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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示


典例剖析 知识点一 平面向量基本定理

【例 1】如图,在题型 ABCD 中,AB//DC,且 AB=2DC,E、F 分别是 DC、AB 的中 点,设 AD ? a , AB ? b ,试用 a 、 b 为基地表示向量 BC 、 EF 。

【类题突破 1】如图, P1 、 P2 为直线 l 上两个定点, P 为直线 l 上一动点, O 为直
OP 。 线 l 外任一点,试以 OP 1 、 OP 2 为基底表示

【例 2】设 e1 、 e2 是两个不共线向量, a ? ?1 e1 ? ?2 e2 , b ? ?1 e1 ? ?2 e2 ,求当实 数 ?1 、 ?2 、 ?1 、 ?2 满足什么关系时, a 与 b 共线?
【类题突破 2】设 e1 、e2 是两个不共线向量 a ? 3e1 ? 4e2 ,b ? ?2e1 ? 5e2 ,若实数 ? 、 ? 满足 ? a ? ?b ? 5e1 ? e2 ,求 ? 、 ? 的值。

知识点二 向量的夹角与垂直 【例 3】已知不共线的三个向量 a 、b 、 c 两两的夹角都为 120°,且 | a | =1,| b | =2,| c | =3 求 a ? b ? c 与 a 的夹角。

【类题突破 3】已知 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角。

知识点三 平面向量的正交分解及坐标表示

【例 4 】设 i 、 j 分别是与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量, a ? i ? (2m ?1) j ,

b ? 2i ? m j (m ? R) ,已知 a // b ,求向量 a 、 b 的坐标。

【类题突破 4】如下图,在△ABC 中,点 A、C 在 x 轴上,AB=4, ?BAC ? 30? ,求向量 AB 的坐标。

重点难点突破 题型 1 用基底表示向量 【例 1】如图所示,△AOB,其中 OA ? a , OB ? b ,M、N 分别是边 OA 、OB 上的点,且 OM ?

1 1 a ,ON ? b ,设 AN 与 BM 相交于 P ,用向量 a ,b 表示 OP . 3 2

【类题突破 1】如图,四边形 OADB 是平行四边形, OA ? a , OB ? b ,AB 交 OD 于 C,点 M 在 AB 上, BM ?

1 1 BC ,N 在 OD 上,CN ? CD ,试用 a ,b 表示 OM ,ON , MN 。 3 3

题型 2 三线共点或三点共线

【例 2】 梯形 ABCD 中,AB // DC ,AB ? BC , M、 N 分别为 AB、 CD 的中点, 若 AM ? a ,

AD ? b 。求证 AD、MN、BC 三线共点。

??R 。 【例 3】 设 OA 、 P 点在 AB 上, 求证: OB 不共线, OP ? ?OA ? ?OB 且 ? ? ? ? 1 , ? 、

【类题突破 2】如图,已知△ABC 的两边 AB、AC 的中点分别为 M、N,在 BN 的延长线上取 点 P,使 NP=BN,在 CM 的延长线上取点 Q,使 MQ=CM,证明 P、A、Q 三点共线。

题型 3 平面向量的坐标表示 【例 4】已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, | OA |? 4 3 , ?xOA ? 60 ? ,求向量 OA 的

坐标. 【类题突破 3 】已知 i , j 是与 x 轴, y 轴正方向相同的单位向量, AB ? ?2i ? 3 j ,

BC ? 5i ? 4 j ,求向量 AC 的坐标。

【例 5】已知 AB ? (2,0) , a ? ( x ? 3, x ? 3 y ? 4) ,若 a ? AB ,求实数 x 的值。

【类题突破 4】若向量 a ? ( x ? 2,3) 与向量 b ? (1, y ? 2) 相等,则( A. x ? 1, y ? 3 B. x ? 3, y ? 1 C. x ? 1, y ? ?5



D. x ? 5, y ? ?1

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一课 3 练

2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示(1 课时) 知识点一 平面向量的坐标运算 【例 1】 已知点 A、 B、 C 的坐标分别为 A (2, -4) 、 B (0,6) 、 C (-8,10) , 求向量 AB ? 2 BC ? 的坐标。

1 AC 2

【类题突破 1】 已知点 A (2,3) 、 B (6,5) 、 C (8,12) , 若点 P 在第三象限, 且使得 AP ? AB ? ? AC , 求实数 ? 的取值范围。

知识点二 平面向量共线的坐标表示

【例 2】已知, a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, k a ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是 同向还是反向?

【类题突破 2】已知点 A(4,0) ,B(5,5) ,C(2,6) ,O 为坐标原点,求直线 AC 与 OB 的交 点 P 的坐标。

【例 3】已知点 A(6,3) ,O 为坐标原点,点 P 在直线 OA 上,且 OP ? 的中点,求点 B 的坐标。

1 PA ,若 P 是线段 OB 2

【类题突破 3】在△ABC 中,已知点 A(3,7) 、B(-2,5) ,若线段 AC、BC 的中点都在坐标轴

上,求点 C 的坐标

知识点三 点的坐标和向量坐标的关系

【例 4】已知点 A(5,-1) ,向量 AB ? (?6,8) , BC ? (2,?5) ,设 ?BAC 的平分线交 BC 于 D,求点 D 的坐标。

【类题突破 4】 如图, 已知三点 A (0,8) , B (-4,0) , C (5,-3) , D 点在线段 AB 上, 且

| AD | 1 ? , | DB | 3

E 点在线段 BC 上,若△BDE 的面积是△ABC 面积的一半,求向量 AE 的坐标。

题型 1 平面向量的坐标运算 【例 1】已知 a ? (1,1) , b ? (1,?1) 将下列向量表示成 xa ? yb 形式: (1) p ? (2,3) ; (2) q ? (?3,2)

【类题突破 1】已知 e1 ? (1,2) , e2 ? (?2,3) , a ? (?1,2) ,以 e1 , e2 为基底,将 a 表示为

?1 e1 ? ?2 e2 的形式。

题型 2 平面向量的共线问题 【例 2】如果 AB ? (1,?2) , BC ? (1, m) ,试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线。

【类题突破 2】已知向量 a ? (?4,1) , b ? (3,2) , c ? (2,?2) ,若 a ? t b 与 c 共线,求实数 t 的值。

【例 3】已知直角坐标平面上四点 A(1,0) ,B(4,3) ,C(2,4) ,D(0,2) ,试判断四边形 ABCD 的形状,并说明你的理由。

【类题突破 3】已知点 A(1,0) ,B(0,2) ,C(-1,-2) ,则平行四边形 ABCD 的定点 D 的坐 标是________。 题型 3 向量中的分点坐标问题 【例 4】已知 P ,3) , P 在直线 P 1 P |? 1P 2 上,且 | P 1 (2,?1) , P 2 (?1

2 | PP2 | 。求 P 点坐标。 3

【类题突破 4】 已知向量 AB ? (4,3) , AD ? (?3,?1) ,点 A (-1,2) , 点 P ( 2, y ) 。 若 PB ? ? BD , 求 B、D、P 的坐标。

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