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小学奥数精讲:排列组合常见解题方法


小学奥数精讲:排列组合问题常见解题方法 方法一:捆绑法 “相邻问题”——捆绑法,即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先将其“捆 绑”后整体考虑,也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序,然后再考虑大元素内部 各元素间排列顺序的解题策略。 例 1.若有 A、B、C、D、E 五个人排队,要求 A 和 B 两个人必须站在相邻位置,则有多 少排队方法? 【解析】:题目要求 A 和 B 两个人必须排在一起,首先将 A 和 B 两个人“捆绑”,视其 为“一个人”,也即对“A,B”、C、D、E“四个人”进行排列,有 在一起的 A、 B 两人也要排序, 有 种。 例 2.有 8 本不同的书,其中数学书 3 本,外语书 2 本,其它学科书 3 本。若将这些书 排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有多少种? 【解析】:把 3 本数学书“捆绑”在一起看成一本大书,2 本外语书也“捆绑”在一起 看成一本大书,与其它 3 本书一起看作 5 个元素,共有 法,2 本外语书有 种排法;根据分步乘法原理共有排法 种排法;又 3 本数学书有 种排 种。 种排法。又因为捆绑 种排法。 根据分步乘法原理, 总的排法有 【提示】:运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的 顺序问题。解题过程是“先捆绑,再排列”。 方法二:插空法 “不邻问题”——插空法,即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它 元素排好, 再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置, 从而将问题解决的 策略。 例 3.若有 A、B、C、D、E 五个人排队,要求 A 和 B 两个人必须不站在一起,则有多少 排队方法? 【解析】:题目要求 A 和 B 两个人必须隔开。首先将 C、D、E 三个人排列,有 若排成 D E C E, 则 D、 C、 E “中间” 和 “两端” 共有四个空位置, 也即是: ︺ D 种排法; ︺ C ︺ ︺ ,此时可将 A、B 两人插到四个空位置中的任意两个位置,有 。 种插法。由乘法原理, 共有排队方法: 例 4.在一张节目单中原有 6 个节目,若保持这些节目相对顺序不变,再添加进去 3 个 节目,则所有不同的添加方法共有多少种? 【解析】:直接解答较为麻烦,可根据插空法去解题,故可先用一个节目去插 7 个空位 (原来的 6 个节目排好后,中间和两端共有 7 个空位),有 8 个空位,有 种方法;用最后一个节目去插 9 个空位,有 =504 种。 种方法;再用另一个节目去插 方法,由乘法原理得:所有不 同的添加方法为 例 4.一条马路上有编号为 1、2、??、9 的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的 三盏关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种? 【解析】:若直接解答须分类讨论,情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素, 然后用不亮的三盏灯去插 7 个空位,共有 不同的关灯方法有 种。 种方法(请您想想为什么不是 ),因此所有 【提示】:运用插空法解决排列组合问题时,一定要注意插空位置包括先排好元素“中 间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列,再插空”。 练习:一张节目表上原有 3 个节目,如果保持这 3 个节目的相对顺序不变,再添加进去 2 个新节目,有多少种安排方法?(国考 2008-57) A.20 B.12 C.6 D.4 方法三:插板法 插板法——用于解决“相同元素”分组问题,且要求每组均“非空”,即要求每组至 少一个元素;若对于 “可空”问题,即

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