e2 )? ?3e1 ? 2e2 ) ? ? , b ( 2 2 ? ?? ?? 2 ? ?? ?? ? ? ?? ??? 2 ? ?? ?? ? ? ? a ? (2e1 ? e2 ) ? 4 ? 4e1 ?e2 ? 1 ? 7 , b ? (?3e1 ? 2e2 ) ? 9 ? 12e1 ?e2 ? 4 ? 7 , 所 以 a, b

?? ?? ?

?? ?? ?

7 ? ? ? ? ? ? ? a? b 2 ? ? 1 ,所以 ? a, b ?? 120? ,选 的夹角的余弦值为 cos ? a, b ?? ? ? ? 2 7? 7 a b
??? ? ??? ? ???? ? OA ? 2OB ? 3OC ? 0, 则△AO
A.9:4:1 【答案】C B.1:4:9

D.

3 .(山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题) 已知点 O 为△ABC 内一点,且

B.△AO C.3:2:1

C.△BOC 的面积之比等于 ( D.1:2:3



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【解析】, 延长 OB 到 B ' ,使 OB ' ? 2OB ,延长 OC 到 C ' ,使 OC ' ? 3OC ,连结 B ' C ' ,取 B ' C ' 的中点 A ' ,则

??? ? ???? ???? ??? ? 2OB ? 3OC ? 2OA ' ? ?OA, 所以 A, O, A ' 三点共线且 O 为三角形 AB ' C ' 的重心,

1 S ?AOB ' ,在△AOC’中,C 为 OC‘边 2 1 1 近 O 端三等分点,所以 S ?AOC ? S ?AOC ' .在△B'OC'中,连 BC',B 为 OB‘边中点,所以 S ?BOC ' ? S ?B 'OC ' ,在 3 2 1 1 △BOC'中,C 为 OC‘边近 O 端三等分点,所以 S ?BOC ? S ?BOC ' ? S ?B 'OC ' ,因为 S ?AOB ' ? S ?AOC ' =S ?B 'OC ' , 3 6 1 1 1 所以△AOB: △AOC: △BOC 面积之比为 :: =3 : 2 :1 ,选 C. 2 3 6 ? ? ? ? ? ? ? 4 . 山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) ( 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,
则 S ?AOB ' ? S ?AOC ' =S ?B 'OC ' ,在△AOB’中,B 为 OB‘边中点,所以 S ?AOB ? 则向量 a ? b 与 b ? a 的夹角为 A.

? ?

? ?

( C.



?
6

【答案】 B

2? 5? D. 3 3 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 由 a ? b ? a ? b 得, a ? 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ,即 a ? b ? 0 .由 a ? b ? 2 a ,得
B.

?

? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ?2 ?2 ?2 ?2 ? ? ?2 ?2 ?2 ?2 a ? 2a ? b ? b ? 4a ,即 b ? 3a ,所以 b ? 3 a ,所以 (a ? b) ? (b ? a ) ? b ? a ? 3a ? a ? 2a ,

? ? ? ? ?2 ? ? ? ? (a ? b) ? (b ? a ) 2a 1 ? 所以向量 a ? b 与 b ? a 的夹角的余弦值为 cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ,选 3 a ?b ? a ?b 2 a ?2 a 2
B.
5 .(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)定义域为

? a, b? 的函数 y ? f ? x?

的 图 象 的 两 个 端 点 为

A,B,M

? x, y ? 是f ? x?

图 象 上 任 意 一 点 , 其 中

x ? ? a ?1 ?

? ? ? ?

???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? b ? ? ?, R 向量 O N ? 1O? A , 若 不 等 式 MN ? k 恒 成 立 , 则 称 函 数 ? ? O B ? ??

1 2 f ? x ? 在?a, b? 上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 在 ?1,? 上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范 x
围为 ( )

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A. ?0, ?? ?

B. ?1 ? ?? ,

C. ? ? 2, ? ? D. ? ? 2, ? ? ? ? ?2 ? ?2 ?

?3

?

?3

?

【答案】 C 由题意知 a ? 1, b ? 2 ,所以 A(1, 2),B (2, ) .所以直线 AB 的方程为 y ?

5 2

1 ( x ? 3) .因为 2

xM ? ? a ? ?1 ? ?? b ? ? ?2? 1 ??? ? 2 ??,
???? ??? ? ??? ? 5 5 ? ON ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB ? ? (1, 2) ? ?1 ? ? ? (2, ) ? (2 ? ? , ? ) ,所以 xN ? 2 ? ? , M , N 的横坐标 2 2 2
相 同 . 且 点 N 在 直 线 AB 上 . 所 以 MN ? yM ? yN ? x ?

???? ?

1 1 x 1 3 ? ( x ? 3 )? ? ? , 因 为 x 2 2 x 2

???? ? ???? ? x 1 3 3 x 1 x 1 3 x 1 x 1 3 ? ? 2 ? ? 2 ,且 ? ? ,所以 MN ? ? ? ? ? ( ? ) ? ? 2 ,即 MN 的 2 x 2 2 x 2 2 2 x 2 2 x 2 x
最大值为

3 3 ? 2 ,所以 k ? ? 2 ,选 2 2

C.

6 .(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)直线 x ?

3 y ? 2 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A,B
( )

两点,则 OA · OB = A.4
【答案】 由 ? C

??? ?

??? ?

B.3

C.2 ,解得 ?

D.-2

?x ? 3y ? 2 3 ? 0 ?
2 2 ?x ? y ? 4 ?

??? ??? ? ? ?x ? 3 ?x ? 0 ? 或? ,即 A( 3,1), B (0, 2) ,所以 OA · OB ? 2 , ?y ?1 ?y ? 2 ?



C.

7 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次 月) (3 模拟考试数学 (理) 试题) 已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x, 6) ,且 a ∥ b ,

则 x 的值为 A.1 B.2 C.3 【答案】C 因为 a ∥ b ,所以 1? 6 ? 2 x ? 0 ,解得 x ? 3 ,选

( D.4 C.



8 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 平 面 四 边 形 ABCD 中

??? ??? ?? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? AB+CD=0,( AB- AD)?AC=0 ,则四边形 ABCD 是
A.矩形
【答案】C

( D.梯形



B.正方形

C.菱形

+ = 【 解 析 】 因 为 A B C D 0, 所 以 A B? ? C D? D C 所 以 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 . 又 ,
??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ( AB ? AD)?AC=DB?AC ? 0 ,所以对角线互相垂直,所以四边形 ABCD 是菱形,选
9

? ? ?? ? ? ?? ?

? ? ??

? ? ??

? ? ??

C.

. ( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

? ? ? ? ? ? a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? ( k , 3), 若a ? 2b与c垂直, 则k ?
A.—3
【答案】A
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( D.-l



B.—2

C.l

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【解析】 因为 a ? 2b与c 垂直,所以有 a ? 2b ? =0 ,即 a ? ? 2b? =0 ,所以 3k ? 3 ? 2 3 ? 0 ,解得 ( ) c c c

?

? ?

?

? ?

? ?

??

k ? ?3 ,选
A.





10.(山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 则向

?

? ? ?

?

?

量 a与b 的夹角为 A.

?

( B.



? 2

? 3

C.

? 4

D.

? 6

【答案】B

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? a ?b 3 1 ? ,所以 ? a, b ?? ,选 a ? (b ? a) ? a ? b ? a ? 2 ,所以 a ? b ? 3 ,所以 cos ? a, b ?? ? ? ? 3 a b 1? 6 2
B.

11.(山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)在△ABC 中,AB=3,AC=2, BD ?

uuu r

r 1 uuu BC , 则 2


uuu uuu r r AD ? BD 的值为
A. ?

( B.

5 2
析 】

5 2


C. ?

5 4

D.

5 4


【答案】C



uuu 1 uuu r r 的 中 点 , BD ? BC , 所 以 点 D 是 BC 2 ???? 1 ??? ???? ??? 1 ??? 1 ???? ??? ? ? ? ? ???? ??? 1 ??? ???? 1 ???? ??? ? ? ? AD ? ( AB ? AC ) , BD ? BC ? ( AC ? AB ) ,所以 AD ? BD ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AB) 2 2 2 2 2 ? 1 ???? 2 ??? 2 1 2 2 5 C. ? ( AC ? AB ) ? (2 ? 3 ) ? ? ,选 4 4 4
解 因

12 .(山东省淄博 市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题) 如图,平行四边形 ABCD
? 中, AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60 ,点 M 在 AB 边上,且 AM ?

???? ??? ? ? 1 AB,则DM ? DB 等于 3

( A. ?



3 2
答 案

B.

3 2
D

C. ?1

D.1 所 以



???? ??? ???? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? DM ? DA ? AM ? DA ? AB, DB ? DA ? AB , 3 ???? ??? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 1 ??? 2 4 ??? ??? ? ? ? ? ? 4 4 ???? ??? DM ? DB ? ( DA ? AB) ? ( DA ? AB) ? DA ? AB ? DA ? AB ? 1 ? ? AD ? AB 3 3 3 3 3

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?

? 7 4 ???? ??? 7 4 1 ? AD ? AB cos 60? ? ? ?1? 2 ? ? 1 .选 3 3 3 3 2

D.

13 . ( 山 东 省 威 海 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) , 则 a ? b ?

?

? ?

? ?


( A. 2
【答案】D

B. 3

因 为 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) , 所 以 b ? 2a ? (3,1) ? 2(1, 2) ? (3,1) ? (? 1,3) , 所 以 D.

?

? ?

C. 4

?

?

D. 5

? ? a ? b ? (1, 2) ? (? 1,3) ? ? 1? 2? 3 ? 5 ,选

14. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a

? (2, 0), b ? 1, 则
( )

a ? 2b ?
A. 3
【 答 案 】 B

B. 2 3 因 为

C.4

D.12

? ? ? ? ? ? 1 a ? 2, b ? 1 , 所 以 a ? b ? a ? b cos 60? ? 2 ? ? 1 , 所 以 2

?2 ? ? ?2 a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b ? 22 ? 4 ? 4 ? 12 ? 2 3 ,选 B.
二、填空题 15. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学) 已知

??? ? ??? ??? ? ? OA ? 1, OB ? 2, OA? ? 0, 点 C OB

在 ?AOB 内, ?AOC ? 45 0 , 设 OC ? mOA ? nOB,(m, n ? R ), 则
【答案】

????

??? ?

????

m ? _______. n

2
??? ??? ? ?

【 解 析 】 因 为 OA? OB ? 0, 所 以 向 量 OA ? OB , 将 OA, OB 放 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 如 图

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

,因为 OA ? 1, OB ?

??? ?

2, 所以 A(1, 0), B (0, 2) .因为 ?AOC ? 45 0 ,
????

所 以 点 C 在 直 线 y ? x 上 , 设 C ( x, x) , 则 OC ? ( x, x) . 由 OC ? mOA ? nOB , 得

????

??? ?

??? ?

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( x, x) ? m(1, 0) ? n(0, 2) ,即 ( x, x) ? (m, n 2) ,所以 m ? n 2 ,即

m ? 2. n

16 . 山 东 省 滨 州 市 2013 届 高 三 第 一 次 ( 3 月 ) 模拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题) 定义平面向量的一种 运 (

算: a ? b ?| a | ? | b | sin a , b ,则下列命题: ① a ? b ? b ? a ;② ? (a ? b) ? (? a ) ? b ;③ (a ? b) ? c ? (a ? c ) ? (b ? c ) ; ④若 a = ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则a ? b ?| x1 y2 ? x2 y1 | . 其中真命题是_________(写出所有真命题的序号).
【 答 案 】 ①④ 由 定 义 可 知 b ? a ?| b | ? | a | sin a , b ? a ? b , 所 以 ① 正 确 .② 当

??0

时 , ? ? a, b ?? ? ? ? a, b ? , 所 以 (? a ) ? b ?| ? a | ? | b | sin ? a , b ? ?? | a | ? | b | sin a ,b , 而

? ?

? ?

? ? ? ? ? (a ? b) ? ? | a | ? | b | sin a, b ,所以②不成立.③因为 a ? b 的长度不一定等于 a ? b ,所以③不成
立.④ (a ? b) 2 ?| a |2 ? | b |2 sin 2 ? a, b ??| a |2 ? | b |2 (1 ? cos 2 ? a, b ?)
?| a |2 ? | b |2 ? | a |2 ? | b |2 cos 2 ? a, b ?

? ? ?| a |2 ? | b |2 ?(a ? b) 2 ? ( x12 ? y12 )( x2 2 ? y2 2 ) ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) 2 ? ( x1 y2 ? x2 y1 ) 2 ,
所以 a ? b ?| x1 y2 ? x2 y1 | ,所以④成立,所以真命题是①④.
17.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A))已知向量 a ? (1,1), b ? (2, 0) ,则

?

?

? ? 2a ? b 等于

为.
【答案】 2

5
? ? ? ?

【 解 析 】 因 为 a ? (1,1),b ? (2, 0) , 所 以 2a ? b ? 2(1,1) ? (2, 0)? (4, 2) , 所 以

? ? 2a ? b ? 42 ? 22 ? 20 ? 2 5 .
18.(山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理))已知向量 a ? (1,1), b ? (2, 0) ,则

?

?

? ? 2a ? b 等于

______________.
【答案】 2

5
? ?

【 解析】 2a ? b ? 2(1,1) ? (2, 0) ? (4, 2) ,所以 2a ? b ?

? ?

42 ? 22 ? 20 ? 2 5 .
? ? ?
?? ? ?? ? ?? ? ? ?

19.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)设非零向量 a, b, c 满足 a ? b ? c , a ? b ? c ,则

? ? a, b ? __________.

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2? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 ? ? ? 【解析】因为 a ? b ? c ,所以 c ? ?(a ? b) ,所以 c ? ?(a ? b) ? a ? b 所,以 c ? a ? 2a ? ? b ,即 b
【答案】 120 或
?

? ? ?1 ? ? ? ? a? b 1 ?2 2 a ? ? ? b ,所以 cos ? a, b ?? ? ? ? ? b 2 a b a
??? ???? ? ??? ?

?2 b ? ? 1 ? ? ? ,所以 ? a, b ?? 120? . 2 b

20 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 如 图 , 在 △ABC 中 ,O 为 BC 中 点 , 若

AB=I, AC ? 3 , AB, AC ? 60 ,则 OA ? ______________.
?

【 答 案 】

??? ???? ? ??? ???? ??? ???? ? ? 13 1 3 ? 因 为 AB, AC ? 60 , 所 以 AB ? AC ? AB ? AC cos 60? ? 3 ? ? , 又 2 2 2 ???? 1 ??? ???? ? ???? 2 1 ??? ???? ? ? ??? ???? ???? 2 ? 1 ??? 2 AO ? ( AB ? AC ) , 所 以 AO ? ( AB ? AC ) 2 ? ( AB ? 2 AB ? AC ? AC ) , 即 2 4 4
??? ? ???? 2 1 13 13 . AO ? (1 ? 3 ? 9) ? ,所以 OA ? 2 4 4

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