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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(19)三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数的简单应用B


课时作业(十九)B

[第19讲 三角函数y=Asin?ωx+φ?的图象 与性质及三角函数模型的简单应用]

[时间:45 分钟 基础热身

分值:100 分]

π π 1. 已知简谐运动 f(x)=2sin?3x+φ??|φ|<2?的图象经过点(0,1), 则该简谐运动的最小正周 ? ?? ? 期 T 和初相 φ 分别为( ) π π A.T=6,φ= B.T=6,φ= 6 3 π π C.T=6π,φ= D.T=6π,φ= 6 3 π 2.将函数 y=sin?2x+4?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍长度, ? ? π 再向右平移 个单位长度,所得到的图象解析式是( ) 4 A.f(x)=sinx B.f(x)=cosx C.f(x)=sin4x D.f(x)=cos4x π 3. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图象如图 K19-3 所示,则 ? ? f(x)的解析式是( )

图 K19-3 π A.f(x)=sin?3x+3? ? ? π B.f(x)=sin?2x+6? ? ? π? C.f(x)=sin?x+3? ? π D.f(x)=sin?2x+3? ? ? πx 4.有一种波,其波形为函数 y=sin 的图象,若在区间[0,t](t>0)上至少有 2 个波峰(图 2 象的最高点),则正整数 t 的最小值是________. 能力提升 5.若函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为 π,则它的图象的一个对称中心为 ( ) π π A.?-8,0? B.?8,0? ? ? ? ? π ? C.(0,0) D.?-4,0? ? π π 6.已知函数 f(x)=sin?x+2?,g(x)=cos?x-2?,则下列结论中正确的是( ) ? ? ? ? A.函数 y=f(x)· g(x)的周期为 2 B.函数 y=f(x)· g(x)的最大值为 1 π C.将 f(x)的图象向左平移 个单位后得到 g(x)的图象 2
1

π D.将 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 π π 7. 设函数 f(x)=2cos x- ,若对于任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2| 2 3 的最小值为( ) 1 A.4 B.2 C.1 D. 2

图 K19-4 8. 设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图 K19-4 所示,△ 1 KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90° ,KL=1,则 f?6?的值为( ) ? ? 3 1 1 3 A.- B.- C.- D. 4 4 2 4 π? π 9.将函数 f(x)=sin?2x+3?的图象向右平移 个单位得函数 g(x)的图象,再将 g(x)的图象 ? 6 上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到 h(x)的图象, g(x)与 h(x)的解析式分别为( 则 ) ?2x+π?,h(x)=sin?x+π? A.g(x)=sin? 6? ? 6? B.g(x)=sin2x,h(x)=sinx π π C.g(x)=sin?2x+6?,h(x)=sin?x+12? ? ? ? ? D.g(x)=sin2x,h(x)=sin4x

图 K19-5 π 10.如图 K19-5 所示的是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|∈0, 图象的一部 2 π 分,则 f?2?=________. ? ? π π 11.某同学利用描点法画函数 y=Asin(ωx+φ)?其中A>0,0<ω<2,-2<φ<2?的图象,列 ? ? 出的一组数据如下表: x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 -1 -2 经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数 y=Asin(ωx +φ)的解析式应是________. π 12. 已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相 ? ? π 同.若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是________. ? ? 13. 若函数 y=f(x)同时具有下列三个性质:(1)最小正周期为 π;(2)图象关于直线 x π π π = 对称;(3)在区间?-6,3?上是增函数,则 y=f(x)的解析式可以是________. ? ? 3 π 14.(10 分) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?其中A>0,ω>0,0<φ<2?的图象与 x 轴的交点 ? ?
2

2π π 中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? 2 (1)求 f(x)的解析式; π π (2)当 x∈?12,2?时,求 f(x)的值域. ? ?

15.(13 分)图 K19-6 是某简谐运动的一段图象,它的函数模型是 f(x)=Asin(ωx+ π π φ)(x≥0),其中 A>0,ω>0,- <φ< . 2 2 (1)根据图象求函数 y=f(x)的解析式; 1 (2)将函数 y=f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 2 π ? 的图象,求函数 y=g(x)在?2,π?上的最大值和最小值. ?

图 K19-6

难点突破 16.(12 分)如图 K19-7 是某简谐运动的一段图象,其函数模型是 f(x)=Asin(ωx+ π π φ)(x≥0),其中 A>0,ω>0,- <φ< . 2 2 (1)根据图象求函数 y=f(x)的解析式; π (2)若函数 g(x)=f?x+6?,实数 α 满足 0<α<π,且?πg(x)dx=3,求 α 的值. ? ? ?
α

图 K19-7

3

课时作业(十九)B 【基础热身】 1 [解析] ∵图象过点(0,1),∴2sinφ=1,即 sinφ= , 2 π π 2π ∵|φ|< ,∴φ= ,T= =6,故选 A. 2 6 π 3 π 2.A [解析] 将函数 y=sin?2x+4?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 ? ? π? π 2 倍,得到函数 y=sin?x+4?的图象;再向右平移 个单位长度,得到函数 y=sinx 的图象, ? 4 故选 A. 5π π 2π π π π 3.B [解析] 显然 A=1, =4?12-6?=π,所以 ω=2,令 2× +φ= ,得 φ= , ? ? ω 6 2 6 故选 B. πx πx 4.5 [解析] ∵函数 y=sin 的周期 T=4,y=sin 的图象在[0,t]上至少有 2 个波峰, 2 2 5 ∴t≥ T=5,故正整数 t 的最小值是 5. 4 【能力提升】 π 2π 2π 5. [解析] f(x)=sinωx+cosωx= 2sin?ωx+4?, A 则这个函数的最小正周期是 , 令 ? ? ω ω π? =π,解得 ω=2,即函数 f(x)=sinωx+cosωx= 2sin?2x+4?, ? π ? 把选项代入检验,点?-8,0?为其一个对称中心,故选 A. ? 1 6.D [解析] f(x)=cosx,g(x)=sinx,f(x)g(x)=cosxsinx= sin2x,故选项 A、B 中的结 2 论都不正确; π π 把 f(x)=cosx 的图象左移 个单位后,得到的是函数 y=cos?x+2?=-sinx 的图象; ? ? 2 π? π 把 f(x)=cosx 的图象右移 个单位后,得到的是函数 y=cos?x-2?=sinx 的图象,即 g(x) ? 2 的图象,故选 D. 2π 7.B [解析] 由已知函数解析式,得周期 T= =4; π 2 因为对于任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则 f(x1)、f(x2)分别是函数 f(x)的最小值与 1 最大值,故|x1-x 2|的最小值为 T=2,故选 B. 2 2π 8.D [解析] 由 KL=1,得周期 T=2,则 ω= =π; T 由△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90° , 1 1 得 A= |KL|= ; 2 2 π π 1 由 f(x)是偶函数,得 φ= ,即 f(x)= sin?πx+2?, ? 2 2 ? 1? 1 ?π π? 1 2π 3 ∴f?6?= sin?6+2?= sin = ,故选 D. ? 2 2 3 4 π π π π 9. [解析] 将函数 f(x)=sin?2x+3?的图象向右平移 个单位, y=sin?2?x-6?+3?= B 得 ? ? ? ? 6 ? ? sin2x 的图象,即 g(x)=sin2x, 再将 g(x)的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,得 y=sinx 的图象,即 h(x)= 1.A

4

sinx,故选 B. 10.3 [解析] 由于最大值和最小值之差等于 4,故 A=2,B=1. π π 由于 2=2sinφ+1,且|φ|∈?0,2?,得 φ= . ? ? 6 π 由图象知 ω(-π)+φ=2kπ- , 2 2 得 ω=-2k+ (k∈Z). 3 2π 2 又 >2π,∴0<ω<1.∴ω= . ω 3 2 π ∴函数 f(x)的解析式是 f(x)=2sin?3x+6?+1. ? ? π? 2 π π? ∴f?2?=2sin?3×2+6?+1=3. ? ? π π 11.y=2sin?3x+6? [解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线 x=1 对称,故 x=1 与函数图象的 ? ? 交点应是最高点或最低点,故数据(1,0)错误,从而由(4,-2)在图象上知 A=2,由过(0,1) 点知 2sinφ=1, π π π ∵- <φ< ,∴φ= , 2 2 6 π ∴y=2sin?ωx+6?,再将点(2,1)代入得, ? ? π? 2sin?2ω+6?=1, ? π π π 5π ∴2ω+ = +2kπ 或 2ω+ = +2kπ,k∈Z, 6 6 6 6 π ∵0<ω<2,∴ω= , 3 π π ∴函数解析式为 y=2sin?3x+6?. ? ? 3 ? π π 5π π 12.?-2,3? [解析] 由题意知,ω=2,因为 x∈?0,2?,所以 2x- ∈?-6, 6 ?,由 ? ? ? ? ? 6 π 3 π 三角函数图象知:f(x)的最小值为 3sin?-6?=- ,最大值为 3sin =3,所以 f(x)的取值范围 ? ? 2 2 3 ? 是?-2,3?. ? π 13.f(x)=sin?2x-6?(答案不唯一) [解析] 选择 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),由函数的最小 ? ? 正周期为 π,得 ω=2; π 2π π 由图象关于直线 x= 对称,得 +φ= +kπ,k∈Z, 3 3 2 π? π π π 取 k=0,得 φ=- ,则 f(x)=sin?2x-6?,满足在区间?-6,3?上是增函数. ? ? ? 6 2 (说明本题的答案不唯一,y=f(x)的解析式也可以是 f(x)=cos?2x-3π?等). ? ? 2π 14.[解答] (1)由最低点为 M? 3 ,-2?得,A=2. ? ? π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得, = ,即 T=π,所以 ω= = =2. 2 2 2 T π 2π 2π 由点 M? 3 ,-2?在函数 f(x)的图象上得,2sin?2× 3 +φ?=-2, ? ? ? ? 4π 即 sin? 3 +φ?=-1. ? ?

5

4π π +φ=2kπ- ,k∈Z, 3 2 11π 所以 φ=2kπ- (k∈Z). 6 π? 又 φ∈?0,2?, ? π π 所以 φ= ,故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ? 6 π π? π ?π 7π? (2)因为 x∈?12,2?,所以 2x+ ∈?3, 6 ?. ? 6 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 2 故函数 f(x)的值域为[-1,2]. 15.[解答] (1)由函数图象及函数模型 f(x)=Asin(ωx+φ)知 A=2; 2π 13π π 1 由 =T= - =4π,得 ω= , ω 3 3 2 4 1 4π π 由最高点?3π,2?得, × +φ=2kπ+ (k∈Z), ? ? 2 3 2 π π π ∴φ=- +2kπ(k∈Z),又- <φ< , 6 2 2 π ∴φ=- . 6 1 π ∴所求函数解析式为 y=f(x)=2sin?2x-6?(x≥0). ? ? 1 π? 1 (2)解法一:将 y=f(x)=2sin?2x-6?图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变, ? 2 π? 得到 y=g(x)=2sin?x-6?的图象, ? π π π 5π ∵ ≤x≤π,∴ ≤x- ≤ , 2 3 6 6 π π 2π 当 x- = ,即 x= 时,g(x)有最大值 2; 6 2 3 π 5π 当 x- = ,即 x=π 时,g(x)有最小值 1. 6 6 1 π 1 解法二:将 y=f(x)=2sin?2x-6?图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得 ? ? 2 π? 到 y=g(x)=2sin?x-6?的图象, ? π π π 令 t=x- ,∵函数 y=2sint 的单调递增区间是?-2+2kπ,2+2kπ?,k∈Z, ? ? 6 π π π π 2π 由- +2kπ≤x- ≤ +2kπ,得- +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 3 3 π 2π π 设 A= ,π,B=x?-3+2kπ≤x≤ 3 +2kπ,k∈Z ,则, ? 2 π 2π A∩B=?2, 3 ?, ? ? π 2π ∴函数 y=g(x)在区间?2, 3 ?上单调递增, ? ? 2π 同理可得,函数 y=g(x)在区间? 3 ,π?上单调递减. ? ? π? 2π? 又∵g?2?= 3,g? 3 ?=2,g(π)=1, ? ? 故
6

π ∴函数 y=g(x)在?2,π?上的最大值为 2,最小值为 1. ? ? 【难点突破】 16.[解答] (1)由函数图象及函数模型 f(x)=Asin(ωx+φ),知 A=2; 1 7π π 由 T= - =π,得 T=2π, 2 6 6 2π ∴ω= =1,即 f(x)=2sin(x+φ), T 1 把(0,-1)代入上式,得 sinφ=- , 2 π π π ∵- <φ< ,∴φ=- , 2 2 6 π ∴所求函数 y=f(x)的解析式为 y=f(x)=2sin?x-6?. ? ? π? (2)由(1)知 g(x)=f?x+6?=2sinx, ? ∵?πg(x)dx=3,

?α ?α

∴?π2sinxdx=-2cosx|α =-2cosπ-(-2cosα)=3, 1 解得 cosα= , 2 π 又实数 α 满足 0<α<π,则所求 α 的值为 . 3

π

7


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