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不等式的解法


不等式的解法
一.不等式解法总结: 1.一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 2.高次不等式的解法:穿根法. 分解因式, 把根标在数轴上, 从右上方依次往下穿 (奇穿偶切) , 结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集. 3.分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“? 或 ?” ( 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 4.无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?









规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 5.指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;⑵当 0 ? a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
规律:根据指数函数的性质转化. 6.对数不等式的解法

? f ( x) ? 0 ? ⑴当 a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? . ⑵当 0 ? a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
规律:根据对数函数的性质转化. 7.含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)
2 2

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ( g ( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 8.含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 9.含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标
2

准有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 10.恒成立问题 ⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

②当 a ? 0 时 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; ⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a; 二.练习: 1.解不等式: (1) ?3x ? 4 x ? 4 ? 0
2

②当 a ? 0 时 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.

(3) ? x ? 1?? x ? 3? ? 2x2 ? x ? 2 2. 函数 y ?

1 2 3 x ? x? ?0 2 2 1 2 3 (4) ? 4 ? ? x ? x ? ? ?2 2 2
(2)

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域为 ______.
2

3..二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是______. 4.若不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集是 {x x ? 3或x ? ?1 } ,则 b=______ c=______.
2

5.解关于x的不等式

a( x ? 1) ? 1(a ? 1) x?2
2

6.若关于 x 的不等式 ax ? ax ? a ? 1 ? 0, 的解集为 R,则 a 的取值范围是______. 7.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 解集为 ?
2

1 1 ? x ? ,则 ab 值分别为______. 2 3


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